浅谈微积分在不等式证明中的应用

1、    浅谈微积分在不等式证明中的应用    摘要：本文介绍了通过微积分理论、方法求解不等式的过程。这种方法思路简单、无需太多解题技巧，相对于初等方法来说，在求解函数、三角证明和几何证明等问题时更值得推广。关键词：微积分 不等式 证明 应用不等式是数学在函数、三角证明、几何证明中的重要内容。在数学学习中，利用初等方法求解不等式，对解题思路、解题技巧的要求较高。而借助微积分理论来求解不等式，往往使问题变得简单。微积分解不等式相较于初等方法来说，思路更加清晰，而且对解题技巧的要求不是太高。笔者将结合高等数学中的微积分理论，在下文中针对微分中值定理、函数的单调

2、性定理、极值判定定理、级数理论来解决不等式的问题进行详细说明。1 利用微分中值定理证明不等式微分中值定理：假设函数y=f（x）满足条件和条件：在区间a，b上连续；在区间（a，b）内可导，则在区间（a，b）内至少存在一点，使得f（）=。由于在a，b之间，因此f（）将有一个取值范围，也就是说有一个取值范围，由此可得到一个不等式。因此，可利用在（a，b）内的特点证明不等式。利用微分中值定理，证明的关键在于函数和区间的选取。例1 证明：设0证：（1）当a=b时，上式显然成立。（2）当0故当02 利用函数的增减性证明不等式函数f（x）在区间（a，b）内可导，则f（x）在（a，b）内严格递增（递减）的充要

3、条件：f（x）>0（或f（x）<0）。可利用此定理证明不等式。例2 证明：当x>0时，x-x<sinx< p>证：先证sinx0时，f（x）是递减的（个别点处f（x）=0，不影响f（x）是递减的结论），所以当x>0时，有f（x）< p>再证左边不等式，令f（x）=sinx-x+x，则f（0）=0，f（x）=cosx-1+x2（当看不清f（x）的正负号时可重复上述思路），f（0）=0，f（x）=-sinx+x，由sinx0，所以在x>0时，f（x）>f（0）=0，故在x>0时，f（x）>0，即x-x0时，x-x<

4、sinx< p>3 利用极值证明不等式函数某领域内取得极大值或极小值，就能够借助极值特点证明不等式。例3 证明：当x0时，nxn-1-（n-1）xn-1？燮0（n>1，nn）。证：令f（x）=nxn-1-（n-1）xn-1，则f（x）=n（n-1）xn-2-n（n-1）xn-1=n（n-1）xn-2（1-x）。令f（x）=0，得驻点x=1（因为x=0是x0的端点，所以x=0不是驻点）且当x<1时，f（x）>0；当x>1时，f（x）>0，所以f（1）=0，是极大值也是最大值，从而得：f（x）f（1）=0（x0），即nxn-1-（n-1）xn-1？燮0。4

5、 利用函数凹凸性的特点证明不等式如果函数f（x）是凸函数，则在（a，b）上有f（x）+f（x）？燮f；如果函数f（x）是凹函数，则在（a，b）上有f（x）+f（x）？叟f。利用这一特点证明不等式。例4 证明：若x>0，y>0，xy，则xlnx+ylny>（x+y）ln证：设f（t）=tlnt，则t>0，f（t）=1+lnt，f（t）=>0，因此，函数f（t）=tlnt在（0，+）上是凹的；由函数凹性的定义， x>0，y>0，xy有xlnx+ylny>（x+y）ln，由此可证原不等式成立。5 利用级数证明不等式按照幂级函数的形式将函数展开，对不等式

6、进行证明。例5 证明：< p>证明：原不等式等价于< p>由e=1+2x+ x（0，1）=（1+x）（1+x+x2+）=1+2x+2x2+2x3+2xn+ x（0，1）知不等式级数展开式左边的一般项2xn，右边的一般项；在n？叟3的条件下2>，所以，当n？叟3，0<x< p>有2xn>，1+2x>1+。即< p>通过以上论述可以得出结论：熟知高等数学的基本理论，并掌握解题方法，不等式的问题就迎刃而解。利用微积分解不等式的方法比初等解题方法更简单，解题思路更清晰，且不需要太多解题技巧，这是它可以进一步推广的优点所在。参考文献：1顾静相主编.经济数学基础