振动实用教案

1、第1页/共62页第一页，共63页。机械振动 1、定义(dngy)：物体在平衡位置附近所做的周期性的往复运动，叫做机械振动通常简称振动2.特点特点(tdin):(1)平衡位置平衡位置振动振动(zhndng)停止时物体所在停止时物体所在的位置的位置.-“对称性对称性”(2)往复运动往复运动-“周期性周期性”尝试再举一些例子？尝试再举一些例子？第2页/共62页第二页，共63页。机械振动是生活机械振动是生活(shnghu)中常见中常见的运动形式的运动形式被手拨动(b dn)的弹簧片小鸟飞离后颤动(chndng)的树枝第3页/共62页第三页，共63页。第4页/共62页第四页，共63页。1简谐振动(zhn

2、dng) 简谐振动(zhndng)的基本特征 简谐振动(zhndng)的合成第5页/共62页第五页，共63页。简谐振动(zhndng)的描述一、简谐振动一、简谐振动(zhndng)(zhndng)的特征的特征任何一个稍微偏离平衡状态任何一个稍微偏离平衡状态的稳定系统，都可看成简谐的稳定系统，都可看成简谐振子。对于物理学中的许多振子。对于物理学中的许多问题问题(wnt)，谐振子都可以，谐振子都可以作为一个近似的或相当精确作为一个近似的或相当精确的模型的模型晶格点阵晶格点阵第6页/共62页第六页，共63页。简谐振动(zhndng)的动力学方程221)(kxxU质点所受的力（回复力）与对平衡位置的位

3、移质点所受的力（回复力）与对平衡位置的位移(wiy)(wiy)成正成正比且反向，或质点的势能与位移比且反向，或质点的势能与位移(wiy)(wiy)（角位移（角位移(wiy)(wiy)）的平方成正比的运动，就是简谐振动。这种振动系统称为的平方成正比的运动，就是简谐振动。这种振动系统称为谐振子。谐振子。20/km令kxxm 020 xx )cos()(00tAtx其解：其解：弹性力弹性力kmoxxFkx 第7页/共62页第七页，共63页。简谐振动简谐振动凡是以时间凡是以时间(shjin)的正弦或余弦的正弦或余弦函数表函数表 示的运动都是简谐振动示的运动都是简谐振动)cos()(0otAtx 简谐振

4、动(zhndng)的运动学描述结论结论(jiln)：kmoxx以弹簧振子为例以弹簧振子为例系统位移的运动规律系统位移的运动规律其中其中 由系统自身决定由系统自身决定0第8页/共62页第八页，共63页。简谐振动(zhndng)的速度00dsin()cos()d2xAtAtt v简谐振动(zhndng)的加速度2200dcos()cos()daAtAtt v简谐振动(zhndng)的加速度为变加速度2ax 位移与加速度反相)cos()(0otAtx第9页/共62页第九页，共63页。xvaOOOtttAA2Ax-tv-ta-t第10页/共62页第十页，共63页。)(sin21210022022tmA

5、mVEk 简谐振动简谐振动(zhndng)的势能：的势能： );(cos212100222tkAkxEp简谐振动(zhndng)的能量以水平的弹簧以水平的弹簧(tnhung)振子为例振子为例)(sin210022tkAkmoxX 简谐振动的动能：简谐振动的动能：)cos()(00tAtxmk /0ddpEfkxx 第11页/共62页第十一页，共63页。2002002221)(cos)(sin21kAttkApkEEE 简谐振动(zhndng)的总能量弹性力是保守力总机械能守恒(shu hn)，即总能量不随时间变化AkEpE221kAEAo第12页/共62页第十二页，共63页。222020041

6、cos2kAdxxTkA势能(shnng)的时间平均值:TPdttkATE00022)(cos211动能(dngnng)的时间平均值:TkdttkATE00022)(sin211222020041sin2kAdxxTkA第13页/共62页第十三页，共63页。 这些结论(jiln)同样适用于任何简谐振动* * 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反反映了振动系统映了振动系统(xtng)(xtng)总能量的大小及振动的强度。总能量的大小及振动的强度。* * 任一简谐振动任一简谐振动(zhndng)(zhndng)总能量与振幅的平方成正比总能量与振幅的平方成

7、正比* * 即弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且即弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半等于总机械能的一半结论：第14页/共62页第十四页，共63页。简谐振动简谐振动(zhndng)(zhndng)的周期和频率、角频率的周期和频率、角频率)(cos00nTtA)2cos()cos(0000ntAtA)2(cos000ntA02T210TmkTo2叫做叫做周期周期，每隔，每隔T 时间运动完全重复时间运动完全重复称为称为振动频率振动频率，单位时间内振动的次数，单位时间内振动的次数称为角频率（或圆频率）称为角频率（或圆频率）即单位时间内相位的变化值即单位时间内相位的变化值20km

8、第15页/共62页第十五页，共63页。)cos()(00tAtx0 初相位初相位A-振幅振幅 振动中最大位移量振动中最大位移量简谐振动的振幅简谐振动的振幅(zhnf)(zhnf)、相位、初相位、相位、初相位简谐振动除用余弦函数形式表达外还可以简谐振动除用余弦函数形式表达外还可以(ky)用正弦函用正弦函数数)cos()(00tAtx) sin() 2/sin(0000tAtA00)(tt相位相位0角频率角频率相同的运动状态对应相位差为 的整数倍2第16页/共62页第十六页，共63页。由初始状态确定0,A00cosxA 00sinA v2200Ax2v000tanx v要由要由 的方向的方向(fn

9、gxing)(fngxing)唯一确定唯一确定00v)cos()(00tAtx例题(lt)11.1-1 P78第17页/共62页第十七页，共63页。1020100200)()(tt两个同频率(pnl)简谐振动的相位差1020 0 20超前超前 100 20落后落后 102n 同相同相（2n 1） 反相反相)cos()(00tAtx第18页/共62页第十八页，共63页。二、简谐振动二、简谐振动(zhndng)(zhndng)的旋转矢量表示法的旋转矢量表示法Aox0to以O点起始(q sh)点作一矢量长度等于简谐振动(zhndng)的振幅矢量在Oxy平面内绕O点逆时针匀速旋转其角速度与简谐振动的角

10、频率旋转矢量，或振幅矢量 AxyPOxM0M0tt时刻，旋转矢量在x轴上的投影为0cos()xAt对应：对应：旋转矢量端点旋转矢量端点MM在在x轴上的投影轴上的投影 P P在在x轴上以轴上以O为原点简谐振动为原点简谐振动 第19页/共62页第十九页，共63页。M点的速率(sl)为MAv=P点的速率(sl)为P0sin()At v = -M点的加速度为向心(xin xn)加速度2MaA=2P0cos()aAt = -P点的加速度为xyPOxM0M0t例题11.1-2 P81第20页/共62页第二十页，共63页。三、简谐振动三、简谐振动(zhndng)的典型问题的典型问题附录(fl)：1）力矩(l

11、 j) : 力臂d 力 在转动平面内. 对转对转轴轴 Z 的力矩的力矩 FFMrFsinMFrFdPz*OMFrdM第21页/共62页第二十一页，共63页。irPov2iirmJ称为(chn wi)刚体对转轴的转动惯量2）转动惯量：组成刚体的各质元的质量与各自到转轴的距离的平方(pngfng)的乘积MJ3）转动(zhun dng)定律 刚体在总外力矩刚体在总外力矩Mz作用下，作用下，所获得的角加速度与总外所获得的角加速度与总外力矩成正比，与转动惯量成反比力矩成正比，与转动惯量成反比 . .Fma22200/3LLmJx dmxdx mLL第22页/共62页第二十二页，共63页。三、简谐振动三、

12、简谐振动(zhndng)(zhndng)的典型问题的典型问题刚体绕过O的水平轴小角度(jiod)摆动刚体(gngt)定轴转动定律22dsindCJmglt COOClmg负号表示：力矩总是使转动回到平衡位置角度很小22d0dCJmgltsin 复摆MJsinMFr第23页/共62页第二十三页，共63页。22d0dCJmglt令2CmglJ 222d0dt 解得00cos()t可见复摆的定轴小角度(jiod)转动为简谐振动2cJTmgL第24页/共62页第二十四页，共63页。 如果(rgu)复摆是一个均匀细杆，长l，则12cll213Jml32gl第25页/共62页第二十五页，共63页。 单摆(

13、dn bi)0lg 在角位移很小的时候，单摆在角位移很小的时候，单摆(dn bi)的振动是简的振动是简谐振动角频率谐振动角频率,振动的周期分别为：振动的周期分别为：glTlg2200gmfsin当当 时时222sindMlFmlmgldt 垂直转动(zhun dng)定律22dFldt垂直第26页/共62页第二十六页，共63页。振动的角频率、周期振动的角频率、周期(zhuq)完全由振动完全由振动系统本身来决定。系统本身来决定。 第27页/共62页第二十七页，共63页。简谐振动简谐振动(zhndng)(zhndng)的合成的合成一、同方向、同频率简谐振动一、同方向、同频率简谐振动(zhndng)

14、(zhndng)的合成的合成代数方法：设两个振动具有相同频率，同一直线上运动，有不同的振幅(zhnf)和初相位)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx)()()(21txtxtxtAAcos)coscos(2211tAAsin)sinsin(2211tAtAsinsincoscos)cos(tA 结论：合振幅仍然是同频率的简谐振动第28页/共62页第二十八页，共63页。)cos(212212221AAAAA式中：22112211coscossinsinAAAAarctg可见(kjin)，当, 2, 1, 0212kk21AAA合振幅(zhnf)最大2AA1A第29页/共62页第

15、二十九页，共63页。2AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA几何(j h)方法：)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg第30页/共62页第三十页，共63页。)cos(212212221AAAAA上面(shng min)得到：22112211coscossinsinAAAAarctg讨论讨论(toln)一一, 2, 1, 0212kk21AAA合振幅(zhnf)最大2AA1A当 称为干涉相长21AA 12AA 第31页/共62页第三十一页，共63页。讨论(toln)二|21AAA当 时， 称为干涉相消21AA 0

16、A2AA1A讨论(toln)三1A2AA, 2, 1, 0) 12(12kk|2121AAAAAk12一般(ybn)情况：第32页/共62页第三十二页，共63页。附 同方向的N个同频率简谐振动的合成(hchng) （用矢量合成(hchng)法）设它们的振幅相等，初相位依次差一个(y )恒量其表达式为：1aA3aNaROPMCNtatxcos)(1)cos()(2tatx)2cos()(3tatx)cos()(NtatxN第33页/共62页第三十三页，共63页。2/sin)2/sin(NaA 2/ )(NCOM2/ )(COP21NCOMCOP1aA3aNaROPMCN上两式相除得)2/sin(

17、2NRA )2/sin(2Ra 在 OCP中： 第34页/共62页第三十四页，共63页。合振动(zhndng)的表达式即各分振动同相位(xingwi)时，合振动的振幅最大讨论(toln)1：)21cos() 2/sin() 2/sin(NtNa)cos()(tAtx当, 2, 1, 02kkNaNaA) 2/sin() 2/sin(lim第35页/共62页第三十五页，共63页。讨论(toln)2：即： 这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振动的振幅为零, 2, 1, 02kkN以上讨论的多个分振动的合成(hchng)在说明光的干涉和衍射规律时有重要的应用)21cos() 2/sin

18、() 2/sin()(NtNatxNk/2kNk 当 且0)/sin()sin(NkkaA第36页/共62页第三十六页，共63页。二、同方向、不同频率(pnl)简谐振动的合成)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx利用(lyng)三角函数关系式：2cos2cos2coscos)cos()cos()(21tAtAtx合成(hchng)振动表达式：为了简单起见，先讨论两个振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为：第37页/共62页第三十七页，共63页。coscos)cos1 (21)cos1 (21)cos1 (21)cos1 (2124)2sin2s

19、in2cos2(cos24)2sin2sin2cos2)(cos2sin2sin2cos2(cos242cos2cos242222附录(fl)：三角函数关系式的证明第38页/共62页第三十八页，共63页。合成(hchng)振动表达式：2)(cos2)(cos21212ttA)cos()cos()(21tAtAtx21与当 都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分，合成振动是以 为角频率的谐振动2/ )(12| 2/)cos(2|12tA其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种合振动忽强忽弱的现象(xinxing)称为拍。第39页/共62页第三十九页

20、，共63页。1212)2(212单位时间内振动加强或减弱(jinru)的次数叫拍频显然，拍频是振动 的频率的两倍即拍频为：)2cos(12t)(txt第40页/共62页第四十页，共63页。三、振动方向垂直的同频率(pnl)简谐振动的合成设一个质点同时参与了两个振动(zhndng)方向相互垂直的同频率简谐振动(zhndng)，即);cos(101tAx)cos(202tAy10101sinsincoscosttAx20202sinsincoscosttAy)sin(sincoscos1020102201tAyAx第41页/共62页第四十一页，共63页。)sin(sincoscos10201022

21、01tAyAx)sin(cossinsin1020102201tAyAx221222212sincos2AAxyAyAx)(1020具体形状(xngzhun)由相位差 决定质点质点(zhdin)(zhdin)的运动方向与的运动方向与 有关。当有关。当 时，时，质点质点(zhdin)(zhdin)沿顺时针方向运动；当沿顺时针方向运动；当 时，时，质点质点(zhdin)(zhdin)沿逆时针方向运动沿逆时针方向运动2021AA 当当 时，时，正椭圆退化为圆正椭圆退化为圆椭圆(tuyun)方程第42页/共62页第四十二页，共63页。讨论(toln)1 0)(10200221222212AAxyAyA

22、xxAAy12在 直线(zhxin)上的运动yx221222212sincos2AAxyAyAx第43页/共62页第四十三页，共63页。讨论(toln)2)(10200221222212AAxyAyAxxAAy12所以(suy)是在 直线上的振动。讨论(toln)32)(10201222212AyAx所以是在X轴半轴长为 ， Y轴半轴长为 的椭圆方程，且顺时针旋转。1A2Ayx第44页/共62页第四十四页，共63页。质点的轨道是圆。X和Y方向(fngxing)的相位差决定旋转方向(fngxing)。21AA 讨论(toln)5讨论(toln)4所以是在X 轴半轴长为 ， Y轴半轴长为 的椭圆方

23、程，且逆时针旋转。1A2A1222212AyAx23)(1020第45页/共62页第四十五页，共63页。讨论(toln)6k21020为任意(rny)椭圆方程32102121020，kk综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆(tuyun)上进行（直线是退化了的椭圆(tuyun)）当两个分振动的振幅相等时，椭圆(tuyun)轨道就成为圆第46页/共62页第四十六页，共63页。四、振动方向垂直、频率不同(b tn)的简谐振动的合成一般是复杂的运动轨道(gudo)不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动下面就两种情况讨论 视为同频率的合成(hchng)，不过两个

24、振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不断地从下图所示图形依次的循环变化012120212当 时是顺时针转 时是逆时针转第47页/共62页第四十七页，共63页。0124124312474521223第48页/共62页第四十八页，共63页。2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线(qxin)，运动也具有周期-运动轨迹的图形称为李萨如图形用李萨如图形在无线电技术中可以(ky)测量频率：在示波器上，垂直(chuzh)方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率2:1:yxTT第49页/共62页

25、第四十九页，共63页。2 2 阻尼振动阻尼振动(z n zhn (z n zhn dn)dn)第50页/共62页第五十页，共63页。KmT220 谐振子的阻尼振动(z n zhn dn)dtdxvfr 无阻尼(zn)的自由振动振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比，与其(yq)方向相反弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程xkxxm 第51页/共62页第五十一页，共63页。022022xdtdxdtxd称 为振动系统的固有角频率，称 为阻尼系数0m2;20mkxkxxm 令（1）阻尼较小时， 此方程的解：202220)cos()(0tAetxt这种情况(qngkung)称为欠阻尼阻力使

26、周期(zhuq)增大第52页/共62页第五十二页，共63页。由初始条件决定A和初相位 ,设0000,)0(,0Vdtdxxxtt即有： 00000cossincosAAVAx,)(220020 xVxA0000 xxVtgt欠阻尼)(tx第53页/共62页第五十三页，共63页。tteCeCtx)(2)(1202202)(202（2）阻尼较大(jio d)时， 方程的解：21CC ， 是积分常数，由初始条件来决定，这种情况(qngkung)称为过阻尼t过阻尼)(tx无振动(zhndng)发生第54页/共62页第五十四页，共63页。t临界阻尼)(tx202称之为临界阻尼情况。它是振动系统刚刚不能作

27、准周期振动，而很快回到平衡位置的情况，应用在天平调衡中21,CC是由初始条件决定的积分常数tetCCtx)()(21（3）如果(rgu) 方程的解：202220是从有周期性因子(ynz) 到无周期性的临界点第55页/共62页第五十五页，共63页。3 3 受迫振动受迫振动(shu p zhn dn)(shu p zhn dn)和共振和共振第56页/共62页第五十六页，共63页。mHhmmk；令2;20 谐振子的受迫振动(shu p zhn dn)设强迫(qing p)力ptHfcosxvfr阻尼力：pthxdtdxdtxdcos22022是典型的常系数(xsh)、二阶、线性、非齐次微分方程由微分方程理论：非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的解+非齐次的一个特解第57页/共62页第五十七页，共63页。202其解为：)cos()cos()(00220ptAtAetxpt经过(jnggu)足够长的时间，称为定态