最好的高等数学复习要点及对应练习第五章多元函数微分学

1、第五章多元函数微分学 5.1 多元函数的概念、极限与连续性2 内容要点2 一、多元函数的概念2 二、二元函数的极限2 三、二元函数的连续性3 典型例题3 一、求二元函数的定义域3 二、有关二元复合函数4 三、有关二元函数的极限4 5.2 多元函数的偏导数与全微分6 内容要点6 一、偏导数6 二、全微分7 三、偏导数的连续性、函数的可微性，偏导数的存在性与函数的连续性之间的关系8 四、方向导数与梯度（数学一）（略） 8 五、二元函数的二阶泰勒公式（数学一）8 典型例题9 一、偏导数和高阶偏导数9 二、全微分11 5.3多元函数微分法12 内容要点12 一、复合函数微分法锁链公式12 二、隐函数微

2、分法12 典型例题13 5.4多元函数的极值与最值15 内容要点15 一、求zfxy，的极值 15 二、求多元2n函数条件极值的拉格朗日乘子法15 三、多元函数的最值问题16 典型例题16 一、普通极值问题16 二、条件极值问题17 5.1 多元函数的概念、极限与连续性内容要点一、多元函数的概念1. 二元函数的定义及其几何意义设d是平面上的一个点集，如果对每个点p xyd，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量xy，的二元函数，记以zfxy，d称为定义域。二元函数zfxy，的图形为空间一块曲面，它在xy平面上的投影区域就是定义域d。例如22221:1zxydxy，二元函数的

3、图形为以原点为球心，半径为1 的上半球面，其定义域d就是xy平面上以原点为圆心，半径为1 的闭圆。2. 三元函数与n元函数。ufxyzxyz， ， ， ，为空间一个点集则称ufxyz， ，为三元函数12nufxxx， ， ，称为n元函数。它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。二、 二元函数的极限设fxy，在点00 xy，的去心邻域内有定义；如果对任意0，存在0，只要22000 xxyy，就有fxya，则记以00limxxyyfxya，或00limxyxyfxya，称当xy，趋于00 xy，时，fxy，的极限存在，极限值为a，否

4、则，称为极限不存在. 值得注意：这里xy，趋于00 xy，是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于00 xy，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单地讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。三、二元函数的连续性1.二元函数连续的概念若0000limxxyyfxyfxy，则称fxy，在点00 xy，处连续。若fxy，在区域d内每一点皆连续，则称fxy，在d内连续。2.闭区域上连续函数的性质。定理 1（有界性定理）设fxy，在闭区域d上连续，则fxy，在d上一定有界。定理 2（最大值最小值定理）设fxy，在闭区域d上连续，则fx

5、y，在d上一定有最大值和最小值。maxxydfxym，（最大值）minxydfxym，（最小值）。定理3（介值定理）设fxy，在闭区域d上连续，m为最大值，m为最小值，若mcm，则存在00 xyd，使得00fxyc，。典型例题一、求二元函数的定义域【例 1】 求函数arcsin3xzxy的定义域，解要求13x，即33x；又要求0 xy即00 xy，或00 xy，综合上述要求得定义域300 xy或030 xy【例 2】 求函数2224ln21zxyyx的定义域。解要求2240 xy和2210yx即2222212xyyx函数定义域d在圆2222xy的内部（包括边界）和抛物线212yx的左侧（不包括

6、抛物线上的点）二、有关二元复合函数【例 1】 设22fxyxyx yy，求fxy，。解设xyuxyv，解出1122xuvyuv，代入所给函数化简221184fuvuvuvuv，故221184fxyxyxyxy，【例 2】 设2235fxyxyxxyy，求fxy，。解22223525xx yyxx yyx y25xyxy25fxyxy，三、有关二元函数的极限【例 1】 讨论21lim 1xx yxyaxy（0a常数） 。解原式21lim1xxy x yxyxyaxy而11lim1lim1xytxtyatxyexyt令又211limlim1xxyayaxyxy xyayx，原式1ae【例 2】 讨

7、论24200limxyx yxy解沿ylx，原式34220lim0 xlxxl x但沿2ylx，原式442420lim1xlxlxl xl可见原式的极限不存在。【例 3】 讨论3224200limxyxyxy解2422220 xyxyxy，332212224221022xyxyyxyxy而1200001lim0 lim002xxyyy；用夹逼定理可知原式05.2 多元函数的偏导数与全微分内容要点一、偏导数1. 定义设二元函数zfxy，若00000limxfxxyfxyx，存在，则记以00 xfxy， 或00 xyzx， 或00 xxyz，称为zfxy，在点00 xy，处关于x的偏导数。同理，若

8、00000limyfxyyfxyy，存在，则记以00yfxy，或00 xyzy，或00yxyz，称为zfxy，在点00 xy，处关于y的偏导数。类似地，设ufxyz， ，000 xfxyz， ，即000 xxdfxyzdx，000yfxyz， ，即000yydfxyzdy， ，000,xfxyz即000,zzdfxyzdz2.二元函数偏导数的几何意义00,xfxy表示曲面,zfx y与平面0yy的截线在点0000,xyfxy处的切线关于x轴 的 斜 率 ；00,yfxy表 示 曲 面,zfx y与 平 面0 xx的 截 线 在 点0000,xyfxy，处的切线关于y轴的斜率3.高阶偏导数设,z

9、fx y的偏导数,xfx y和,yfx y仍是二元函数，那么它们的偏导数就称为,zfx y的二阶偏导数，共有四种22xxzzfxyxxx，2xyzzfxyyxx y，2yxzzfxyxyy x，22yyzzfxyyyy，当22zzx yy x，在xy，处为连续则22zzx yy x， 也就是说在这种情况下混合偏导数与求导的次序无关。类似地，可以讨论二元函数的三阶及n阶偏导数。也可以讨论n元函数3n的高阶偏导数。二、全微分1. 二元函数的可微性与全微分的定义设zfxy，在点00 xy，处有全增量0000zfxxyyfxy，若220za xb yoxy其中ab，不依赖于x，y只与00 xy，有关，

10、则称zfxy，在00 xy，处可微，而a xb y称为zfxy，在00 xy，处的全微分，记以00 xydz，或00 xydf，2.二元函数的全微分公式当zfxy，在点00 xy，处可微时则000000 xyxydzfxyxfxyy，0000 xyfxydxfxydy，这里规定自变量微分dxxdyy，。一般地xydzdfxyfxy dxfxy dy，3.二元函数全微分的几何意义二元函数zfxy，在点00 xy，处的全微分00 xydz，在几何上表示曲面zfxy，在点0000 xyfxy， ，处切平面上的点的竖坐标的增量。4.n元函数的全微分公式类似地可以讨论三元函数和n元3n函数的可微和全微分

11、概念，在可微情况下，xyzdfxyzfxyz dxfxyz dyfxyz dz， ， ， ， ，1211knnxnkkdfxxxfxxdx， ， ，三、偏导数的连续性、 函数的可微性， 偏导数的存在性与函数的连续性之间的关系设zfxy，则zzxy，连续dz存在zzxyzfxy， 存在，连续四、方向导数与梯度（数学一） （略）五、二元函数的二阶泰勒公式（数学一）设zfxy，在点00 xy，的某一个邻域内有三阶连续的偏导数。xy，为此邻域内任一点，则有2200000000000212!fxyfxyfxyfxyfxyxxyyxxxyx，2220000000212!fxyfxyxxyyyyrx yy，

12、其中余项333200032133!ffrxxxxyyxxy，3323000233ffxxyyyyx yy，其中在0 x与x之间，在0y与y之间。典型例题一、偏导数和高阶偏导数【例 1】求下列函数的一阶和二阶偏导数（1）44224zxyx y（2）yzx（3）sinzxxy解（1）3248zxxyx；3248zyx yy；2222128zxyx；216zxyx y；2222128zyxy（2）1yzyxx；lnyzxxy；2221yzy yxx；2111ln1lnyyyzxyxxxyxx y222lnyzxxy（3）sincoszxyxxyx；coszxxyy；222cossinzxyxxyx；

13、2cossinzxyxxyx y；22sinzxxyy【例 2】求2221uxyz的一阶和二阶偏导数。解令222rxyz，则1ur231udurxxxdrxrrr 同理3uyyr，3uzzr，222222423551323uxxrxyzxrxrrrr同理2222252uyzxyr；2222252uzxyzr，24533uyxyxrx yrr同理253uxzz xr，253uyzy zr【例 3】求zxuy的一阶和二阶偏导数。解11zzzuzxzxxyyy121zzzzuxxzxzxzyyyyyylnzuxxzyy222221(1)zzzz zxuz zxxyyy2221zzz zxuyy222

14、lnzuxxzyy，2211zzuz xx yy，11211lnlnzzzzuxzxxxzxx zyyyyyyyy211lnlnzzzuxzxxxzxy zyyyyyyyyy，二、全微分【例 1】求xyze的全微分。解xyxyzzyexexy，xydzeydxxdy【例 2】设234lnuxyz，求du。解2341ln2uxyz234uxxxyz，223432uyyxyz，32342uzzxyz232342342xdxy dyz dzduxyz5.3多元函数微分法内容要点一、复合函数微分法锁链公式模型 1. zf uvuu xyv v xy， =，zzuzzzuzxuxxyuyy；模型 2.u

15、fxyzxy， ，z=z，xzyzuzffxxuzffyy 模型 3. ufxyzyy xz x， ，zxyzduffyxfzxdx模型 4. wf uvuu xyzvv xyz， ， ，uvuvuvwuvffxxxwuvffyyywuvffzzz 还有其他模型可以类似处理。二、隐函数微分法1. 设0f xyz， ，确定zz xy，则yxzzffzzxfyf；2.确定xx yz，则yzxxffxxyfzf；3.确定yy zx，则xzyyffyyzfxf；典型例题【例 1】设ufxyz， ，有连续的一阶偏导数，又函数yy x及zz x分别由下列两式确定2xyexy和0sinxzxtedtt，求d

16、udx。解根据模型3. xyzd ud yd zfffd xd xd x由2xyexy两边对x求导，得0 xydydyeyxyxdxdx解出dyydxx（分子和分母消去公因子1xye）由0sinxzxtedtt两边对x求导，得sin1xxzdzexzdx解出1sinxexzdzdxxz所以1sinxexzdufyffdxxxyxzz【例 2】 设, ,ufx y z有连续偏导数，,zz x y由方程xyzxeyeze所确定，求du。解 一令, ,xyzf x y zxeyeze得1xxfxe，1yyfye，1zzfze则用隐函数求导公式得1111xzyzxzfzxzyeexfzyz；根据模型2

17、. 11x zxzxzuzxffffexxz11y zyzyzuzyffffeyyz1111xzyzxzyzuuxydudxdyffedxffedyxyzz解二在xyzxeyeze两边求微分得111xyzx e dxy e dyz e dz解出111xyzx e dxy e dydzz e代入xyzduf dxf dyf dz111xyxyzzx e dxy e dyf dxf dyfz e合并化简也得1111xzyzxzyzxyduffedxffedyzz【例 3】已知0 xyfzz，确定zz xy，其中f uvz xy，均有连续偏导数，求证zzxyzxy。证0 x yfuvfg xyzz

18、z， ，2211xuyvzuvxygfgfgffzzzz ， ，根据隐函数求导公式xuzuvgzfzxgxfyfyvzuvgzfzygxfyf则得zzxyzxy5.4多元函数的极值与最值内容要点一、求zfxy，的极值第一步00 xyfxyfxy，求出驻点12kkxykl， ，第二步令2kxxkkyykkxykkfxyfxyfxy，若0k则kkfxy，不是极值若0k则不能确定（有时需从极值定义出发讨论）若0k则kkfxy，是极值进一步若0 xxkkfxy，则kkfxy，为极小值若0 xxkkfxy，则kkfxy，为极大值二、求多元2n函数条件极值的拉格朗日乘子法求1nufxx， ，的极值约束条件

19、11100nmnxxmnxx， ， ， ，作11111mnmniiniffxxfxxxx， ， ， ， ，111110000nmxxnmnfffxxfxx， ， ，求出112knxxklk， ， ，是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性，这种方程的关键是解方程组的有关技巧。三、多元函数的最值问题典型例题一、普通极值问题【例】求函数44222zxyxxyy的极值解3422zxxyx，3422zyxyy要求0zzxy，得3322xyxy故知xy，由此解得三个驻点00 xy11xy11xy又222122zxx，22zx y，222122zyy在点11，处221 110zax，211zbx y，-2，221 110zcy，2960acb又100a，