最新圆锥曲线题型归类总结教学文案

1、学习资料高考圆锥曲线的常见题型题型一：定义的应用1、圆锥曲线的定义：（ 1）椭圆（ 2）椭圆（ 3）椭圆2、定义的应用（ 1）寻找符合条件的等量关系（ 2）等价转换，数形结合3、定义的适用条件：典型例题例 1、动圆 M与圆 C1 :(x+1) 2+y2 =36 内切 , 与圆 C2:(x-1) 2+y2=4 外切 , 求圆心 M的轨迹方程。例 2、方程表示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。2、双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口

2、方向。典型例题例 1、已知方程x 2y2m 121 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m的取值范围是m例 2、k 为何值时 , 方程 x 2y 21的曲线：9 k5k精品文档学习资料(1) 是椭圆 ;(2) 是双曲线 .题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题1、椭圆焦点三角形面积 Sb 2 tan；双曲线焦点三角形面积 S b2 cot222、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3、 mn, m n, mn, m 2n2 四者的关系在圆锥曲线中的应用；典型例题例 1 、 椭 圆 x2y 21(ab 0)上一点 P与两个焦点 F1，F2 的张角a 2b2F1 P

3、F212的面积为b2tan 。，求证： F PF2例 2、已知双曲线的离心率为2， F1 、F2 是左右焦点， P 为双曲线上一点，且，求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；3、注重数形结合思想不等式解法典型例题精品文档学习资料例 1、已知 F1 、 F2 是双曲线 x2y 21（ a0,b 0）的两焦点，以线段 F1 F2 为a2b 2边作正三角形 MF1 F2 ，若边 MF1 的中点在双曲线上， 则双曲线的离心率是

4、（）A.423B. 31C.31D.3 12例 2、双曲线 x2y21（ ）的两个焦点为1、F2, 若 Pa2b2a 0,b0F为其上一点，且 |PF1|=2|PF 2|, 则双曲线离心率的取值范围为A. (1,3)B. 1,3C.(3,+)D. 3,例 3、椭圆 G ： x2y21(a b 0) 的两焦点为 F1 ( c,0), F2 (c,0) ，椭圆上存在a2b2uuuuv uuuuv.求椭圆离心率的取值范围；点M使 12eFMF M0例 4、已知双曲线 x2y 21(a 0, b 0) 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60 的直a2b2线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲

5、线离心率的取值范围是（ A） (1,2（B） (1,2)（C） 2,)（ D） (2,)题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系精品文档学习资料点在椭圆内x 2y21a2b2点在椭圆上x 2y21a2b2点在椭圆外x 2y21a2b22、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：>0相交=0相切（需要注意二次项系数为0 的情况）<0相离3、弦长公式：AB1k 2 x1x21k 2 ( x1x2 )1 k 2aAB11y1y211( y1y2 )1k2k212ak4、圆锥曲线的中点弦问题：1、伟达定理：2、点差法：（ 1）带点进圆锥曲线方程，做差化简（ 2）得到

6、中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例 1、双曲线 x2-4y2=4 的弦 AB 被点 M(3,-1)平分 ,求直线 AB 的方程 .例 2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1 交于 A,B 两点，C 是 AB 的中点，若 |AB|=22 ，O 为坐标原点， OC 的斜率为2 /2，求椭圆的方程。题型六：动点轨迹方程：精品文档学习资料1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；2、求轨迹方程的常用方法：（ 1）直接法：直接利用条件建立之间的关系；例 1、如已知动点 P到定点 F(1,0) 和直线的距离之和等于4，求 P 的轨迹方程（ 2）待定系数法：

7、已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。例 2、如线段 AB过 x 轴正半轴上一点M（m， 0），端点 A、B 到 x 轴距离之积为2m，以x 轴为对称轴，过A、O、 B 三点作抛物线，则此抛物线方程为(3) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；例 3、由动点 P 向圆0作两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B， APB=60，则动点 P 的轨迹方程为例 4、点 M与点 F(4,0) 的距离比它到直线的距离小于 1，则点 M的轨迹方程是 _例 5、一动圆与两圆 M：和 N：都外切，则动圆圆心的轨迹为

8、(4) 代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程:精品文档学习资料例 6、如动点 P 是抛物线上任一点，定点为, 点 M分所成的比为 2，则 M的轨迹方程为 _(5) 参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。例 7、过抛物线的焦点 F 作直线交抛物线于 A、B 两点，则弦 AB的中点M的轨迹方程是题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法）一、设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为y=kx+b与 x=my+n的

9、区别）二、设交点坐标；（提醒 : 之所以要设是因为不去求出它, 即“设而不求”）三、联立方程组；四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五、根据条件重转化； 常有以下类型：“以弦 AB为直径的圆过点0”（提醒： 需讨论 K是否存在）OA OBK1?K2uuur uuur1OA?OB 0x1 x2 y1 y2 0“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0 问题”x1 x 2 y1 y2 >0；“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（ K1K2 0或 K1K 2）；精品文档学习资料“共线问题”uuuruuur（如： A

10、QQB数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如： A、O、 B 三点共线直线 OA与 OB斜率相等）；“点、线对称问题”坐标与斜率关系；“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择） ；六、化简与计算；七、细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想：1、“常规求值”问题： 需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题： 当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理

11、定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明5、求最值问题时： 将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值） 、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想： 有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；7、思路问题： 大多数问题只要 忠实、准确 地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。典型例题：例 1、已知点 F 0,1 ，直线 l ： y1 ， P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l

12、的垂线，垂足为Q，且uuur uuuruuur uuurggQP QFFP FQ精品文档学习资料（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（2）已知圆 M 过定点 D 0,2，圆心 M 在轨迹 C 上运动，且圆 M 与 x 轴交于 A、B两点，设 DAl1 ， DBl 2，求 l1l 2 的最大值l2l1例 2、如图半圆， AB为半圆直径， O为半圆圆心，且ODAB，Q为线段 OD的中点，已知 | AB|=4 ，曲线 C过 Q点，动点 P 在曲线 C 上运动且保持 | PA|+| PB| 的值不变 .(1) 建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程；(2) 过 D 点的直线 l 与曲线 C 相

13、交于不同的两点 M、N，且 M在 D、 N 之间，设 DM =，求 的取值范围 .DN精品文档学习资料例3、设 12分别是椭圆 C： x2y21 (a b 0)的左右焦点。F、 Fa2b2（ 1）设椭圆 C 上点 ( 3, 3 ) 到两点 F1 、 F2 距离和等于 4 ，写出椭圆 C 的方程和2焦点坐标；（ 2）设 K 是（ 1）中所得椭圆上的动点，求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程；（ 3）设点 P 是椭圆 C 上的任意一点，过原点的直线 L 与椭圆相交于 M ，N 两点，当直线 PM ，PN 的斜率都存在， 并记为 kPM ，kPN ，试探究 kPM K PN 的值是否与点 P 及直

14、 线 L 有关，并证明你的结论。例 4、已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 ，最小值为 1（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点（ A， B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标精品文档学习资料例 5、已知椭圆两焦点F1 、F2 在 y 轴上，短轴长为 22 ，离心率为 2 ，P是椭圆在第一象限弧上一点，且2uuur uuuurPF1 PF21 ，过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于 A

15、、B 两点。（ 1）求 P 点坐标；（ 2）求证直线 AB的斜率为定值；精品文档学习资料典型例题：例1、由、解得，xa2不妨设 A a2,0， Ba2,0， l124 ， l224 a 2a 2l1l2 l12l 222a216l 2l1l1l 2a464a22282 116a2a464a4，64当 a0 时，由得， l1l 22 1162 1162 2 l2l1a2642 8a2当且仅当 a22 时，等号成立当 a0 时，由得， l1l22 l 2l1精品文档学习资料故当 a2 2 时， l1l 2的最大值为 2 2 l 2l1例 2、解： (1) 以 AB、OD所在直线分别为 x 轴、 y

16、 轴， O为原点，建立平面直角坐标系，PAPBQAQB2 21225| AB|=4.| |+|=|+|=2曲线 C 为以原点为中心， A、 B 为焦点的椭圆 .设其长半轴为a短半轴为b半焦距为 c则2a5,a=5,c=2,b,=2=1.曲线C的方程为 x2y2=1.5+ykx(2) 设直线l 的方程为+2,=代入 x2y2=1,得(1+5k2x2kx+15=0.5+)+20=(20 k) 24×15(1+5k2 ) 0, 得 k2 3 . 由图可知DMx15DNx2=x1x220k15k 2由韦达定理得15x1x215k 2x1 x2 代入得将=(1) 2 x22400k2(1 5k

17、2 )2x221515k 2两式相除得 (1) 2400k28015(15k 2 )3(51)k 2k 23 , 015 , 5k1520 ,即480165k 232315)33(2k4(1) 216 ,DM0,解得 133DN3x1DM,在 、 中间，1DNx2DNM又当 k 不存在时，显然 = DM1DN3( 此时直线 l 与 y 轴重合 )精品文档学习资料1/3 1.31(3,3)(3)2(3 ) 2212a =4, 22a2b2Cx2y21(1,0),(1,0)4432KF1B x,yK (2 x1,2 y)5Kx2y21(2 x1)2(2 y)2174343KF1B(x1)2y218

18、2343LMNM (x0, y0 ) N ( x0, y0 ), p( x, y) ,x02y02x2y2M,N,Pa2b21 ，a2b2110kPM K PN = yy0yy0y2y02b222 =2xx0xx0xx0a13kPMK PNPL144x2y21543A( x1，y1 ) B( x2， y2 )ykxmx2y2(3 4k2 ) x28mkx4(m23)0431.精品文档学习资料64m2k216(34k2)(m23)，即34k22，则0m0x1x28mk 2 ，34kx gx4(m23) .1234k 2又 y1 y2(kx1m )(kx2m)k2x1x2mk ( x1x2 )m2

19、3(m24k2 )，34k 2因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点D (2，0) ，kAD kBD1 ，即x1y1 g y21 ，2x22y1 y2x1 x22( x1x2 ) 4 0 ，3(m24k 2 )4(m23)16mk4 0 ，34k 234k 234k 29m216mk 4k20 解得： m12k ， m22k ，且均满足 34k2m20 ，71、当m12k时，l的方程为yk( x2)，直线过定点， ，与已知矛盾；(2 0)2、当 m22k时， l的方程为 yk x2，直线过定点2 ，7770所以，直线 l 过定点，定点坐标为2， （ 14 分）07例 5、解（ 1） y2x21F1 (0,2), F2 (0,2) ，设 P( x0 , y0 )( x0 0, y00)42。uuuruuuuruuur uuuur(2 y02 ) 1则 PF1( x0 , 2 y0 ), PF2( x0,2 y0 ),PF1 PF2 x02x2y224y2Q 点 P(x0 , y0 ) 在曲线上，则001.x00242从而 4y02(2 y02 )1，得 y02 ，则点 P 的坐标为 (1,