精品解析：陕西省宝鸡市金台区2019-2020学年高三教学质量检测数学理试题（解析版）

1、金台区2020届高三教学质量检测题理科数学注意事项：1. 答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚.2. 全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】分别解出集合，再求交集即可得出答案.【详解】集合.集合.所以故选：b.【点睛】本题考查集合的交集，属于基础题.正确解出集合是解本题的关键.2.设，则在复平面内对应的点位于（ ）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】a【解析】【分析】由，知道，即可根据复平面

2、定义选出答案.【详解】因为.所以,在复平面内对应点.在第一象限.故选：a.【点睛】本题考查共轭复数与复平面的定义，属于基础题.熟练掌握其定义是解本题的关键.3.已知，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据与解出,得到,即可计算出的值.【详解】因为.所以,，即,所以.故选：d.【点睛】本题考查向量的坐标运算、模长、数量积,属于基础题.求出是解本题的关键.4.十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学一次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜

3、欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】基本事件总数，这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数，由此能求出这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率【详解】解：现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，基本事件总数，这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数，这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是故选【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于基

4、础题5.如图是某学校研究性课题什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（）a. 回答该问卷的总人数不可能是100个b. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多c. 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少d. 回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个【答案】d【解析】分析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解【详解】对于选项a，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择的同学人数不为整数，故a正确，对于选项b，由统计图可知，选择“设

5、置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故b正确，对于选项c，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故c正确，对于选项d，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故d错误，故选d【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题6.若，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据不等式基本性质和函数的单调性即可判断出答案.【详解】a.当时 ,错误.b.因为且单调递增,所以，错误.c.当时，,错误.d.因为，所以，即,正确.故选：d.【点睛】本题考查不等式的基本性质,函数的单调性，属于基础题.7.已知平面，下列结论中正确的是（ ）a.

6、 “内有两条相交直线与平行”是“”的充分不必要条件；b. “内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件；c. “，”是“”的充要条件；d. “”是“，平行于同一直线”的充要条件.【答案】b【解析】【分析】由面面平行的判定定理与性质定理即可判断出答案.【详解】a. “内有两条相交直线与平行”是“”的充要条件，错误.b. “内有无数条直线与平行”不能推出“”； “”可以推出“内有无数条直线与平行”;所以“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件.正确.c. “，”是“”的必要不充分条件；错误.d. “”是“，平行于同一直线”的充分不必要条件.错误.故选：b.【点睛】本题考查面面平行的判定定理

7、与性质定理与充分必要条件的判定.属于基础题.8.若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则（ ）a. 2b. 3c. 4d. 8【答案】c【解析】【分析】先求抛物线焦点，再根据双曲线焦点列方程，解得结果.【详解】因为的焦点是，双曲线的焦点是 所以故选：c【点睛】本题考查抛物线焦点以及双曲线焦点，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知 则（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据二倍角正余弦公式化简,再根据平方关系求得结果.【详解】故选：a【点睛】本题考查二倍角正余弦公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.10.已知函数的图像过两点在内有且只有两个极值点，则（ ）

8、a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】将两点代入函数,即可求出、,再由在内有且只有两个极值点，可得到,即可得出答案.【详解】因为函数的图像过两点所以 又在内有且只有两个极值点，即 所以，即.故选：c.【点睛】本题考查正弦型函数解析式，属于中档题.正确利用在内有且只有两个极值点判断出是解本题的关键.11.已知、是双曲线的焦点，是双曲线m的一条渐近线，离心率等于 的椭圆e与双曲线m的焦点相同，p是椭圆e与双曲线m的一个公共点，则（ ）a. 8b. 6c. 10d. 12【答案】d【解析】【分析】利用、是双曲线的焦点, 是双曲线的一条渐近线，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，求出椭圆的

9、长轴长，再利用椭圆、双曲线的定义，即可得出结论【详解】解：由题意， 双曲线（0，3），（0，3），离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，,是椭圆与双曲线的一个公共点，, 故选d【点睛】本题考查椭圆、双曲线的定义，考查学生的计算能力，确定椭圆的长轴长是关键12.设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用对勾函数求得在的最小值，再得图象向右移动个单位，其函数值扩大倍，从而求解.【详解】当时，的最小值是由知当时，的最小值是当时，的最小值是要使，则，解得：或 故选d.【点睛】本题考查对勾函数和的图象平移和函数值的倍数关系，属

10、于难度题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.8，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_【答案】【解析】【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.8×p0.6，由此解得p的值【详解】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.8×p0.6，解得p，故选【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题14.已知定义在上的奇函数满足，且当时，则_【答案】【解析】【分析】根据定义在上的奇函数：，解出

11、,由知道函数关于对称，结合奇函数得到函数为以为周期的周期函数.利用周期性化简解出.【详解】因为为定义在上的奇函数.所以,即，又，即函数关于对称,又关于原点对称,所以函数为以为周期的周期函数.所以故答案为:.【点睛】本题考查函数的周期性，属于中档题.解本题的关键在于能够利用轴对称与点对称得到函数的周期性.15.的内角的对边分别为，若的面积为，则_【答案】6【解析】【分析】由正弦定理与可解出,即可得到,结合的面积为与,则可解出，代入角的余弦公式，即可解出答案.【详解】因为.由正弦定理有：.又因为，即.所以.所以.又因为 , .解得： 又所以故答案为：6.【点睛】本题考查解三角形，熟练运用正余弦定理

12、与三角形的面积公式是解本题的关键.16.如下图所示，用一个边长为的正方形硬纸板，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为_【答案】【解析】【分析】先确定蛋巢四个小三角形直角顶点所形成平面到球心距离，再加上此平面到底面距离即可.【详解】由题意得蛋巢四个小三角形直角顶点围成一个正方形，对角线长为1，因为表面积为的球半径为1，所以球心到蛋巢四个小三角形直角顶点所形成平面距离为又小三角形直角顶点到底面距离为，所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为故答案为：【点睛】本题考查球表面积以及球截面，考查基本分析求

13、解能力，属基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图6,四棱柱的所有棱长都相等,四边形和四边形为矩形.(1)证明:底面;(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1) 详见解析 (2)【解析】试题分析:(1)要证明线面垂直,只需要在面内找到两条相交的线段与之垂直即可,即证明与垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面为菱形,进而得到均为中点,得到三者相互平行,四边形均为矩形与平行相结合即可得到与垂直,进而证明线面垂直.(2)要求二面角,此问可以以以为坐标

14、原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,利用空间向量的方法得到二面角的余弦值,在此说明第一种方法,做出二面角的平面角, 过作的垂线交于点,连接.利用(1)得到,在利用四边形为菱形,对角线相互垂直,两个垂直关系即可得到垂直于平面,进而得到,结合得到线面垂直,说明角即为哦所求二面角的平面角,设四棱柱各边长为,利用勾股定理求出相应边长即可得到角的余弦值,进而得到二面角的余弦值.(1)证明:四棱柱的所有棱长都相等四边形和四边形均为菱形分别为中点四边形和四边形为矩形且又且底面底面.(2)法1:过作的垂线交于点,连接.不妨设四棱柱的边长为.底面且底面面面又面四边形为菱形又且,面面又面又且,面面为

15、二面角的平面角,则且四边形为菱形,则再由的勾股定理可得,则,所以二面角的余弦值为.法2:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形是菱形,因此,又面,从而两两垂直,如图以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,不妨设,因为,所以,于是各点的坐标为:,已知是平面的一个法向量,设是平面的一个法向量,则,取,则,所以,故二面角的余弦值为.考点：线面垂直 二面角 勾股定理 菱形【此处有视频，请去附件查看】18.某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为元，低于箱按原价销售，不低于箱则有以下两种优惠方案：以箱为基准，每多箱送箱；通过双方议价，买方能以优惠成交的概率为，以优惠成交的概率为.

16、甲、乙两单位都要在该厂购买箱这种零件，两单位都选择方案，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；某单位需要这种零件箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？【答案】（1）；（2）选择方案更划算【解析】【分析】（1）利用对立事件概率公式即可得到结果；（2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为x元，则x184或188得到相应的分布列及期望值，计算两种方案购买总价的数学期望从而作出判断.【详解】(1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4×0.6=0.24，所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率1-0.24=0.76

17、(2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为x元，则x184或188x的分布列为x184188p0.60.4则ex184×0.6+188×0.4185.6若选择方案，则购买总价的数学期望为185.6×650120640元若选择方案，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，从而购买总价为200×600120000元因为120640>120000，所以选择方案更划算评分细则：第(1)问中，分三种情况求概率，即所求概率为0.6×0.4+0.42+0.620.76同样得分；第(2)问中，在方案直接计算购买总价的数学期望也是可以的，解析

18、过程作如下相应的调整：设在折扣优惠中购买总价x元，则x184×650或188×650x的分布列为x184×650188×650p0.60.4则ex184×650×0.6+188×650×0.4120640【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望，概率的计算，考查推理能力与计算能力，属于中档题.19.已知是数列的前项和，且满足（1）证明为等比数列；（2）求数列的前项和【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）当时，求得首项为3，由题意可得，运用等比数列的定义即可得证；（2）运用等比数列的通项公式可得，再由数列的

19、求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，化简即可得到所求和【详解】解：（1）证明：当时，可得，转化为：，即，所以注意到，所以为首项为4，公比为2等比数列；（2）由（1）知：，所以，于是【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，同时考查等差数列的求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题20.已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为（1）求椭圆的方程；（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，求证：.【答案】（）（）见解析【解析】【分析】（）根据椭圆的中点弦

20、所在直线的斜率的性质，得到，得到，再结合椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程，联立方程组，求得，进而求得椭圆的方程；（）将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到两根和与两根积，将证明结果转化为证明直线，的斜率互为相反数，列式，可证.【详解】（）由题意，即 又联立解得所以，椭圆的方程为：.（）设，由，得，所以，即，又因为，所以，解法一：要证明，可转化为证明直线，的斜率互为相反数，只需证明，即证明. ，.解法二：要证明，可转化为证明直线，与轴交点、连线中点的纵坐标为，即垂直平分即可.直线与的方程分别为：，分别令，得，而，同解法一，可得，即垂直平分.所以，.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，

21、涉及到的知识点有椭圆方程的求解，用到的结论有椭圆中点弦所在直线的斜率的特征，再者就是直线与椭圆相交的综合题，认真审题是正确解题的关键，注意正确的等价转化.21.已知函数.（1）判断函数的奇偶性并求当时函数的单调区间；（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，再利用函数的奇偶性的定义进行判定其奇偶性，利用范围去掉绝对值符号，求导，利用导数的符号变化确定函数的单调区间；（2）分离参数，将问题转化为求函数的值域问题，再利用导数确定函数的单调性和极值，进而求出函数的值域【详解】（1）函数的定义域为且，为偶函数当时，若，则递减；若，则递增.得的递增区间是，递减区间是.（3）由，得： 令当，显然时，；时，时，又，为奇函数，时，的值域为若方程有实数解，则实数的取值范围是.【点睛】1.处理函数的性质时，要注意函数的“定义域优先原则”，即先求出函数的定义域，再在定义域的范围内研究函数的奇偶性、单调性等问题；2.处理含有参数的函数问题时，往往采用分离参数法，将问题转化为求函数的值域或最值问题（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题