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文档简介
1、黄金卷03(新课标卷)文科数学本卷满分150分,考试时间120分钟。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合,则( )。 a、b、c、d、【答案】d【解析】,故选d。2已知是复数,为的共轭复数。若命题:,命题:,则是成立的( )。a、充分不必要条件b、必要不充分条件c、充要条件d、既不充分也不必要条件【答案】a【解析】由可得,由,设(),得,或,即或,是成立的充分不必要条件,故选a。3王老师是高三的班主任,为了在新型冠状病毒疫情期间更好地督促班上的学生完成作业,王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群,群的成员由学生、家长、老
2、师共同组成。已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数,女学生人数多于家长人数,家长人数多于教师人数,教师人数的两倍多于男学生人数。则该钉钉群人数的最小值为( )。a、b、c、d、【答案】c【解析】设教师人数为,家长人数为,女学生人数为,男学生人数为,、,则,则,又“教师人数的两倍多于男学生人数,当时,此时总人数最少为,故选c。4函数的图像大致为( )。a、 b、 c、 d、【答案】a【解析】,是奇函数,故排除cd,又,故排除b,故选a。5音乐是由不同频率的声音组成的。若音()的频率为,则简谱中七个音()、()、()、()、()、()、()组成的音阶频率分别是、,其中相邻两个音的频率比是一个音到另
3、一个音的台阶。上述“七声音阶”的台阶只有两个不同的值,记为、() ,称为全音,称为半音,则下列关系式成立的是( )。(参考数据:、)a、b、c、d、【答案】d【解析】由题意知,显然a、b错误,由,c错误,而,d正确,故选d。6过点的直线与圆:交于、两点,当时,直线的斜率为( )。a、b、c、d、【答案】a【解析】由题意得,则圆心到直线的距离为,当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时直线与圆相切,不合题意,舍去,当直线的斜率存在时,设直线的方程为,则,解得,故选a。7近年来,黄金周给百姓的生活带来了巨大变化。不断增长的旅游需求,日益完善的旅游市场和四通八达的交通出行,让人们对黄金周热情不改。而
4、随着社会老龄化程度的不断加深,老人出游人数也越来越多。据全国老龄办统计,国内游总人次中有两成是老年人。某旅行社在十一期间接待了大量的老年旅行团,旅行团人数的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,可见部分如下(阴影部分为损坏数据),估算该旅行社团的平均人数和频率分布直方图中的矩形的高分别为( )。a、,b、,c、,d、,【答案】a【解析】由茎叶图得,旅行团人数在的频数为,由频率分布直方图可得,人数在的频率为,可得旅行团总数为,则旅行团人数在的频率为,在频率分布直方图中对应的高为,可得频率分布表如下:人数频率平均人数为,故选a。8在长方体中,则异面直线与所成角的余弦值为( )。a、b、c、d
5、、【答案】c【解析】由题意面出图形,如图所示,连接、,则,即为与所成的角,在中,由余弦定理得,故异面直线与所成角的余弦值为,故选c。9已知函数的图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为,关于的方程在上有两个不同实根,则实数的取值范围是( )。a、b、c、d、【答案】b【解析】的最大值为,最小值为,其图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为,解得,当时,方程有两个不同实根,故选b。10已知函数为定义在上的奇函数,当时,则关于的函数()的所有零点之和为( )。a、b、c、d、【答案】d【解析】为定义在上的奇函数,先画当时的图像如图,再围绕原点将的图像旋转得到时的图像,的零点可以看做与()的图像的交点,
6、由图像可知交点一共有个,设交点的横坐标从左到右依次为、,则,且满足,解得,故选d。11已知是双曲线(,)的左焦点,过作一条渐近线的垂线与右支交于点,垂足为,且,则双曲线方程为( )。a、b、c、d、【答案】d【解析】设双曲线右焦点为,连接,左焦点到渐近线的距离为,故,在中,由双曲线定义得,在中,由余弦定理得,整理得,即,又,解得、,故双曲线方程为:,故选d。12已知四棱锥中,是边长为的正三角形,二面角的余弦值为,当四棱锥的体积最大时,该四棱锥的外接球的体积为( )。a、b、c、d、【答案】c【解析】四棱锥的底面面积为定值,故当四棱锥的高最大时,其体积最大,二面角的余弦值为,故当中边上的高最大时
7、,当四棱锥的高最大,又,当时,边上的高最大,此时四棱锥的图像如图所示,连接交于点,连接,设的外心为,连接,在上取一点使其满足,、,为二面角的一个平面角,故,、,平面,又,平面,为四棱锥的外接球的球心,由,解得,故该四棱锥的外接球的体积为,故选c。二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知,则 。【答案】【解析】,则,由正弦二倍角公式得。14在中,点满足,若,则 。(用弧度制作答)【答案】【解析】取的中点为,连接,则,设,则,解得,是等边三角形,。15已知函数与函数()的图像上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围为 。【答案】【解析】由题意得,在上有解,即在上有解,即函数与函数的图
8、像在上有交点,函数的图像是由函数的图像左右平移得到的,且当的图像经过点时,函数与函数的图像有界交点,此时代入点,有,得,。16在中,点是的中点,且,则 , 。(本题第一空2分,第二空3分)【答案】【解析】,在和中,分别由正弦定理得,又,两式相比得,即,即,即,则或,又,故。三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)某公司统计了年期间该公司年收入的增加值(万元)以及相应的年增长率,所得数据如表所示:年份代码增加值增长率(1)通过表格数据可知,可用线性回归模型拟合年的年收入增加值与代码的关系,求增加值关于代码的线性回归方程;(2)从哪年开始连续三年
9、公司年收入増加值的方差最大?(不需要说明理由)附:对于一组数据、,其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,。【解析】(1)依题意, 1分, 2分, 4分, 6分,故, 8分故所求的同归方程为; 9分(2)年。 12分18(12分)已知等比数列的前项和为,且()。(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前项和。【解析】(1)当时, 1分当时,即, 2分等比数列的公比是,即,故, 3分故数列是首项为,公比为的等比数列,; 4分(2)由(1)知,又,故, 6分则, 7分 , 8分两式相减得:, 11分。 12分19(12分)如图,已知正方体的棱长为,、分别是、的中点。(1)求证:
10、平面平面;(2)在线段上是否存在点,使得平面?若存在,求线段的长;若不存在,请说明理由。【解析】(1)连接,则为的中位线, 1分在正方体中,同理可证, 2分又,平面,平面,平面平面; 4分(2)取的中点,则满足平面,且,证明如下: 5分取的中点,连接、,则, 6分在中,由、得, 7分在中,由、得, 8分在中,由、得, 9分在中, 10分又,平面, 11分平面,且。 12分20(12分)已知抛物线:,过点的动直线与抛物线交于不同的两点、,分别以、为切点作抛物线的切线、,直线、交于点。(1)求动点的轨迹方程;(2)求面积的最小值,并求出此时直线的方程。【解析】(1)设,以为切点的切线为,整理得:,
11、 1分同理:以为切点的切线为:, 2分联立方程组:,解得, 3分设直线的方程为:,联立方程组得:, 5分,点的轨迹方程为; 6分(2)由(1)知:, 8分又到直线的距离为:, 9分, 11分时,取得最小值,此时直线的方程为。 12分21(12分)已知函数(且)。(1)讨论函数的单调性;(2)若函数有两个零点、(),且,证明:。【解析】(1)的定义域为, 1分当时,恒成立,则在上单调递减, 2分当时,令,当时,则在上单调递减,当时,则在上单调递增; 4分(2)由(1)知,依题意可知,解得,由得:(),由及得,即, 6分欲证,只要,注意到在上单调递减,且,只要证明即可,由得, 7分 , 9分令, 10分则,则在上是递增的, 11分于是,即,综上。 12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分。22选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系中,曲线的方程为(为参数),直线的方程为。以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。(1)求曲线和直线的极坐标方程;(2)已知射线的极坐标方程是,且与曲线和直线在第一条限的交点分别为、,求的长。【解析】(1)曲线:,化为极坐标
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