2022届高三数学一轮复习（原卷版）第11讲 立体几何中的探索性问题（解析版）

1、第11讲 立体几何中的探索性问题高考预测一：动态问题 1如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，为的中点，是棱上的点，（）若点是棱的中点，求证：平面；（）求证：若二面角为，试求的值【解析】解：（）证明：连接，交于，连接且，即四边形为平行四边形，且为中点，又点是棱的中点，平面，平面，平面 （4分）（），为的中点，平面平面，且平面平面，平面，为的中点，四边形为平行四边形， 即（6分）如图，以为原点建立空间直角坐标系 则平面的法向量为；，0，则，设，在平面中，（8分）平面法向量为（10分）二面角为，（舍（12分）2如图，平面，（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若二面角的正弦值为

2、，求线段的长【解析】解：（）证明：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，0，0，2，1，0，设，则，2，2，1，0，平面的法向量，0，且平面，平面（）解：，1，0，设，为平面的法向量，则，令，得，2，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：（）解：设平面的法向量，则，取，得，2，设平面法向量，则，取，得，1，二面角的正弦值为，解得二面角的正弦值为时线段的长为3如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，（1）求点到平面的距离；（2）设是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求二面角的余弦值【解析】解：（1），由于平面，从而即为三棱锥的高，故设点到平面的距离为由

3、平面得，又由于，故平面，所以由于，所以故因为，所以点到平面的距离（2）以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为，0，1，2，0，设，因为，0，所以，0，由，得，又，从而，设，则，当且仅当，即时，的最大值为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值又因为，所以，1，设平面的一个法向量为，则，即，得：，令，则，0，是平面的一个法向量又，1，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，4，是平面的一个法向量从而，又由于二面角为钝角，二面角的余弦值为高考预测二：翻折问题4如图，是等边三角形，将沿折叠到的位置，使得（1）求证：；（2）若，分别是，的中点，求二面角的余弦值【解析】（1）证明：因为

4、，所以，又因为，且，所以平面，因为平面，所以（2）因为是等边三角形，不防设，则，又因为，分别为，的中点，由此以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系则有，0，0，1，0，所以，设平面的法向量为则，即，令，则所以又平面的一个法向量为所以所以二面角的余弦值为5图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，将其沿，折起使得与重合，连结，如图2（1）证明：图2中的，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的二面角的大小【解析】证明：（1）由已知得，确定一个平面，四点共面，由已知得，面，平面，平面平面解：（2）作，垂足为，平面，平面平面，平面，由已知，菱形的边长为2，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立

5、如图所求的空间直角坐标系，则，1，0，0， ，0，设平面的法向量，则，取，得，6，又平面的法向量为，1，二面角的大小为6正方形的边长为2，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，平面平面（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值【解析】解：（1）由已知可得，平面平面，平面，平面平面，所以平面，又，所以，又，且，所以平面（2）作，垂足为由（1）得，平面以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由（1）可得，又，所以故可得，则，0，由（1）知：为平面的法向量，设平面的法向量为，则：，即，所以，令，则，则，所以二面角的余弦值为7如图，在中，为边上一动点，交于点，现将沿翻折至

6、，使平面平面（1）当棱锥的体积最大时，求的长；（2）若点为的中点，为的中点，求证：平面【解析】解：（1）令，则，因为，且平面平面，故平面，所以，令，由得，当时，单调递增，当，时，单调递减，所以，当时，取得最大值，即：体积最大时，（2）设为的中点，连接，则有，所以，又，所以故，又因为点为的中点，可得为中点，又为的中点，可得：，所以：，由于，可得平面8如图（1），在中，、分别是、上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）（1）求证：平面（2）当点在何处时，三棱锥体积最大，并求出最大值；（3）当三棱锥体积最大时，求与平面所成角的大小【解析】证明：（1）在中，可得又，面面，面解：（2）设，则由（1）

7、，又，面因此当时，即为中点时，三棱锥体积最大，最大值为解：（3）如图，连接，即因此与平面所成角与平面所成角的大小为9如图（1），在中，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）（）求证：平面；（）求证：；（）线段上是否存在点，使平面平面若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【解析】证明：因为，分别为，上的点，且，又因为平面，所以平面（3分）证明：因为，所以，由题意可知，（4分）又，所以平面，（5分）所以平面，（6分）所以，（7分）又，且，所以平面，（8分）又平面，所以（9分）解：线段上存在点，使平面平面理由如下：因为，所以，在中，过点作于，由可知，平面，又平面所以，又，所以平面，（1

8、2分）因为平面，所以平面平面，故线段上存在点，使平面平面（13分）如图（1），因为，所以，即，所以，所以，如图（2），在中，所以，在中，（14分）10如图1，过动点作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2所示）记，为三棱锥的体积（1）求的表达式；（2）设函数，当为何值时，取得最小值，并求出该最小值；（3）当取得最小值时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小【解析】解：（1）设，则，折起前，折起后，平面；（2），时，取得最小值4；（3）以为原点，建立如图直角坐标系，由（2）知，0，0，2，0，1，1，且，1，设，则，即，1，当时，设平面的一个法向量为

9、，得，取，2，设与平面所成角为，则，与平面所成角的大小为高考预测三：存在性问题11如图，在四棱锥中，平面平面，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）设，是否存在实数使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由【解析】（1）证明：平面平面，且平面平面，且，平面，平面，平面，又，且，平面（2）解：取中点为，连接，又，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则，0，1，0，则，1，0，设，为平面的法向量，则，取，得，设与平面的夹角为，则直线与平面所成角的正弦值为：（3）解：设，假设存在实数使得平面，由（2）知，1，0，1，由，可得，平面，为平面的法向量，解得综上，存在实数，使得平面

10、12在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，确定点的位置；如果不存在，说明理由【解析】（）证明：取中点，连接，四边形是平行四边形，四边形是正方形，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面（）解：以为原点建立空间直角坐标系，如图所示：则，0，0，4，4，4，0，4，设平面的法向量为，则，即，令可得，1，直线与平面所成角的正弦值为，（）解：设，0，则，0，4，设平面的法向量为，则，即，令可得，故，令，解得，当为的中点时，二面角的大小为13如图，四棱锥层中，平面，且，（）求证：平面；（）求直线和平

11、面所成角的正弦值；（）在线段上是否存在一点，使得平面上平面？如果存在点，请指出点的位置；如果不存在，请说明理由【解析】解：（1），又，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面（4分）（2）如图建立空间直角坐标系，则有：，0，0，0，设平面的法向量，设直线与平面所成的角为，得：，即直线与平面所成的角的正弦值为（8分）（3）设，得，所以，设平面的法向量，（10分）因为平面的法向量，且平面平面，所以，所以，故在线段上存在一点（靠近点处的三等分点处），使得平面平面（12分）14如图，在直三棱柱中，平面侧面，且（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，请说

12、明理由【解析】（1）证明：连接交于点，又平面侧面，且平面侧面，平面，又平面，三棱柱是直三棱柱，底面，又，平面，平面，平面，又侧面，（2）由（1）得平面，直线与平面所成的角，即，又，假设在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为以点为原点，以、，所在直线为坐标轴轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，2，0，2，0，0，0，假设上存在点使得二面角的大小为，且，设平面的法向量为，则，令得，0，由（1）知平面，为平面的一个法向量，解得点为线段中点时，二面角的大小为15如图1，在中，分别为，的中点，为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2（）求证：（）求直线和平面所成角的正弦值（）线段上是否存在点，

13、使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解析】（）证明：因为在中，分别为，的中点，所以，所以，又为的中点，所以因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以（）解：取的中点，连接，所以由（）得，如图建立空间直角坐标系由题意得，0，2，所以，设平面的法向量为则即令，则，所以设直线和平面所成的角为，则故所求角的正弦值为（）解：线段上存在点适合题意设，其中，设，则有，所以，从而，所以，又，所以，令，整理得解得所以线段上存在点适合题意，且高考预测四：开放性问题16如图，在四棱锥中，平面，为的中点，点在上，且（1）求证：平面；（2）应是平面与直线交于点在平面内，求的值【解析】解

14、：（1）证明：平面，平面（2）解：平面，为的中点，点在上，且过作，交于，以为原点，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，0，2，2，0，1，0，1，设平面的法向量，则，取，得，1，设，则，解得，平面与直线交于点在平面内，解得，故的值为17如图，在四棱锥中，平面，为的中点，点为上靠近的三等分点（1）求二面角的余弦值；（2）设点在上，且判断直线是否在平面内，说明理由【解析】解：（1）以为原点，在平面内过作的平行线为轴，、分别为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，1，0，设平面的法向量，则，取，则，不妨取平面的法向量，由图可知，二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为（2）直线在平面内，理由如下：点在上，