高考数学总复习含答案：圆的方程(基础)知识梳理

1、圆的方程【考纲要求】1. 掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，2. 能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程【知识网络】圆的标准方程圆的方程【考点梳理】圆的一般方程简单应用点与圆的关系【高清课堂：圆的方程 405440 知识要点】 考点一：圆的标准方程( x -a )2+( y -b )2=r2，其中(a，b)为圆心，r为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时a =

2、0，b =0，圆的方程就是x2 +y 2 =r 2.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在 x 轴上：b=0；圆与 y 轴相切时：| a |=r；圆与 x 轴相切时：| b |=r；与坐标轴相切时：| a |=|b |=r；过原点：a2 +b 2 =r 2.(2)圆的标准方程( x -a ) 2 +( y -b ) 2 =r 2 Û圆心为(a，b)，半径为r，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要 a、 b、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.考点二：圆的一般方程当D2+E2-4 F

3、>0时，方程x2 +y 2+Dx +Ey +F =0叫做圆的一般方程 .æçè-D E, -2 2ö÷ø为圆心，12D 2 +E 2 -4 F为半径.2 2ç ÷ ç ÷÷展开垐 垐 ?要点诠释：由方程x 2 +y 2 +Dx +Ey +F =0æ D ö æ E ö 得 x + + y + =è 2 ø è 2 øD 2 +E 2 -4 F4(1)当D2 +E 2-4 F =0时，方程只有实数解x

4、=-D E D E , y =- .它表示一个点 ( - , - )2 2 2 2.(2)当D2+E2-4 F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形(3)当D2 +E 2-4 F >0时，可以看出方程表示以æçè-D E ö 1 , - 为圆心，2 2 ø 2D2+E2-4 F为半径的圆.考点三：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为( x -a ) 2 +( y -b ) 2 =r 2，圆心为C(a，b)，半径为r，则有(1)若点M (x，y0 0)在圆上Û| CM |=r Û (x0-a )2+(y-b)

5、2=r02(2) 若点(3) 若点M (x，y0 0 M (x，y0 0)在圆外在圆内Û| CM |>r Û (x -a )2+(y-b)2>r0 0Û| CM |<r Û (x -a )2+(y-b)2<r0 022考点四：几种特殊位置的圆的方程条件标准方程方程形式一般方程圆心在原点过原点x 2 +y 2 =r 2 (r¹0)( x -a ) 2 +( y -b ) 2 =a 2 +b 2x 2 +y 2 -r 2 =0 (r¹0)x 2 +y 2 +Dx +Ey =0圆心在 x 轴上( x -a )2+y2

6、=r2(r¹0)x 2 +y 2 +Dx +F =0圆心在 y 轴上x2+( y -b)2=r2(r¹0)x 2 +y 2 +Ey +F =0圆心在 x 轴上且过原点( x -a )2+y2=a2(a¹0)x2+y2+Dx =0圆心在 y 轴上且过原点x2+( y -b)2=b2(b¹0)x2+y2+Ey =0x2+y2+Dx +Ey +F =0与 x 轴相切( x -a )2+( y -b )2=b2(D2-4 F =0)x 2 +y 2 +Dx +Ey +F =0与 y 轴相切( x -a ) 2 +( y -b ) 2 =a 2(E2-4 F =0

7、)要点诠释：圆的标准方程与一般方程的转化：标准方程噲 垐 ? 一般方程.配方【典型例题】ç ÷2( )2ç ÷ïî类型一：圆的标准方程例 1. 已知圆与 y 轴相切，圆心在直线 x-3y=0，且这个圆经过点 A(6，1)，求该圆的方程.【思路点拨】已知圆与 y 轴相切，圆心在直线 x-3y=0，因此可设圆的标准方程，利用待定系数法解决 问题.解析：设圆心为æ a öa， ，r =|a | è 3 øæ a ö 6 -a + 1 - =aè 3 ø2 a =

8、3或a =111圆心为(3，1)(111，37)圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x-111)2+(y-37)2=1112.总结升华：圆心或半径的几何意义明显，则可设标准方程.举一反三：【变式 1】若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程 是（ ）A.( x -2)2 +( y -1)2 =1 B. ( x -2) 2 +( y +1)2=1C.( x +2)2 +( y -1)2=1D.( x -3)2 +( y -1)2=1解析：依题意，设圆心坐标为( a ,1)，其中a >0，则有| 4 a -3| 5=1，由此

9、解得a =2，因此所求圆的方程是( x -2)2 +( y -1)2=1，选 A.类型二：圆的一般方程例 2.求过三点 A(1，12)，B(7，10)，C(-9，2)的圆的方程，并求出圆的圆心与半径，作出图形. 【思路点拨】因为圆过三个定点，故可以设圆的一般方程来求圆的方程.解:设所求的圆的方程为x 2 +y 2 +Dx +Ey +F =0，ì1+144 +D +12 E +F =0, ï依题意有 í49 +100 +7 D +10 E +F =0, 81 +4 -9 D +2 E +F =0.解得 D=-2，E=-4，F=-95.于是所求圆的方程为 x2+y2-

10、2x-4y-95=0.将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.于是，圆的圆心 D 的坐标为(1，2)，半径为 10，图形如图所示.222总结升华：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法来求解.利用圆经过不在同一直线上的三点的 条件，由待定系数法求出圆的一般式方程，并由此讨论圆的几何性质，这是解题的捷径.对于由一般式给出的圆的方程，研究其几何性质 (圆心与半径等 ) 时，常可用配方法或公式法加以求解 .如由公式可得r =12( -2) +( -4) +( -4) -4( -95) =10.举一反三：【变式 1】圆与y轴相切，圆心P在直线x -3 y =0上，且直线y =x截圆所得弦

11、长为2 7，求此圆的方程。【答案】：设圆方程为：( x -a ) 2 +( y -b ) 2 =r 2且圆心( a, b)在直线x -3 y =0上，a =3b圆与y轴相切，r =|a |=3| b |故圆方程为( x -3b) 2 +( y -b ) 2 =9b 2，又因为直线y =x截圆得弦长为2 7，则有(| 3b -b | 2) 2 +( 7) 2 =9b 2，解得b =±1故所求圆方程为：( x -3) 2 +( y -1)2 =9或( x +3) 2 +( y +1)2 =9。【变式 2】求经过点 M (1,2) 、 N (3,4) 且在 x 轴上截得的弦长为 6 的圆

12、C 的方程。【答案】：方法一：设圆心( a , b )，半径长 r ，由垂径定理可以得到圆 C 与 x 轴两交点为P ( a -3,0) 、 Q ( a +3,0),由 M (1,2) 、 N (3,4) 得 k =1 且 MN 的中点坐标 (2,3) ，MN则 MN 的垂直平分线方程为 y -3 =-(x -2) ，PQ 的垂直平分线方程为 x =a 。ì 解方程组： íîx =ay -3 =-(x -2)得圆心C (a ,5 -a ).由| CP |=|CM |得32+(5 -a )2=( a -1)2+(3 -a )2，解出a =-6, a =4 1 2.当

13、a =-61时，圆心C ( -6,11)1,r 2 =1301, 圆C的方程为：( x +6) 2 +( y -11)2 =130当a =42时，圆心C (4,1)2,r 2 =102，圆C的方程为( x -4) 2 +( y -1)2 =10故所求圆的方程为：( x +6) 2 +( y -11)2 =130 或 ( x -4) 2 +( y -1)2 =10.方法二：设所求圆为x 2 +y 2 +Dx +Ey +F =0.令 y =0 得 x2+Dx +F =0, 在 x 轴上截得弦长为：将| x -x |= ( x +x ) 2 -4 x x = D 2 -4 F =6 1 2 1 2

14、1 2M (1,2) 、 N (3,4) 代入圆方程可得方程组：.1 2F =7 F =27D-4 F -36 =02D F2 22222ìD +2 E +F +5 =0 ìD =-8 ìD =12 ï ï ïí3D +4 E +F +25 =0 ，解出 íE =-2 或 íE =-221 2ï ï ïî î 1 î 2所求圆方程为x 2 +y 2 -8 x -2 y +7 =0或x 2 +y 2 +12 x -22 y +27 =0.【变式 3

15、】根据下列条件分别写出圆的方程： (1)圆过三个点(2，2)，(5，3)，(6，0)；(2)圆过三个点O (0,0), M (1,1), N (4,2).思路点拨：已知圆过三个点，且圆心、半径不明确，故可用一般方程来求解.解析：(1)设圆的方程为：x2+y2+Dx +Ey +F =0ìï ，解得： íD =-8E =-2ïîF =12 所求圆方程为：x2 +y 2-8 x -2 y +12 =0；(2)设所求的圆的方程为：x 2 +y 2 +Dx +Ey +F =0O (0,0), M (1,1), N (4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的

16、解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D , E , F的三元一次方程组，ìï即 íïîF =0D +E +F +2 =0 4 D +2 E +F +20 =0解此方程组，可得：D =-8, E =6, F =0.所求圆的方程为：x2 +y 2-8 x +6 y =0.r =12D 2 +E 2 -4 F =5； - =4, - =-3.2 2得圆心坐标为(4，-3).总结升华：(1) 圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开；(2) 在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单.类型三：点与圆的位置关系例 3.写出以点 A(

17、2，-3)为圆心，5 为半径的圆的标准方程，并判断点 M(5，-7)，N(2，-1)与该圆的位 置关系.【思路点拨】求点与圆之间的距离是关键.解析：圆的标准方程为(x -2)+(y+3)=25Q | MA |=(2-5)+(-3+7)=5 =r，点 M 在圆上；Q | NA |=(2-2)+(-3+1)=2 <r，点 N 在圆内.2 2222222Q6总结升华：判断点与圆的位置关系就是判断点到圆心的距离与半径的大小关系. 举一反三：【变式 1】已知圆的方程为(x-5)+(y-6)=10 圆内还是圆外？解析：分别计算点到圆心的距离：，试判断点 M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆

18、上、| CM |=| CN |=(6-5)+(9-6) (3-5)+(3-6)= 10;= 13 > 10;| CQ |=(5-5)+(3-6)=3 < 10;所以，点 M 在圆上，点 N 在圆外，点 Q 在圆内. 类型四：与圆有关的轨迹问题【高清课堂：圆的方程 405440 典型例题六】例 4.已知点 Q (10,0) ，点 P 是圆x2 +y 2=16上的动点，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.【思路点拨】本题关键是找出点 M 与点 P 之间的联系（实际是坐标间的关系）解析：设P ( x , y ) ， M ( x, y) 1 1ì，则 íîx

19、+10 =2 x 1y =2 y1ì，所以 íîx =2 x -10 1y =2 y1又因为点P ( x , y ) 1 1在圆上，所以x12+y12=16即(2 x -10)2 +(2 y ) 2 =16 ，整理得 ( x -5) 2 +y 2=4所以线段 PQ中点 M 的轨迹方程为( x -5) 2 +y 2 =4.y543216 5 4 3 2 1O1234.5PM1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x例 5【2015 广7东高考】. 已知过原点的动直线 错误!未找到引用源。 与圆 错误!未找到引用源。 相交于 不同的两点 错误!未找到引用源。，错

20、误!未找到引用源。(1) 求圆 错误!未找到引用源。 的圆心坐标；(2) (2)求线段 错误!未找到引用源。 的中点 错误!未找到引用源。 的轨迹 错误!未找到引用源。 的方 程；(3) (3)是否存在实数 错误!未找到引用源。，使得直线 错误!未找到引用源。 与曲线 错误!未找到引用 源。 只有一个交点？若存在，求出 错误!未找到引用源。 的取值范围；若不存在，说明理由【解析】(1) 把圆 错误!未找到引用源。 的方程化为标准方程得 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 圆 错误!未找到引用源。 的圆心坐标为 错误!未找到引用源。(2) 设 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。

21、为过原点的直线 错误!未找到引用源。 与圆 错误!未找到引用源。 的交点，且 错 误!未找到引用源。 为 错误!未找到引用源。 的中点，错误!未找到引用源。 由圆的性质知 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。又 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 由向量的数量积公式得 错误!未找到引用源。易知直线 错误!未找到引用源。 的斜率存在，错误!未找到引用源。 设直线 错误!未找到引用源。 的方 程为 错误!未找到引用源。，当直线 错误!未找到引用源。 与圆 错误!未找到引用源。 相切时，错误!未找到引用源。，解得 错误!未 找到引用源。把相切时直线 错误!未找到引

22、用源。 的方程代入圆 错误!未找到引用源。 的方程化简得 错误!未找到引 用源。，解得 错误!未找到引用源。当直线 错误!未找到引用源。 经过圆 错误!未找到引用源。 的圆心时，错误!未找到引用源。 的坐标为 错 误!未找到引用源。又直线 错误!未找到引用源。 与圆 错误!未找到引用源。 交于 错误!未找到引用源。 两点，错误!未找 到引用源。 为 错误!未找到引用源。 的中点，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 点 错误!未找到引用源。 的轨迹 错误!未找到引用源。 的方程为 错误!未找到引 用源。，其中 错误!未找到引用源。，其轨迹为一段圆弧(3) 法一：由题可知，直线 错误!未找到

23、引用源。 恒过定点 错误!未找到引用源。，结合（2）可作出图 象如下图，由（2）知，点 错误!未找到引用源。 、 错误!未找到引用源。 的横坐标为 错误!未找到引用源。，因此， 代入曲线 错误!未找到引用源。 的方程得 错误!未找到引用源。 、 错误!未找到引用源。，结合图象， 可知当 错误!未找到引用源。 介于直线 错误!未找到引用源。 和 错误!未找到引用源。 的斜率之间时， 直线 错误!未找到引用源。 与曲线 错误!未找到引用源。 只有一个交点，又 错误!未找到引用源。，错 误!未找到引用源。，所以 错误!未找到引用源。；另外，当直线 错误!未找到引用源。 与曲线 错误!未找到引用源。

24、相切时，只有一个交点，又曲线 错误! 未找到引用源。 的圆心为 错误!未找到引用源。，直线方程为 错误!未找到引用源。，所以 错误!未找到 引用源。，解得 错误!未找到引用源。；综上所述，错误!未找到引用源。 的取值范围是 错误!未找到引用源。 或 错误!未找到引用源。 方法二：由题意知直线 错误!未找到引用源。 表示过定点 错误!未找到引用源。，斜率为 错误!未找到引 用源。 的直线，把直线 错误!未找到引用源。 的方程代入轨迹 错误!未找到引用源。 的方程 错误!未找到引用源。，其 中 错误!未找到引用源。，化简得 错误!未找到引用源。，其中 错误!未找到引用源。，记 错误!未找到引用源。，其中 错误!未找到引用源。若直线 错误!未找到引用源。 与曲线 错误!未找到引用源。 只有一个交点，令 错误!未找到引用源。 当 错误!未找到引用源。 时，解得 错误!未找到引用源。，即 错误!未找到引用源。，此时方程可化为 错 误!未找到引用源。，即 错误!未找到引用源。，解得 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 满足条件当 错误!未找到引用源。 时，1 若 错误!未找到引用源。 是方程的解，则 错误!未找