高考中函数与导数问题的热点题型专题训练

1、23高考中函数与导数问题的热点题型专题训练1.已知函数 f(x)xln xax，aR.(1)当 a1 时，求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)>x，求 a 的取值范围.2.设函数 f(x)x axb，xR，其中 a，bR.(1) 求 f(x)的单调区间；(2) 若 f(x)存在极值点 x ，且 f(x )f(x )，其中 x x ，求证： x 2x 0.0 1 0 1 0 1 023 2313.已知函数 f(x)2x ，直线 l：ykx1.x(1) 求函数 f(x)的极值；(2) 试确定曲线 yf(x)与直线 l 的交点个数，并说明理由 .4.已知 f(x)xln x，g(x)x

2、ax x2.æ 1 ö(1)如果函数 g(x)的单调递减区间为 ç ，1÷，求函数 g(x)的解析式；è ø(2)对任意 x(0，)，2f(x)g(x)2 恒成立，求实数 a 的取值范围 .xx25.已知函数 f(x)xa.e(1) 若 f(x)在区间 (，2)上为单调递增函数，求实数 a 的取值范围；(2) 若 a0，x <1，设直线 yg(x)为函数 f(x)的图象在 xx 处的切线，求证：0 0f(x)g(x).6.已知函数 f(x)(x2)e a(x1) . (1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求

3、 a 的取值范围 .222x2x23322高考中函数与导数问题的热点题型 1.已知函数 f(x)x ln xax，aR.(1) 当 a1 时，求 f(x)的最小值；(2) 若 f(x)>x，求 a 的取值范围.专题训练答案解(1)当 a1 时，f(x)x ln xx，f(x)（2x1）（ x1）x.当 x(0，1)时， f(x)<0；当 x(1， )时，f(x)>0.所以 f(x)的最小值为 f(1)0.(2)由 f(x)>x，得 f(x)xx ln x(a1)x>0.ln x由于 x>0，所以 f(x)>x 等价于 x >a1.ln x x 1

4、ln x令 g(x)x ，则 g(x) .x当 x(0，1)时， g(x)<0；当 x(1， )时，g(x)>0.故 g(x)有最小值 g(1)1. 故 a1<1，a<0，即 a 的取值范围是 (， 0).2. 设函数 f(x)x axb，xR，其中 a，bR.(1) 求 f(x)的单调区间；(2) 若 f(x)存在极值点 x ，且 f(x )f(x )，其中 x x ，求证： x 2x 0.0 1 0 1 0 1 0(1)解由 f(x)x axb，可得 f(x)3x a.下面分两种情况讨论：当 a0 时，有 f(x)3x a0 恒成立， 所以 f(x)的单调递增区间为

5、(，).当 a>0 时，令 f(x)0，解得 x3a 3a 或 x .3 3当 x 变化时， f(x)，f(x)的变化情况如下表：2233232x23xf(x)æ 3aö ç， ÷ è 3 ø3a30æ 3a 3aö ç ， ÷è 3 3 ø3a30æçè3a ö，÷3 øf(x)极大值极小值æ 3a 3aö æ 3a ö所以 f(x) 的单调递减区间为 ç ，

6、 ÷，单调递增区间为 ç， ÷，è 3 3 ø è 3 øæçè3a ö ，÷.3 ø(2)证明因为 f(x)存在极值点，所以由 (1)知 a>0，a且 x 0.由题意，得 f(x )3x a0，即 x ， 0 0 0 0 3进而 f(x )x ax b0 0 02 a3x b.0又 f(2x )8x 2ax b0 0 08a3x 2ax b 0 02 a3x bf(x )，且 2x x ， 0 0 0 0由题意及 (1)知，存在唯一实数 x 满足 f(x )

7、f(x )，1 1 0且 x x ，因此 x 2x ，所以 x 2x 0.1 0 1 0 1 013. 已知函数 f(x)2x ，直线 l：ykx1.x(1) 求函数 f(x)的极值；(2) 试确定曲线 yf(x)与直线 l 的交点个数，并说明理由 .解(1)函数 f(x)定义域为 x|x0，2求导得 f(x)2 ，令 f(x)0，解得 x1.x当 x 变化时， f(x)与 f(x)的变化情况如下表所示：xf(x)(， 0) (0，1)10(1， )f(x)极小值所以函数 yf(x)的单调增区间为 (，0)，(1，)，单调减区间为 (0，1)， 所以函数 yf(x)有极小值 f(1)3，无极大

8、值.1(2)“曲线 yf(x)与直线 l 的交点个数”等价于“方程 2x kx1 的根的个x1 1 1数”，由方程 2x kx1，得 k 2.x x3x323333 232 2232322x22x1令 t ，则 kt t2，其中 tR，且 t0， 考查函数 h(t)t t2，其中 tR，因为 h(t)3t1>0 时，所以函数 h(t)在 R 上单调递增，且 h(t)R.而方程 kt t2 中，tR，且 t0，所以当 kh(0)2 时，方程 kt t2 无根；当 k2 时，方程 kt t2 有且仅有一根，故当 k2 时，曲线 yf(x)与直线 l 没有交点，当 k2 时，曲线 yf(x)与

9、直线 l 有且仅有一个交点.4. 已知 f(x)xln x，g(x)x ax x2.æ 1 ö(1)如果函数 g(x)的单调递减区间为 ç ，1÷，求函数 g(x)的解析式；è ø(2)对任意 x(0，)，2f(x)g(x)2 恒成立，求实数 a 的取值范围 .æ 1 ö解 (1)g(x)3x 2ax1，由题意 3x 2ax1<0 的解集是ç ，1÷，即 3x è ø1 12ax10 的两根分别是 ，1.将 x1 或 代入方程 3x3 32ax10，得 a1.所以 g(

10、x)x x x2.(2)由题意 2xln x3x 2ax12 在 x(0， )上恒成立，3 1 3 1可得 aln x x ，设 h(x)ln x x ，2 2x 2 2x1 3 1 （x1）（ 3x1） 则 h(x) 2 2x 2x，1令 h(x)0，得 x1 或 (舍)，3当 0<x<1 时，h(x)>0，当 x>1 时，h(x)<0，所以当 x1 时，h(x)取得最大值， h(x) 2，max所以 a 2，所以 a 的取值范围是 2， ).xa5. 已知函数 f(x) .e(1) 若 f(x)在区间 (，2)上为单调递增函数，求实数 a 的取值范围；(2)

11、若 a0，x <1，设直线 yg(x)为函数 f(x)的图象在 xx 处的切线，求证：0 0f(x)g(x).xx0000000xxx00x00000000x2xxx(1)解易知 f(x)x（ 1a） ，e由已知得 f(x)0 对 x(， 2)恒成立，故 x1a 对 x(，2)恒成立，1a2， a 1.(2)证明xa0，则 f(x) .e函数 f(x)的图象在 xx 处的切线方程为 yg(x)f(x )(xx )f(x ).令 h(x)f(x) g(x)f(x)f(x )(xx )f(x )，xR，1x 1x则 h(x)f(x)f(x ) 0 e ex00（1x）ex （ 1x ）e 0

12、 0exx0.设 (x)(1x)ex (1x )e ，xR则 (x) ex (1x )e ，x <1，(x)<0，(x)在 R 上单调递减，而 (x )0，当 x<x 时，(x)>0，当 x>x 时，(x)<0，当 x<x 时，h(x)>0，当 x>x 时，h(x)<0，h(x)在区间(，x )上为增函数，在区间(x ， )上为减函数，xR 时，0 0h(x)h(x )0，f(x)g(x).06. 已知函数 f(x)(x2)e a(x1) .(1) 讨论 f(x)的单调性；(2) 若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围 .解(1)

13、f(x)(x1)e 2a(x1)(x1)(e 2a).()设 a0，则当 x(，1)时，f(x)<0；当 x(1，)时， f(x)>0.所以 f(x)在(， 1)上单调递减，在 (1，)上单调递增.()设 a<0，由 f(x)0 得 x1 或 xln(2a).e若 a ，则 f(x)(x1)(e e)，2所以 f(x)在(，)上单调递增 .e若 a> ，则 ln(2a)<1，故当 x(，ln(2a)(1，)时，f(x)>0； 2222 øx当 x(ln(2a)，1)时，f(x)<0.所以 f(x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在(l

14、n(2a)，1)上单调递减 . e若 a< ，则 ln(2a)>1，2故当 x(，1)(ln(2a)， )时，f(x)>0；当 x(1，ln(2a)时，f(x)<0.所以 f(x)在(，1)，(ln(2a)，)上单调递增，在 (1，ln(2a)上单调递减. (2)()设 a>0，则由 (1)知， f(x)在(，1)上单调递减，在(1， )上单调递增.a a又 f(1) e，f(2) a，取 b 满足 b<0 且 b<ln ，则 f(b)> (b 2) a(b1) 2 2æ 3 öaçb b÷>0，所以 f(x)有两个零点 .&