高考二轮复习文科数学：专题检测(十四) 圆锥曲线的方程与性质

1、222222 22 22 22 22 22 24 92 222222 2a2a2专题检测（十四）圆锥曲线的方程与性质A 组“633”考点落实练一、选择题x y1(2018· 全国卷)已知椭圆 C： 1 的一个焦点为(2,0)，则 C 的离心率为( )a 41A.31B.2C.222 2D.3解析：选 C a 42 8，c 2 2a2 2，e .a 2 2 2y x2一个焦点为( 26，0)且与双曲线 1 有相同渐近线的双曲线方程是( )4 9y xA. 118 8x yC. 116 10x yB. 118 8y xD. 116 10y x解析：选 B 设所求双曲线方程为 t(t0)，

2、因为一个焦点为( 26，0)，所以|13t|x y26.又焦点在 x 轴上，所以 t2，即双曲线方程为 1.18 83若抛物线 y 4x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则OFP 的面 积为( )1A.23C.2B1D2解析：选 B 设 P(x ，y )，依题意可得|PF|x 12，解得 x 1，故 y0 0 0 0 01y ±2，不妨取 P(1,2)，则OFP 的面积为 ×1×21.0 24×1，解得x y4(2018· 全国卷)已知双曲线 C： 1(a>0，b>0)的离心率为 2，则点(4,0)到 Ca

3、b的渐近线的距离为( )A. 23 2C.2c解析：选 D e B2D2 2b b1 2， 1. a双曲线的渐近线方程为 x±y0.222 22 22222222 22a点(4,0)到 C 的渐近线的距离 d42 2.2y5已知双曲线 x 1 的左、右焦点分别为 F ，F ，过 F 的直线 l 与 C 的左、右8 1 2 2两支分别交于 A，B 两点，且|AF |BF |，则|AB|( )1 1A2 2C4B3D2 21解析：选 C 设双曲线的实半轴长为 a，依题意可得 a1，由双曲线的定义可得|AF |2|AF | 2a2，|BF |BF | 2a2，又|AF |BF |，故 |A

4、F |BF |4，又 |AB|AF | 1 1 2 1 1 2 2 2|BF |，故|AB|4.26(2018· 全国卷)已知 F ，F 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点若 PF PF ，1 2 1 2且PF F 60°，则 C 的离心率为( )2 1A132B2 3C.312D. 31解析：选 D 在 PF F 中，PF F 60°，1 2 2 1不妨设椭圆焦点在 x 轴上，且焦距|F F |2，1 2则|PF |1，|PF | 3，2 1x y由椭圆的定义可知，方程 1 中，a b2a1 3，2c2，得 a1 32，c1，c所以离心率 e a21

5、3 31.二、填空题x 37已知双曲线 y 1(a>0)的渐近线方程为 y± x，则其焦距为_a 3解析：由渐近线方程 y±3 1 3x，可得 ，解得 a 3，故 c 3 a 3312，故焦距为 4.答案：48设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两 点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为_x y解析：设双曲线方程为 1(a>0，b>0)，a bb由题意可知，直线 l 过焦点，且垂直于 x 轴，将 xc 代入双曲线方程，解得 y± ，22 2a22221212122221

6、222212 1.22æöèø21ï ïïï222ï 1ï 7ï ï22b则|AB| ，由|AB|2×2a，ac则 b 2a ，所以双曲线的离心率 e b1 3.a答案： 39已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，准线为 x1，直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，若线段 MN 的中点为(1,1)，则直线 l 的方程为_解析：依题意易得抛物线的方程为 y 4x，设 M(x ，y )，N(x ，y )，因为线段 MN 的1 1 2 2ìïy14x

7、1，中点为(1,1)，故 x x 2，y y 2，则 x x ，由íïîy24x2，两式相减得 y y 4(x 1 2 1x )，所以 2y y 4 2，故直线 l 的方程为 y12(x1)，即 2xy10. x x y y1 2 1 2答案：2xy10三、解答题x10(2018· 石家庄模拟)设 A，B 为曲线 C：y 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 2.2(1) 求直线 AB 的斜率；(2) 设 M 为曲线 C 上一点，曲线 C 在点 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求 直线 AB 的方程x x解：(1)设 A(x ，y )，B(x

8、 ，y )，则 x x ，y ，y ，x x 2，1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2故直线 AB 的斜率 ky y x x 1 2 1 2x x 21 2x(2)由 y ，得 yx.1设 M(x ，y )，由题设知 x 1，于是 M 1， .3 3 3设直线 AB 的方程为 yxm，故线段 AB 的中点为 N(1,1m)，|MN| m .x将 yxm 代入 y ，得 x 2x2m0.21由 48m>0，得 m> ，x 1± 12m.2 1,2从而|AB| 2|x x |21 2由题设知|AB|2|MN|，即2m .2m m ，解得 m ，27所以直线 AB 的

9、方程为 yx .22222222222222ï2î 022222 22 2222 2 211(2018· 全国卷)设抛物线 C：y 4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k>0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8.(1) 求 l 的方程；(2) 求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得 F(1,0)，l 的方程为 yk(x1)(k>0)设 A(x ，y )，B(x ，y )，1 1 2 2ìïyk x 由íïîy4x，得 k x(2k4)xk0.16k 16&

10、gt;0，故 x x 1 22k 4.k4k 4所以|AB|AF|BF|(x 1)(x 1) .1 2 k4k 4由题设知 8，解得 k1 或 k1(舍去) k因此 l 的方程为 yx1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)， 即 yx5.设所求圆的圆心坐标为(x ，y )，0 0则ìy0x05， íï x y x 0 02216.ìïx03， ìïx011，解得í 或íïîy02 ïîy06.因此所求圆的方程

11、为(x3) (y2) 16 或(x11) (y6) 144.12已知直线 xky30 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦点，且椭圆 C 上的 点到点 F 的最大距离为 8.(1) 求椭圆 C 的标准方程(2) 已知圆 O：x y 1，直线 l：mxny1，试证：当点P(m，n)在椭圆 C 上运动时， 直线 l 与圆 O 恒相交，并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长 l 的取值范围x y解：(1)设椭圆 C 的方程为 1(a>b>0)，a b直线 xky30 所经过的定点是(3,0)，即点 F(3,0)因为椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8，所以 a38，a5，所以

12、b 5 3 16，2 22 222222 2æö2 2 2m 162ëû22ABD2pïì2îï22222 2æö æ ö12è øè ø2p2p12æö æ ö2èø è ø2221222211px x y所以椭圆 C 的方程为 1.25 16(2)因为点 P(m，n)在椭圆 C 上， m n 16m所以 1，即 n 16 . 25 16 25又原点到直线

13、 l：mxny1 的距离 dm1n219m25<1，16所以直线 l：mxny1 与圆 O：x y 1 恒相交11则 l 4(1 d )4ç 9 ÷è 25 ø，因为5m5，所以15 4 6l .2 5é 15 4 6ù，故直线 l 被圆 O 所截得的弦长 l 的取值范围为 2 5 .B 组大题专攻补短练1已知抛物线 C：x 2py(p>0)，过焦点 F 的直线交 C 于 A，B 两点，D 是抛物线的 准线 l 与 y 轴的交点(1) 若 ABl，且ABD 的面积为 1，求抛物线的方程；(2) 设 M 为 AB 的中点，过

14、 M 作 l 的垂线，垂足为 N.证明：直线 AN 与抛物线相切解：(1)ABl，|AB|2p.又|FD|p， p 1.p1，故抛物线 C 的方程为 x 2y.p(2)证明：设直线 AB 的方程为 ykx ，2由ykx ， íx 2py消去 y 得，x 2kpxp0.x x 2kp，x x p . 1 2 1 2x x其中 A x ， ，B x ， .p pM kp，k p ，N kp， .x p2p 2k AN x kp1x p x p x x x1 1 1 22p 2 2p 2p x .x x x x x x1 2 1 2 1 21 2 2 2222p p12p222 22222

15、2222222 222221212222x x又 x 2py，即 y ，y .x抛物线 x 2py 在点 A 处的切线斜率 k .直线 AN 与抛物线相切x y2(2018· 贵阳适应性考试)已知椭圆 C： 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F ，F ，a b 1 2 点 M 为短轴的上端点，MF · MF 0，过 F 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且1 2 2|AB| 2.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设经过点(2，1)且不经过点 M 的直线 l 与 C 相交于 G，H 两点若 k ，k 分别为1 2直线 MH，MG 的斜率，求 k

16、 k 的值1 2 解：(1)由MF · MF 0，得 bc.1 2因为过 F 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，2b 2且|AB| 2，所以 .a 2又 abc ，联立，解得 a 2，b 1，x故椭圆 C 的方程为 y 1.2(2)设直线 l 的方程为 y1k(x2)， 即 ykx2k1，x将 ykx2k1 代入 y 1，2得(12k )x 4k(2k1)x8k 8k0， 由题设可知 16k(k2)>0， 设 G(x ，y )，H(x ，y )，1 1 2 2则 x x 1 24k k12k8k 8k，x x ，1 2 12kk k 1 2y 1 y 1 kx

17、2k2 kx 2k2 2k x x x x1 2 1 24k kk ×12k8k 8k12k2k(2k1)1，所以 k k 1.1 23(2019 届高三· 唐山五校联考)在直角坐标系 xOy 中，长为 21 的线段的两端点 C， D 分别在 x 轴，y 轴上滑动， CP 2 PD .记点 P 的轨迹为曲线 E.íî2222 222222 2222222k 2 22 2æöèø17 17(1)求曲线 E 的方程； (2)经过点(0,1)作直线 l 与曲线 E 相交于 A，B 两点，OM OA OB ，当点 M 在曲

18、线 E 上时，求直线 l 的方程解：(1)设 C(m,0)，D(0，n)，P(x，y) 由 CP 2 PD ，得(xm，y) 2(x，ny)，所以ìxm 2x， íîy 2 ny ，得ìm 2 x， ï21ïn y，2由| CD | 21，得 mn( 21)，所以( 21) x222y ( 21) ，y整理，得曲线 E 的方程为 x 1.2 (2)设 A(x ，y )，B(x ，y )，由 OM OA OB ，1 1 2 2知点 M 的坐标为(x x ，y y )1 2 1 2易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx1，

19、代入曲线 E 的方程，得(k 2)x 2kx10，2k，则 x x 1 2k 24所以 y y k(x x )2 . 1 2 1 2 k 2由点 M 在曲线 E 上，知(x x ) 1 2y y1 2221，即4kk 281，解得 k 2. 2 2此时直线 l 的方程为 y± 2x1.x y4.如图，椭圆 C： 1(a>b>0)的右焦点为 F，右顶点、上顶a b点分别为点 A，B，且|AB|5|BF|.2(1)求椭圆 C 的离心率；16 2(2)若点 M ， 在椭圆 C 的内部，过点 M 的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点，M 为 线段 PQ 的中点，且 OPOQ，求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程解：(1)由已知|AB|52|BF|，22 2 2, 2 2 2222 222222211 2 22 22 22 22 21 2 1 2221 22 &