八个C级考点强化训练之三角与向量

1、高三零模冲刺讲义C级考点讲解与训练三角函数与平面向量C级考点回忆：两角和与差的余弦、正弦与正切；平面向量的数量积 一、课本回忆与拓展1.( P6例2)是第三象限角，那么2在第象限.变式：34k ，4k(kZ ,那么一在第象限.第二象限222.角 是小于180的正角，如果角7的终边与角的终边重合,那么的值为3. P10习题9蒸汽机飞轮的直径为 1.2m，以300r/min转/分 的速度作逆时针旋转，求:1飞轮1s内转过的弧度数;2轮周上一点1s内所经过的路程.变：在直径为10cm的轮子上有一长为 6cm的弦，P是弦的中点，轮子每秒转 5rad，那么经过5s后点P转过的弧长为. 100cm4. 如

2、图，一长为.3dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住,5. P10习题10=6，角的终边与角的终边关于直线 y x对称，那么角 的集合为6. P15练习2角的终边经过点 P x, 6，且COS13，那么的值为7.(1)( P21 例 3) COS(75 )-，且 180390，那么 cos(15 )1(2) cos(75O),其中 180°390°，那么 sin(105°) cos(375°)的值为152(3)( p23 习题 17) sin(x -)，贝U sin(x) sin (一 x)64638.(P22练习

3、6)化简f()c°s(2)c°s(2)sin(sin()sin(3)使木块底面与桌面成 30°的角，那么点A走过的弧的总长为dm. 9 236fl11 *%A-niiPV75 %X求V/ 1 HC ATjD KT9. ( P23 习题 11) (1 )设 tan 2，那么sincossin cos1 1(2)设tan，计算2 的值为.2 sin sin cos 2 cos10. (P23习题18)角的终边经过点 P(4a,3a)(a 0)，那么2sin cos的值为x 变：角的终边上有一点P(x, 2)且cos ,那么sin-1或-2/3311. ( P23习题1

4、9)利用单位圆分别写出符合以下条件的角的集合：(1) sin11；(2) sin22变：函数 y lg sin x /2cos x的定义域为 .12. ( P23 习题 20)( 1) sin cos .2，求 sin cos 及 sin4 cos4 的值；1(2)sin cos 0，求tan 的值.5213. ( P26练习3改编)假设函数f (x) sin(kx)的最小正周期为，那么实数k的值为.5314. ( P40习题4改编)将函数y 2sin舟乂的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的3横坐标扩大为原来的 n倍(纵坐标保持不变)，得函数y f(x)的图象，那么f(x)的

5、一个解析式为 3y 2sin x n315. ( P41例1)在图中，点 O为做简弦运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，假设振幅为3cm，周期为3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时。(1) 求物体对平衡位置的位移x (cm)和时间t (s)之间的函数关系；(2) 求该物体在t 5s时的位置.gO16. ( P42例2改编)如图，摩天轮的半径为50 m，点O距地面的高度为60 m，摩天轮做匀速转动， 每3 min 转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.(1)试确定在时刻t (min)时点P距离地面的高度；第15题解：1解：设点P离地面的距离为y,那么可令y =

6、Asint +册+ b.由题设可知 A= 50, b = 60.又 T = 3= 3，所以 3= 2n,从而 y= 50sin些 + 6 + 60.333再由题设知t= 0时y= 10，代入y= 50sin寮+妨+ 60,得sin片1,从而6=寸2 n因此，y= 60 50cost t> 0.32 n2 n12要使点P距离地面超过 85 m，那么有y= 60 50cos§t> 85,即cost v ?.于是由三角函数根本性质推得字< 爭v4n，即1v t v 2.所以，在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过85 m的时间有1分钟.17. P55习题15定义在区间-一

7、，一上的函数fx 2as in2x b的最大值为1，最小值为-5，求4 4那么实数a,b的值.18. P62习题10如图，以1 3方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的 模？有多少种不同的方向？19. P71习题7改编与a12,5共线的单位向量的坐标为uuu uuuuuruuuuuu OA OB20. ( P71 例 4)在 OAB 中,C为直线AB上一点，ACCB(1),求证：OC -1gopmor b1 - 3rb)2 - 3 r a1 - 3e ,那么实数 的值为.r uuu rr r uuu uuura,OB b，试用 a,b表示 OP,OQ.21. (P71练

8、习2)e是单位向量，向量 a的模为2,且auuu22. ( P72习题10)设点P,Q是线段AB的三等分点，假设 OA23. (P76练习5)设e和e2是不共线的向量，而 q ke2与kq e共线，那么实数k .24. (P82 习题 14)设向量 OA (k,12), OB (4,5), OC (10,k)，假设 A, B,C 三点共线时，实数 k 的值为. 11或-225. ( P82习题17)O是坐标原点，A(3,1),B( 1,3)，假设点C满足OC OA OB，其中， R，且1，那么点C的轨迹方程为 .uuuuur26. ( P87例4)在 ABC中，设AB (2,3), AC (1

9、,k)，且 ABC是直角三角形，贝U实数k的值为.2亠11十313(或或)3 3227. (P89习题13)在平行四边形 ABCD中，AB 2, AD 1, BAD 60，那么AB AC的值为.28. (P89习题15)设a (x,3),b (2, 1)，假设a与b的夹角为钝角，那么实数 x的取值范围是 .29. (P89习题16)设a,b是两个非零向量，如果(a 3b)(7a 5b)，且(a 4b)(7a 2b)，那么a,b的夹角为.fr- f -*gfiH H29. (P90 习题 20) | a | 1,|b| J3, a b (时31),试求 |a b| ,a b 与 a b 的夹角为

10、 .30. (P92练习4,5) (1)直线I平行于向量a (2,3)，那么直线I的斜率为.(2)直线l经过原点且与向量 a (2,3)垂直，那么直线I的方程为.31. (P93习题8)在平面直角坐标系中，A(3,4) , B(5,12), O为坐标原点，AOB的平分线交线段AB于点D，那么点D的坐标为.32. ( P98习题19)坐标平面内 OA (1,5),OB 亿1),OM(1,2) ,P是直线OM上一个动点，当PA PB取最小值时，求 OP的坐标，并求COS APB的值.33. ( P98习题25)如下图，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有3N, 2N的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂

11、一个重量为 m ( N)的重物，恰好使得系统处于平衡状态，求正数m的取值范围.34. P99习题15设向量a,b的夹角为135 ,2 , c a xb，当c取最小值时，那么c与b的夹角大小为35.P107习题4cos(tan36.P107习题5sinsincos变:sinsincos1那么 cos(337.(P108 例 2)cos5,cos13,均为锐角,那么sin 的值为38.(P110 例 5)1求值：空吐沁cos20(2)求值：sin 50 (1 3tan10)=(3)求值:si n 2(6) s"2(-)sin2639. (P112习题10)一4，且 sin(24),cos

12、(512，那么sin2的值为1340.( P112 习题 12 )在ABC 中,4(1) cos A -5cosB 1213那么cosC的值为3(2) si nA -55cosB 153，那么cosC的值为41. P116例4在斜三角形ABC 中，求证：ta nA ta nB tanCtan AtanBtanC42. P123 习题 5 改编1 为锐角，sin( 15 )-，那么cos(2 15 )54 44(2) cos，贝U sin cos53-2，化简：J1 sin J1 sin2 ，(4)设为锐角，假设cos4，那么 sin(2一的值为6512(5)tan()1,tan1 ,且，0,，

13、那么 2的值为(6)设，且sin 13, tan2 i 那么cos 的值为16652743. P124习题10如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么折痕长度之间的关系式，并导出用表示I的函数表达式44. P125链接改编如图，在矩形 ABCD中，AB 2，AD 1，将矩形 ABCD绕点B按顺时针方向旋转60°后得到矩形 ABCD，那么点D'到直线AB的距离是 DD奄 广*%1ABP ,作扇形的内接矩形45. P132习题18如图，在半径为,3、圆心角为60的扇形的AB弧上任取一点PNMQ ,使点Q在OA上，点M,N在OB上,设矩形PNMQ的面积为y

14、 .1按以下要求写出函数关系式； 设PN x，将y表示成x的函数关系式； 设 POB，将y表示成 的函数关系式；2请你选用1中的一个函数关系式，求 y的最大值.46. (P131习题10)函数y cos2x 2cosx 1的值域为47. ( P51习题19改编)一铁棒欲通过如下图的直角走廊，试答复以下问题:(1)求棒长L关于 的函数关系式：L(2 )求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值.解：(1)如图，ab 2 , bc _L LcossinAC AB BC0cos sin22 cos sinsin cos令 t cossin.2 sin，因为0424,所以t2，变:P,贝 V sincost

15、2sincos2t2 12所以t2 . 2 1，当 t 12 时, tt0,二所以L 4,21随着t的增大而增大,t所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为15如下图，一条直角走廊宽为 2米。现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形直线EF分别交直线 AC、BC于M、N,过墙角 D作DP丄AC于DQ丄BC于Q;(1)假设平板车卡在直角走廊内， 且/ CAB,试求平板面的长 (用表示)；(2)假设平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米2解：(1) DM = sindn = 2cos,MF= , EN=tan , tanEF=DM+DN-MF-EN2sin2+cos丄-tantanABE

16、F，它的宽为12(sincos ) 1sin cos2平板车要想顺利通过直角走廊即对任意角0-,平板车的长度不能通过，即平板车的长2度 1 min ；记 SinCOSt, 1、2，有 sincost2 122(sin cos ) 1 4t 2 sin cost21此后研究函数的最小值，方法很多；如换元记4t 2m，那么t m 2 或直接求导，以确定函数在1, . 24上的单调性；当t2时取得最小值 4.2 248. P15练习2改编假设锐角三角形的三边长分别是2,3, X，那么X的取值范围是变：三角形ABC的三边长a,b,c成等差数列，且84，那么实数b的取值范围是2 6,2 749.如图，在

17、 ABC中，/ A的平分线AD与边BC相交于点D，求证:50.(P11习题9)cos BP11习题5改编在ABC中，设kcosC2ccos A，贝U cos A的值为如图，圆内接四边形 ABCD中，AB=2 ,BC=6 ,AD=CD=4,如何求四边形BDDCABACABCD的面积？ 8. 351.变： 代P,Q,B为平面上四点，其中 A,B为定点，且 AB ,3，动点P,Q满足AP PQ QB 1,设52.在厶 ABC 中，假设 sinC sin(BA sin 2A，那么 ABC的形状为.等腰或直角三角形APB和 PQB的面积分别为S,T，试求:(1)求s2T2的最大值；S22323Tcosc

18、os-设角A为2 24(2)当S22T取最大值时，APB的形状如何？等腰三角形53. P19例4半圆O的直径为2, A为直径延长线上的一点，OA 2, B为半圆上的任意一点，以AB为一边作等边三角形 ABC，问点B在什么位置时，四边形 OACB的面积最大?54. P20练习4如图，某人在高出海面600m的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为 30°,航标B在南偏东60°，俯角为45°，求这两个航标间的距离.55. P21 习题 6在 ABC 中， B ，D 是 BC 边上一点，AD 10，AC 14，DC 6，那么 AB 4的长为.56. P21习题7把一根

19、长为 30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边 AB和BC，且ABC 120，如何锯断木条，才能使第三条边AC最短？57. P24习题5 向量a,b,c满足a b c 0,且a,b的夹角等于135°，b与c的夹角等于120°,|c| 2,求 |a|,|b|.58. P24习题8 船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进mkm后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，该岛周围nkm范围内包括边界有暗礁，现该船继续东行试确定，满足的条件，使船能平安航行 .mcos cosn sin59. P24习题7如图，A是定角，P,Q分别在 A的两边上，PQ为定

20、长，当P,Q处于什么位置时，APQ的面积最大？研究1: A是定角，P,Q分别在 A的两边上，PQ为定长m，设AQ a , AP b，那么:当a b时， APQ的面积有最大值；当 a b时， APQ的周长有最大值研究2:如图， POQ为定值，过定点M引线段AB，分别交OP、OQ于A,B .(1)求证：当 MA MB即M是线段AB中点时， OAB的面积最小； OAB是以0为顶点的等腰三角形时，截线段的乘积 MA?MB最小.、典例剖析它们的终例1. (2021年江苏高考题)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角a, 3：边分别与单位圆交于 A, B两点，A, B的横坐标分别为 鼻,

21、2卫.105(1) 求tan( )的值;(2) 求 2 的值.变：直线y= 2x+ 1和圆x2+ y2= 1交于A, B两点，以x轴的正方向为始边， OA为终边(0是坐标原点)的 角为a， 0B为终边的角为那么sin( a+ 3 =.4443答案：一5 解析：将 y= 2x+ 1 代入 X2+ y2= 1 中得，5x2 + 4x= 0, x= 0 或一5，二 A(o,1), B 5， 5，,344故 sin a= 1, cosa= 0, sin 3=,cos 3=, sin( a+ 3 = sin acos 3+ cososin =555例2. (1)函数f(x) 2sin( x )(其中 0

22、,)的图象如下图，假设点A是函数f(x)的2 2图象与x轴的交点，点分别是函数f (x)的图象的最高点和最低点，点C(,0)是点B在x轴上的12uur uuu射影，那么AB BD =y*V j2-2,第1题图O C第2题图(2)直线I与函数y sin x ( x0,)的图象相切于点 A，且I / OP , O为坐标原点，P为图象的极值点,直线I与x轴交于点B ,过切点Lun uurA作x轴的垂线，垂足为 C,贝U BA BC =(3)在 ABC中，BC2 , AB AC 1,那么ABC面积的最大值为.2(4) O 为 ABC 的外接圆圆心，AB 2, AC 1, BAC 120 ，假设 AO1

23、AB 2 AC,那么(5) ABC的内角A的大小为120°,面积为 3 .设O ABC的外心，当BC . 21时，那么AO BC 的值为.【解】由BC21得b2 c2421，即b216b217uuuuuuuuuOABC的外心，uuuuuuAOADDO，因为所以DOBC匸旦uuuuuuuuu uuu1 uUD uuu uuuurnb2 : c疋20 ,解得b 1或4 设BC的中点为 D，那么所以当b 1时，c 4,uuu uunAO BC4时,UUU uun AO BCb2 c215亍 2例3.向量a=cos,cos(10),b=( sin(10,sin2ab(1)求2的值;(2)假设

24、 ab，求；320求证:a/ b解：(1)1 a I 2+ | b2=2,(2) / a 丄 b , cossin (10-)+cos(10-sin=0 sin( (10-)+ )=0, sin10 =0 10 =kn, kZ，/k , k Z10(3)'=云 cossin0 cos(10-) sin(10 =cos sin cos (20 20sin()2 202020 20变：如图，半径为1圆心角为(1)当C为圆弧AB中点时，D(2)当C在圆弧Ab上运动时，圆弧AB上有一点C.为线段OA上任一点，求|0C=cos sin -sincos =0, a b20OD |的最小值.D、E分

25、别为线段 OA、OB的中点,求CE -DE的取值范围.A以解: (1)O为原点，以OA为x轴正方向，建立图示坐标系,.2 2 一 一 ：2，), OC OD=(2 2 2 |OCOD|2=t2 l = t2-、2t 1 ( 0G知当t 时，最小值为上22 2 23(2)设 OC = (cos a sin a (0<a< n)2CE OE OC = (0,1)(cos a sin a =(2cos1sin )21又 D ( ,0 ),2 DE=( 1,CE -DE =1(cos21-sin2,2 . 1)= si n( ) w24447w44 CE -DE 142 4 2T例4.在厶

26、ABC中，角A,B, C的对边分别为a,b,c,tanCsin A sin B cos A cos B(1)求角C的大小;(2)假设厶ABC的外接圆直径为求a2b2的取值范围.解：(1)因为tanCsin A sin B 即 sin CcosA cosB ' cosCsin Asin Bcos A cos B '所以 sinC cosAsin CcosB cosCsin AcosCsin B，即 sinCcosAcosCsi nA cosCs inB sin CcosB，sin(B C).所以CAB C :即2CAB, 得(2 )由Cn,设a得 sin(C A)或C2Rsin

27、A sin因a(B C)(不成立).故a22 2b sin A1 co畤 2由-n,BA, B誉,知-扌_n3 .A,bsin22 RsinsinB 1 cos 2 A)cos(2n 2变：在 ABC中，角A, B ,C所对的边分别为(1)求角B的大小;cos2B21cos22cos2 w 1 ,a, b ,c.(2)设 Tsin2 A sin2 B sin2C,求 T 的取值范围.2 2 2解：(“在 ABC 中,2sinsA1CsinC b兀2sin Asin Csin C2 2 2 a c2 2a b2accos B2abcosCccosB bcosCsin C cosB sin B c

28、osC '因为 sinC 0,所以 sinBcosC 2sinAcosB sinCcosB,所以 2si nAcosB sin B cosC sin CcosB sin (B C) si nA,因为si nA 0,所以cosB 1因为0 B n所以B n冗,2 2 2sin A sin B sin C1(1 cos 2 A)4 1(1 cos2C)12 (cos 2 A cos2C)cos 2 Acos2A7求角A的大小； 1 cos2A -sin2A - 1 cos 2A n42 22423因为0 A 3，所以0 2A生?，33故卫 2A n 3，因此 1< cos 2A n

29、1 ,33 332三、自主练习C是圆O与轴正半轴的交点，AOB1.A、B是单位圆O上的动点，且 A、B分别在第一、二象限. 为正三角形.记/ AOC= a3 4sin假设 ABC的外接圆半径为 4、3，试求b+c取值范围. a+ sin2 a(1) 右A点的坐标为(3, 4).求2的值;5 5cos2 a+ cos2 a(2) 求|BC|2的取值范围.344解：(1) T A 点的坐标为(3，5)，二 tana= 3，sin2 a+sin2 a sin2a+2sin acos a cos a+ cos2 a 2COS a Sin a.2-sin2 asin a2 + 2 Xcos acos a2sin2 acos2 a16 8tan2 a+ 2tan a_ 932 tan2a _162 9设A点的坐标为(x, y), AOB为正三角形，一nn B 点的坐标为(cos( a+ 3), sin( a+ 3),且 C(1,0), |BC|2= cos( a+ n 12+ sin2( a+ n = 2 2cos( a+ 3).而A、B分别在第一、二象限， a (g, n). a+扌 (寸，劭, cos( a+ n (呼,0). |BC2 的取值范围是(2,2 + 3).322. a=(1+cos,sin