排列组合问题中的重复计算剖析_第1页
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文档简介

1、排列组合问题中的重复计算剖析在解答排列组合问题中，易犯的错误是遗漏与重复。遗漏多半比较明显，而重复较为隐蔽。本文对一些隐蔽的重复计算错误举例剖析。研究失误的原因，寻求补正和预防的方法。例 1 某天有六节不同的课，若第一节排数学，或第六节排体育，问共有多少种不同的排法？错解 数学排第一节的排法有55a种，体育排第六节的排法也有55a种，根据加法原理，第一节排数学或排体育的排法共有55a55a255a240 种剖析 在数学排第一节的排法中，存在着体育排第六节的排法，在排体育第六节的排法中，存在着数学排第一节的排法，它重复计算了数学排第一节，同时体育排第六节的排法，即多算44a种。正确结果是：55a

2、55a44a216 种例 2 从 4 名男生 3 名女生中选 3 人成立科技小组，问当选者中至少有一名男生和一名女生的选法有几种？错解 先选一名男生， 有14c种选法， 再选一名女生， 有13c种选法，最后从余下的5 名学生中选一名有15c种选法，故共有选法14c13c15c60 种剖析上述解法中，每一种选法都符合要求，但是否有重复计算呢？为此我们不妨设4 名男生为 a1，a2，a3，a4，3 名女生为 b1，b2，b3，把上面选法中含有一名男生的选法分为4 类。在含有男生a1的一类的选法有： a1，b1，a2，即先选 a1，再选 b1，最后选 a2；在含有男生 a2的一类中有 a2， b1，

3、a1，即先选 a2，再选 b1，最后选 a1。显然这两种选法被重复计算了。因此上述解法是错误的。错误的原因在于没有将符合要求的选法进行正确分类，分类要不重不漏。正解 以男生人数分类，则符合条件的有且仅有两类，一类是男生一名女生两名，有1243c c种选法，另一类是男生两名女生一名，有2143c c。故共有1243c c2143c c30 种例 3 n 个不同的球放入n1 个不同的盒子，假设每个盒子都有足够大的容量，问每个盒子中至少有一个球的放法共有多少种？错解先在每盒子中放入一球共有1nna种放法，再将剩下的一球放入，有 n1 种放法。 由乘法原理， 共有放法（n1）1nna（n1）n！种.

4、剖析 将这 n 个球和 n1 个盒子均依次编号，设先在每盒中放入一球时，有一种放法是第i 号盒子恰好放入第i 号球，其中 i1，2， n1，然后再考虑剩下的第n 号球的放法，假设第n号球恰好放入第 1 号盒，这样，除1 号盒中放有第一号与第n 号两个球外，其余各盒均只放有一个与盒子同号的球，若先在每盒中放入一球时，第 n 号球恰好放入第1 号盒，而其余各盒所放的球均与盒子同号，这样，再将剩下的1 号球放入盒中时，必有一种放法是恰好放入 1 号盒，这时，出现与前一次完全相同的结果，但在上面的解法中被当成两种不同的放法来计算，故重复。正确的解法是：先从n 个球中任取 2 个组成一组，共有2nc种方法；然后把这2 个球当作 1 份，另外 n2 个球每个球算1 份，共有 n1 份，把这 n1

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