高中数学第2章推理与证明2.1.2演绎推理学案新人教B版选修2-2-新人教B版高二选修2-

1、21.2 演绎推理1掌握演绎推理的基本模式，特别是三段论模式，并学会运用这些推理模式进行推理2了解合情推理、演绎推理之间的联系和区别1演绎推理根据概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做_它的特征是：当前提为_时，结论 _为真演绎推理的特点：(1) 演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中(2) 在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的因而演绎推理是数学中严格证明的工具(3) 演绎推理是一种收敛性的思维方法，它的创造性较少，但却具有条理清晰、令人信服的

2、论证作用，有助于科学的理论化和系统化【做一做 1】演绎推理是 ( ) a部分到整体，个别到一般的推理b特殊到特殊的推理c一般到特殊的推理d一般到一般的推理2演绎推理的四种推理规则(1) 假言推理：用符号表示这种推理规则就是“如果pq，p真，则q真”假言推理的本质是，通过验证结论的充分条件为真，判断结论为真(2) 三段论推理：用符号表示这种推理规则就是“m是p，s是m，所以 _”(3) 传递性关系推理：用符号表示推理规则是“如果arb，brc，则_”， 其中“r”表示具有传递性的关系。(4) 完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理三段论推理是演绎推理的一般模式，在数学证

3、明中， 以上四种演绎推理规则是经常用到的，一道证明题，往往要综合应用这些推理规则如果违背了这些规则，那么证明就是错误的【做一做 21】下面几种推理过程是演绎推理的是( ) a两条直线平行，同旁内角互补，如果a与b是两条平行直线的同旁内角，则ab180b某校高三1 班有 55 人， 2 班有 54 人， 3 班有 52 人，由此得高三所有班人数都超过50 人c由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质d在数列 an 中a11，an12an11an1(n2)，由此归纳出an 的通项公式【做一做 22】“因为a，b，所以ab，又因为bc，所以ac. ”以上推理的两个步骤分别遵循的推理规则是( ) a第

4、一步遵循假言推理，第二步遵循传递性关系推理b第一步遵循三段论推理，第二步遵循假言推理c第一步遵循三段论推理，第二步遵循传递性关系推理d第一步遵循传递性关系推理，第二步遵循三段论推理合情推理与演绎推理有哪些区别与联系？剖析：区别：从推理形式和推理所得结论的正确性上讲，二者有差异合情推理演绎推理归纳推理类比推理推理形式由部分到整体或由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理由一般到特殊的推理结论的正确性结论不一定正确，有待进一步证明在前提和推理形式都正确的前提下，结论正确联系： 从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们是紧密联系、相辅相成的合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一

5、般是通过合情推理获得的在数学中， 演绎推理可以验证合情推理的结论的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路题型一假言推理【例题 1】设数列 an 为等差数列，求证：以bna1a2ann为通项的数列bn为等差数列分析：由 an为等差数列，推证bn为等差数列，只要证得bn 1bnd为常数即可反思：假言推理的规则为“如果pq，p真，则q为真”题型二三段论推理【例题 2】已知a，b，c，d四点不共面，m，n分别是abd和bcd的重心，求证mn平面acd. 分析：应用线面平行的判定定理证明反思：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1) 大前提已知的一般原理；(2) 小前提所研究的特殊情况；(3)

6、 结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断题型三传递性关系推理【例题 3】设a，b，c为正实数，求证：a2b2b2c2a2c2abc. 分析：应用均值不等式找出a2b2与ab，b2c2与bc，a2c2与ac的关系，再应用同向不等式相加法则可证明反思：传递性关系推理论证时必须保证各量间的关系能正确传递题型四完全归纳推理【例题 4】已知函数f(x)(12x112) x3. (1) 判断f(x) 的奇偶性；(2) 证明f(x) 0. 反思： 完全归纳推理必须把所有情况都考虑在内完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅证明了几种特殊情况，它不能说明结论的正确性，而前者则把所有情况都作了证明题型五易错辨析易错

7、点： 在应用三段论推理证明问题时，应明确什么是问题中的大前提和小前提在推理的过程中，大前提、小前提和推理形式之一错误，都可能导致结论错误【例题 5】如图，在abc中，acbc，cd是ab边上的高，求证：acdbcd. 错证：在abc中，因为cdab，acbc，所以adbd，于是acdbcd. 1 如图，因为abcd，所以 12，又因为 23，所以 13. 所用的推理规则为 ( ) a三段论推理、假言推理b三段论推理、传递性关系推理c三段论推理、完全归纳推理d三段论推理、三段论推理2“因指数函数yax是减函数 (大前提 ) ，且y3x是指数函数 (小前提 )，所以y3x是减函数 ( 结论 ) ”

8、上面推理的错误是( ) a大前提错导致结论错b小前提错导致结论错c推理形式错导致结论错d大前提和小前提都错导致结论错3 下面的推理是传递性关系推理的是( ) a在同一三角形中若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在abc中，abac，所以在abc中，bcb因为 2 是偶数，所以2 是素数c因为ab，bc，所以acd因为2是有理数或无理数，且2不是有理数，所以2是无理数4 因为当a0 时， |a| 0；当a0 时， |a| 0；当a0 时， |a| 0，所以当a为实数时， |a| 0. 此推理过程运用的是演绎推理中的_推理5 关于函数f(x) lgx21|x|(x0)，有下列命题：其图象关于

9、y轴对称；当x0 时，f(x) 是增函数；当x0 时，f(x) 为减函数；f(x)的最小值是lg 2 ；当 1x0 或x1 时，f(x) 是增函数；f(x) 无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是_答案：基础知识梳理1演绎推理真必然【做一做 1】c 2(2)s是p(3)arc【做一做 21】a 选项 d是归纳推理，选项c是类比推理，选项b既不是合情推理也不是演绎推理【做一做 22】c 典型例题领悟【例题 1】证明：设数列an 的首项为a1，公差为d，因为bnbn1na1an21nn1a1an121n1a1an2a1an12anan12d2(n2)，而d2是个常数，所以数列bn 为等差数列

10、【例题 2】证明：如图，连结bm，bn，并延长，分别交ad，dc于p，q两点，连结pq.因为m，n分别是abd和bcd的重心，所以p，q分别是ad，dc的中点， 又因为bmmp2bnnq，所以mnpq. 又因为m n?平面adc，pq? 平面adc，所以mn平面acd. 【例题 3】证明：因为a2b22ab，a，b，c为正实数，所以2(a2b2) a2b22ab (ab)2. 所以a2b2ab22. 所以a2b222(ab) 同理a2c222(ac).b2c222(bc) ，所以有a2b2b2c2c2a222(2a2b 2c) 2(abc) 即a2b2b2c2c2a22(abc)又2(abc)

11、 abc，所以a2b2b2c2c2a2abc. 【例题4】 (1) 解：函数f(x) 的定义域为2x10，即 x|x0，f( x) f(x) 12 x112( x)312x 112x32x12x12( x)312x 112x32x2x1x312x312x1x312x3x3x30. 所以f( x) f(x) 所以f(x) 是偶函数(2) 证明：因为x0，所以当x0 时， 2x1,2x10，x30，所以f(x) 0；当x0 时，x0，f(x) f( x) 0，所以f(x) 0. 【例题 5】错因分析：错证中由adbd得出acdbcd是错误的，因为只有在同一个三角形中才有大边所对的角较大这一结论成立正确证法： 在abc中，因为cdab，所以acdabcdb90. 又acbc，所以ba，于是acdbcd. 随堂练习巩固1b 本题前面证1 2 用的是三段论推理，后半部分证1 3 用的是传递性关系推理2a yax(a0，a1)的单调性与a有关，若a1，则为