高中数学第2章几个重要的不等式33.1数学归纳法学案北师大版选修4-5-北师大版高二选修

1、3.1 数学归纳法学习目标： 1. 了解数学归纳法的原理及其使用范围，掌握数学归纳法证明的步骤( 重点 )2.能够利用数学归纳法证明一些简单问题( 难点 ) 教材整理数学归纳法阅读教材p36p37“思考交流”以上部分，完成下列问题1数学归纳法的原理数学归纳法原理是：设有一个关于正整数n的命题，若当n取第 1 个值n0时该命题成立，又在假设当n取第k个值时该命题成立后可以推出n取第k1 个值时该命题成立，则该命题对一切自然数nn0都成立2数学归纳法证明的步骤(1) 验证当n取第一个值n0( 如n01 或 2 等) 时命题正确(2) 假设当nk时(kn，kn0) 命题正确，证明当nk1 时命题也正

2、确在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都正确判断 ( 正确的打“”，错误的打“”)(1) 用数学归纳法证明命题“多边形的内角和是(n2)180”时，验证的第一个值是3. ( ) (2) 用数学归纳法证明只与自然数n有关的命题时，第二步中在假设nk(kn) 成立时，总是证明nk1 时也成立 . ( ) (3) 使用数学归纳法时，可以不使用归纳假设. ( ) 解析 (1) 因为边数最少的多边形是三角形(2) 在证只与正整数有关的命题时，在假设nk成立的前提下，证明nk2 时也成立(3) 用数学归纳法证题中必须使用归纳假设 答案 (1) (2) (3) 数学归纳法的概念

3、【例 1】用数学归纳法证明：1aa2an+11an+21a(a1，nn) ，在验证n1成立时，左边计算的结果是( ) a1 b1ac1aa2d1aa2a3 精彩点拨 只需把n1 代入，观察式子左边规律即得答案 自主解答 实际是由1( 即a0) 起，每项指数增加1，到最后一项为an+1，因此n1 时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1aa2. 答案 c 验证n取第一个值n0时命题正确是运用数学归纳法的基础，一定要正确找出nn0时的命题. 1若f(k) 112131412k112k，则f(k1) f(k)_. 解析 f(k 1) 112131412k112k12k 112k1，f(k

4、1) f(k) 12k112k 1. 答案 12k112k2用数学归纳法证明等式【例 2】用数学归纳法证明：112131412n 112n1n11n212n(nn) 精彩点拨 要证的等式左边共2n项，右边共n项，f(k) 与f(k1) 相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同因此，由“nk”到“nk1”时要注意项的合并 自主解答 当n1 时，左边 11212111右边，所以等式成立假设nk时等式成立，即112131412k 112k1k11k212k，则当nk1 时，左边 112131412k112k12k112k21k11k212k12k112k21k212k12k11k112k

5、 21k212k12k 112k 2右边，所以，nk1 时等式成立由知，对任意nn，等式成立用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关. 由nk到nk1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项. 2用数学归纳法证明：12414616812n2n 2n4n1( 其中nn) 证明 (1) 当n 1 时，等式左边12418，等式右边14 1 118，所以等式成立(2) 假设nk(k1，kn) 时等式成立，即12414612k2k2k4k1成立 . 则nk1 时，12414616812k2k 212k1 2k

6、1 2k4k114k1k2k k 2 14k1k2k124k1k2k14k1 1，即nk1 时等式成立由(1) ，(2) 可知，对任意nn等式均成立 . 数学归纳法证明猜想 探究问题 1数学归纳法有两个步骤，那么它的两个步骤的作用分别是什么？ 提示 在数学归纳法中的第一步“验证nn0时命题成立”，是归纳的奠基、是推理证明的基础，第二步是归纳递推，保证了推理的连续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有正整数也都成立2如何理解归纳假设在证明中的作用？ 提示 归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，联结第一个值n0和后续的n值所对应的情形在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础

7、进行证明否则，就不是数学归纳法3若数列 an中，a1 1，an2a2n11. 那么a2，a3，a4分别是多少？你能猜想出an吗？能否通过数学归纳法证明 提示 由题意可以求出a11，a23，a37，a415，可以猜想an2n1，然后可以用数学归纳法证明【例 3】 设f(n)0(nn) ， 对任意正整数n1和n2总有f(n1n2) f(n1) f(n2) ， 又f(2)4. (1) 求f(1) ，f(3) 的值；(2) 猜想f(n) 的表达式，并证明你的猜想 精彩点拨 先求f(1) ，f(2) ，f(3) 归纳猜想f(n) 用数学归纳法证明 自主解答 (1) 由于对任意正整数n1和n2，总有f(n

8、1n2) f(n1) f(n2) 取n1n2 1，得f(2) f(1) f(1) ，即f 2(1) 4. f(n)0(nn) ，f(1) 2. 取n11，n22，得f(3) 23. (2) 由f(1) 21，f(2) 422，f(3) 23，初步归纳猜想f(n) 2n. 当n1 时，f(1) 2 成立；假设nk时，f(k) 2k成立当nk1 时，f(k1) f(k) f(1) 2k2 2k+1，这就是说当nk 1 时，猜想也成立由，得，对一切nn，f(n) 2n都成立1切实掌握“观察、归纳、猜想、证明”这一特殊到一般的推理方法2证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设的结构相同的形

9、式“凑假设”，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论需要的形式“凑结论”3已知数列 an的第一项a15 且sn 1an(n2，nn) (1) 求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2) 用数学归纳法证明(1) 中的猜想 解(1)a2s1a15，a3s2a1a210，a4s3a1a2a3551020，猜想an5，n 1，52n-2，n2.(2) 证明：当n1 时，猜想显然成立当n2 时，a2522-25，猜想成立假设nk时猜想成立，即ak52k-2(k2，k n) ，当nk1 时，由已知条件和假设有ak1ska1a2a3ak5510 52k-255 1 2k-11252k-152( k

10、+1)-2. 故nk1 时猜想也成立根据可知，对任意n2，nn，有an52n-2. 所以数列 an 的通项an5，n1，52n-2，n2.1 用数学归纳法证明1 23 (2n1) (n1) (2n1) 时， 在验证n1 成立时，左边所得的代数式为( ) a1 b13 c123 d12 34 解析 当n1 时左边有21 13 项，所以左边所得的代数式为123. 答案 c 2在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n3) 条时，第一步检验第一个值n0等于( ) a1 b2 c3 d0 解析 边数最少的凸n边形是三角形 答案 c 3用数学归纳法证明等式“1 35 (2n 1)n2”时， 从k到k1 左边需增加的代数式为 ( ) a2k2 b2k1 c2kd2k1 解析 等式“ 1 35 (2n1) n2”中，当nk时，等式的左边135 (2k 1)，当nk1 时， 等式的左边 135 (2k1) 2(k1) 1 13 5 (2k1) (2k1) ，从k到k1 左边需增加的代数式为2k 1. 答案 d 4用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xnyn能被xy整除”时，在归纳假设中，假设当nk时命题成立，那么下一步应证明n_时命题也成立 解析 两个奇数之间相差2，所以n