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1、第 1 章 常用逻辑用语 体系构建 自我校对 逆否命题必要条件p?qp且q或全称命题存在量词 题型探究 四种命题及其相互关系四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,用非p和非q分别表示p和q的否定,于是四种命题的形式就是:原命题:若p,则q;逆命题:若q,则p;否命题:若非p,则非q;逆否命题:若非q,则非p. 原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的,而原命题与它的逆否命题( 或它的逆命题与它的否命题) 之间在真假上是始终保持一致的,即同真同假正是因为原命题与逆否命题的真假一致,所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题已知a,b,cr,
2、写出命题“若ac0,则方程ax2bxc0 有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这三个命题的真假 精彩点拨 按照四种命题的定义写出命题,只需判定原命题及逆命题的真假,利用互为逆否命题的命题是等价命题,可知否命题与逆否命题的真假 规范解答 逆命题:“若方程ax2bxc 0(a,b,cr) 有两个不相等的实数根,则ac0”,是假命题如当a1,b 3,c2 时,方程x2 3x2 0 有两个不等实根x11,x22,但ac20. 否命题:“若ac0,则方程ax2bxc0(a,b,cr) 没有两个不相等的实数根”,是假命题这是因为它和逆命题互为逆否命题,而逆命题是假命题逆否命题: “若方
3、程ax2bxc0(a,b,cr) 没有两个不相等的实数根,则ac0”,是真命题因为原命题是真命题,而逆否命题与原命题等价 再练一题 1给出下列命题:已知a(3,4) ,b(0, 1) ,则a在b方向上的投影为4;函数ytanx3的图象关于点6,0 成中心对称;命题“如果ab0,则ab”的否命题和逆命题都是真命题;若a0,则abac是bc成立的必要不充分条件其中正确命题的序号是_( 将所有正确的命题序号都填上) 【导学号: 71392036】 解析 |a| 5,|b| 1,ab 4,cosa,b45,a在b方向上的投影为|a| cosa,b 4,正确;当x6时, tanx3无意义,由正切函数yt
4、an x的图象的性质知,正确;原命题的逆命题为“若ab,则ab0”为真,其否命题也为真正确;当a0,bc时,abac成立( 当a0,abac时不一定有bc) 正确 答案 充分条件与必要条件的判断关于充分条件、必要条件与充要条件的判定,实际上是对命题真假的判定;若“p?q”,且“p? /q”,则p是q的“充分不必要条件”,同时q是p的“必要不充分条件”;若“p?q”,则p是q的“充要条件”,同时q是p的“充要条件”;若“p? /q”,则p是q的“既不充分也不必要条件”,同时q是p的“既不充分也不必要条件”设p:实数x满足x24ax3a20,a0. 且非p是非q的必要不充分条件,求实数a的取值范围
5、 精彩点拨 非p是非q的必要不充分条件也就是p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件) 利用集合之间关系列不等式组求解 规范解答 设a x|p x|x24ax3a20,a0 x|3axa,a0 x|x4 或x 2 非p是非q的必要不充分条件,q是p的必要不充分条件a b,a 4,a0或3a 2,a0,解得23a4,xy4是x2,y2的什么条件?请说明理由 解当x2 且y2 时,有xy4,xy4,即x2,y2?xy4,xy4.反之,当x14,xy54,即xy4,xy4? /x2,y2.xy4,xy4是x2,y2的必要不充分条件. 含逻辑联结词的命题1. “且”、“或”、“非”这些词叫逻辑联
6、结词,不含逻辑联结词的命题叫简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题有“p或q”、“p且q”、“非p”三种形式2含逻辑联结词的命题的真假判断:“p或q”中有真为真,“p且q”有假为假,非p与p真假相反给出两个命题:p:函数yx2x 1 有两个不同的零点,q:若1x1,那么在下列四个命题中,真命题是_. 【导学号: 71392037】( 非p) 或q;p且q;( 非p) 且 ( 非q) ;( 非p) 或( 非q) 精彩点拨 判断p,q真假 非p,非q真假 命题真假 规范解答 1450,p真x0 时,1x01 不成立,q假,非q真,均为假命题,为真命题 答案 再练一题 3若命题p:x(x4) 0
7、,命题q:13x1,则非p是非q成立的 _条件 ( 填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 解析 由命题p:x(x4) 0 得p:x0 或x 4,则非p:4x0. 由q:13x1,得q:2x3,则非q:x2 或x3. 因为非p? 非q,非q? / 非p,所以非p是非q成立的充分不必要条件 答案 充分不必要全称命题和存在性命题1全称命题“ ?xm,p(x) ”强调命题的一般性,因此,(1) 要证明它是真命题,需对集合m中每一个元素x,证明p(x) 成立;(2) 要判断它是假命题,只需在集合m中找到一个元素x,使p(x) 不成立即可2存在性命题“?xm,p(x) ”强调结论
8、的存在性,因此,(1) 要证明它是真命题,只需在集合m中找到一个元素x,使p(x) 成立即可;(2) 要判断它是假命题,需对集合m中每一个元素x,证明p(x) 不成立判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并判断其真假(1) 对角互补的四边形都内接于一个圆;(2) 对于定义在区间a,b 上的连续函数f(x) ,若f(a) f(b) 0,则函数f(x)在开区间(a,b) 上至少有一个零点;(3) ?x 0,2,tan xsin x;(4) ?xr,log2(3x1)0. 精彩点拨 理解含义 寻找量词 判断类别 判断真假 规范解答 (1) 全称命题,是真命题;(2) 存在性命题,是真命题;(3) 全
9、称命题, tan xsin xcos x,x 0,2,0 cos x 1,sin x0,1cos x1,sin xcos x sin x,即 tan xsin x,是真命题;(4) 存在性命题,3x0,3x11,则 log2(3x1) 0,是假命题 再练一题 4下列命题中,既是真命题又是存在性命题的是_. 【导学号: 71392038】有一个角,使 tan(90 ) tan ;?x r,使 sin x2;对任意角,都有 sin(180 ) sin ;?, r,sin() sin cos cos sin . 解析 是存在性命题且是真命题,是存在性命题且是假命题,都是全称命题 答案 含一个量词的命
10、题的否定1全称命题的否定一定是存在性命题p:?xm,p(x) 成立;非p:?xm,非p(x) 成立2存在性命题的否定一定是全称命题p:?xm,p(x) 成立;非p:?xm,非p(x) 成立3含有一个量词的命题的否定首先要改变量词,把全称量词改为存在量词;把存在量词改为全称量词,然后再把判断词加以否定写出下列命题的否定,并判断它们的真假(1)p:?xr,x2x140;(2)q:?x是质数,x不是奇数;(3)r:至少有一个实数x,使x x21;(4)s:所有的周期函数都有最小正周期 精彩点拨 改变量词 否定结论 写出否定 作出判断 规范解答 (1) 非p:?xr, 使x2x140. 由于对任意的实
11、数x,x2x14x1220,故p是真命题,非p是假命题(2) 非q:?x是质数,x是奇数由于 2 是质数,且2 不是奇数,故q是真命题,非q是假命题(3) 非r:?xr,xx21. 由于对任意的实数x,x|x| x20,则方程x2xm0 有实根”的逆否命题是_ 解析 “若p则q”的逆否命题是“若非q则非p” 答案 若方程x2xm0 没有实根,则m02命题“ ?x0(0, ) , ln x0 x01”的否定是 _. 【导学号: 71392039】 解析 存在性命题“?x0m,p(x0) ”的否定是全称命题“?xm,非p(x) ” 答案 ?x(0, ) , ln xx 1 3设r,则“1212”是“ sin 12”的 _条件 ( 填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 解析 1212? 06? sin 12,而当sin 12时,取6,612412, 即 sin 12? /1212, 故“1212”是“ sin 12”的充分不必要条件 答案 充分不必要4设m,n为非零向量,则“存在负数,使得mn”是“mn0”的 _条件 ( 填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 解析 若存在负数,使mn,则mnnnn2|n|20. 若mn0则可得 cosm,n 0,但不一定推得“存在负数,使得mn”综上所述,“存在负数,使得mn”是“m
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