离散型随机变量及其分布列学案

1、.§2.1.2离散型随机变量的分布列一 、基本概念1.随机变量：2离散型随机变量：3离散型随机变量的分布列（离散型随机变量X的概率分布）：设离散型随机变量X可能取的值为，X取每一个值概率记作：_,则表称为随机变量X的概率分布，简称X的分布列4离散型随机变量的分布列具有以下两个性质： ； 例1在抛掷一枚图钉的随机试验中，令 如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的概率分布。如果随机变量X的分布列为X10PpQq=1-p，则称离散型随机变量X服从参数为P的两点分布变式训练: 从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球， 求随机变量X的概率分布。例2 掷一枚骰子，所掷出的点数为随机变量X

2、：（1）求X的分布列；（2）求“点数大于4”的概率；（3）求“点数不超过5”的概率。变式训练: 盒子中装有4个白球和2个黑球，现从盒中任取4个球，若X表示从盒中取出的4个球中包含的黑球数，求X的分布列.例3已知随机变量X的概率分布如下：X-1-0.501.83P0.10.20.10.3a求: （1）a； （2）P（X<0）；（3）P（-0.5X<3）；（4）P（X<5）X01P9C2-C3-8C拓展提升:变式训练 若随机变量变量X的概率分布如下： 试求出C。练习1.下列表中能成为随机变量X的分布列的是 （ ）X-101P0.30.40.4X123P0.40.7-0.1A BX

3、-101P0.30.40.3X123P0.20.40.5C D2.随机变量所有可能的取值为1，2，3，4，5，且，则常数c= ,= .§2.1.2-2离散型随机变量的分布列101P0.512qq2一 基础巩固题1设是一个离散型随机变量，其分布列为：则q等于 ()A1 B1± C1 D12已知随机变量X的分布列为：P(Xk)，k1,2，则P(2X4)等于()A. B. C. D.3由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其表如下X123456P0.200.100. x 50.100.1y0.20则丢失的两个数据x、y依次为_4. 抛掷2颗骰子，

4、所得点数之和X是一个随机变量，则P(X4)_. 5. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列二 综合应用题6设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为，遇到红灯(禁止通行)的概率为.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：(1)的分布列；(2)停车时最多已通过3个路口的概率三 拓展探究题某人向如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外的概率为0.1，落在靶内的各个点是随机的。已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm，20cm，10cm，飞镖

5、落在不同区域的环数如图。设这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X，求X的分布列。 1098 §2.1.3超几何分布导一、问题引入： 问题1 一个班级有10名学生，其中有3名女生。现从中任选4名学生当班委，令变量X表示4名班委中女生的人数，试求X的概率分布。问题2一个班级有10名学生，其中有3名女生。现从中任选2名学生当班委，令变量X表示2名班委中女生的人数，试求X的概率分布。【归纳总结】：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件（nN），这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P（X=m）= 。随机变量X的分布列为：X01mP二、典例

6、解析： 例1： 从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个X红球，求X的分布列。  例2：盒中有4个白球，5个红球，从中任取 个球，设其中有X个 球，求X的分布列。（自己出题试一试！）  例3：老师要从10首古诗中随机抽3首让学生背诵，规定至少要背出其中2首才能及格。某同学只能背诵其中的6首。试求：(1)抽到他能背诵的数量的分布列；(2)他能保证及格吗？及格的概率有多大？  §2.2.1条件概率一、 新课引入： 问题：抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6”，B=“两颗骰子的点数之和大于8”问：

7、事件B在事件A发生的条件下的概率是多少?（书48页）引入概念：1.对于任何两个事件A和B，在 的概率叫做条件概率，记作 。2.由事件A和B 所构成的事件D，称为事件A与B的交（或积），记作 （或 ）。3. 条件概率计算公式：（前三个分式适合古典概型）三、典例解析：例1一个家庭中有两个小孩。假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？变式训练 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?例2 甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录知道，一年中雨

8、天的比例，甲为20%，乙为18%，两地同时下雨的比例为12%. 求： 乙地下雨的条件下甲地也下雨的概率； 甲地下雨的条件下乙地也下雨的概率.变式训练 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l）第1次抽到理科题的概率； (2）第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率例3 在一个盒子中有大小一样的15个球，其中10个红球，5个白球。甲，乙两人依次各摸出1个球。 （1）求甲得红球，乙得白球的概率 （2）已知甲得红球，则乙得白球的概率2.2.2事件的相互独立性一：基本概念 1相互独立事件的概念设A、B是两个事件

9、，如果_，则称事件A与事件B相互独立。如果事件A的发生 影响事件B发生的概率，或者事件B的发生 影响事件A发生的概率，则事件A与事件B相互独立。 2相互独立事件的性质 （1）若事件A与事件B独立，那么_，_，_。 （2）如果事件A与事件B相互独立，那么_与_，_与_，_与_也都相互独立。二：想一想1两人打靶，甲击中的概率是0.8，乙击中的概率是为0.7，若两人同时射击同一目标，则他们都中靶的概率是 （ ）A、0.56 B、0.48 C、0.75 D、0.62袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回的摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是 （ ）A、互斥事件 B、相

10、互独立事件 C、对立事件 D、不相互独立事件3一袋中有3个红球、2个白球，另一袋中有2个红球、1个白球，从每袋中任取一球，则至少取一白球的概率是 （ ）A、 B、 C、 D、4某射手射击一次，击中目标的概率是0.8，他重复射击三次，且各次射击是否击中相互之间没有影响，那么他第一、二次未击中，第三次击中的概率_。三：课堂探究例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率： (1)都抽到中奖号码； (2)恰有一次抽到中奖号码； (3)至少有一次

11、抽到中奖号码例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：（1）人都射中目标的概率； （2）人中恰有人射中目标的概率；（3）人至少有人射中目标的概率； （4）人至多有人射中目标的概率？（变式训练）1.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。2.2.3-1独立重复试验与二项分布1、 新课引入 1、相互独立事件：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.若与是相互独立事件，则与，与，与也相互

12、独立.2、相互独立事件同时发生的概率：一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，.思考：掷一枚图钉，针尖向上的概率为，则针尖向下的概率为=q问题（1）:每一次针尖向上的概率是多少?问题（2）：用 表示第次掷得针尖朝上的事件，这次试验相互独立么？问题（3）：若连续抛掷3次，3次中恰有1次针尖向上，有几种情况？问题（4）：每种情况的概率分别是多少？问题（5）：投掷3次恰有1次针尖向上的概率是多少？问题（6）：连续掷次，恰有次（k）针尖向上的概率是多少？根据上述问题，你能得出那些结论？二、概念归纳：1、独立重复试验的定义：在 重复做次的试验,每次试验的结果 那

13、么一般就称它们为次独立重复试验.2、独立重复试验的概率公式：在次独立重复试验中，事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件恰好发生次（k）的概率 , 随机变量的概率分布：01思考：分布列中概率之和是多少？结论：这样的离散型随机变量服从参数为n,p的 ，记做 二、 典型例题例1某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 4 次射击中，(1)恰有 2 次击中目标的概率； (2)至少有 1次击中目标的概率 （3）设射手击中目标的次数为X，求X的分布列。2.2.3-2独立重复试验与二项分布典例分析：1、从装有3个红球、2个白球的袋中有放回随机取两次球，每次取

14、一个，设取到红球的次数为，则随机变量的概率分布列为012P思考：若条件改为不放回抽取呢？2、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列3、某射手每次射击击中目标的概率是0.8,现在连续射击4次， 求击中目标的次数X的概率分布。4、 今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排

15、放计算器”的软件，人们可以扰此计算出自己每天的碳排放量。例如：家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数×.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0.785等。某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯进否符合低碳观念的调查。若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”。这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：B小区低碳族非低碳族比例PA小区低碳族非低碳族比例P （I）如果甲、乙来自A小区，丙来自B小区，求这3人中恰有1人是低碳族的概率； （II）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列。如果2周后随机地从A小区中任选3个人

16、，记表示3个人中低碳族人数，求的分布列2.3.1离散性随机变量的数学期望一、新课引入问题1：某射手射击所得的环数的分布列如下；45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在n次射击之前，虽然不能确定各次射击所得的环数，但是可以根据已知的分布列估计n次射击的平均环数。根据这个射手射击所得的环数的分布列，在n次射击中，预计大约有P(=4)×n=0.02n次得4环, P(=5)×n=0.04n次得5环,P(=6)×n=0.06n次得6环, P(=10)×n=0.22n次得10环,n次射击的总环数约等于：4×0.02n+5

17、×0.04n+6×0.06n+10×0.22n =（4×0.02+5×0.04+6×0.06+10×0.22）n从而，n次射击的平均环数约等于 4×0.02+5×0.04+6×0.06+10×0.22=8.32类似地，对任一射手，若已知其射击所得的环数的分布列，即已知各个P(=i)（i=1，2，3，10），则可预计他任意n次射击的平均环数是 E=0×P(=0)+1×P(=1)+2×P(=2)+10×P(=10)我们称E为此射手射击所得的环数的期望

18、，它刻化了随机变量所取的平均值，从另一方面反映了射手的射击水平。一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称E=x1p1+x2p2+xnpn+为的 或平均数、均值数学期望简称为期望问题一中，若得分Y=2+1，则Y的分布列是：EY=结论：E(a+b)= 二、探究服从两点分布、二项分布及超几何分布的随机变量的期望：服从两点分布的随机变量的期望 （2）服从参数为N,M,n超几何分布的随机变量的期望 (3)服从二项分布的随机变量的期望：若B(n,p)，则E=np证明过程：三、 典型例题：例1、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚球不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7

19、，求他罚球一次的得分的期望。例2、一次测验由5个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作答或答错不得分，满分20分。某学生选对任意一题的概率为0.9。求此学生做对题数X的分布列和期望，求此学生在这次英语单元测验中的成绩的期望。例3、为了测试某一射击运动员的射击水平，让他向目标靶射击10次，他击中目标7次，若再让他向目标靶射击3次，求：（I）这个运动员恰好击中目标2次的概率是多少？（II）求这个运动员击中目标次数X的数学期望EX的值。2.3.2-1离散性随机变量的数学方差一、知识回顾1：若随机变量，则 ；又若，则 2：已知随机变量的分布列为 ：01P且，则 ； 二、新课引入1、离散型随机变量的方差：当已知随机变量的分布列为 时，则称 为的方差， 为的标准差。意义：离散型随机变量的方差与标准差都反映了离散型随机变量取值相对于 的 大小（或说离散程度）越小，波动越 ，稳定性越 2、常见的一些离散型随机变量的方差：（1）两点分布： ；（2）二项分布： 三、典例分析例1已知随机变量的分布列：P求DX 例2随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差例3运动员投篮时命中率（1）求一次投篮时命中次数的期望与方差；（2）求重复3次投篮时，命中次数的分布列、期望与方差例4设，且，则与的值分别