2017全国高考近四年圆锥曲线题目(共24页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上全国高考近四年圆锥曲线题目一选择题（共14小题）1已知双曲线C：（a0，b0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=±xDy=2已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）ABCD3设椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2F1F2，PF1F2=30°，则C的离心率为（）ABCD4设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点若|AF|=3|BF|，则l的方程为（）Ay=x1或y=x+1By=（x1）或 y=（x1）C

2、y=（x1）或 y=（x1）Dy=（x1）或 y=（x1）5椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是（）ABCD6已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）ABCD27已知F1（1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（）ABCD8设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）AB6C12D79已知椭圆C：+=1（ab0）

3、的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=110已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cosAF2F1=（）ABCD11双曲线C：=1（a0，b0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A2B2C4D412设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k0）与C交于点P，PFx轴，则k=（）AB1CD213已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（ab0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF

4、交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）ABCD14已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A3B6C9D12二填空题（共2小题）15已知g（x）=+x2+2a1nx在1，2上是减函数，则实数a的取值范围为16已知F是双曲线C：x2=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）当APF周长最小时，该三角形的面积为三解答题（共5小题）17已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点（）若F在线段AB上，R是PQ的中

5、点，证明ARFQ；（）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程18设圆x2+y2+2x15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E（）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围19在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a0）交于M，N两点（）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？（说明理由）20已

6、知点A（0，2），椭圆E：+=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程21已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|（）求C的方程；（）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程全国高考近四年圆锥曲线题目参考答案与试题解析一选择题（共14小题）1（2013新课标）已知双曲线C：（a0，b0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）Ay=By

7、=Cy=±xDy=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案【解答】解：由双曲线C：（a0，b0），则离心率e=，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题2（2013新课标）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）ABCD【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，利用斜率计算公式可得=于是得

8、到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2进而得到椭圆的方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，x1+x2=2，y1+y2=2，=，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9椭圆E的方程为故选D【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键3（2013新课标）设椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2F1F2，PF1F2=30°，则C的离心率为（）ABCD【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求

9、得答案【解答】解：|PF2|=x，PF2F1F2，PF1F2=30°，|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c2a=3x，2c=x，C的离心率为：e=故选D【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题4（2013新课标）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点若|AF|=3|BF|，则l的方程为（）Ay=x1或y=x+1By=（x1）或 y=（x1）Cy=（x1）或 y=（x1）Dy=（x1）或 y=（x1）【分析】根据题意，可得抛物线焦点为F（1，

10、0），由此设直线l方程为y=k（x1），与抛物线方程联解消去x，得yk=0再设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系和|AF|=3|BF|，建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程【解答】解：抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），设直线l方程为y=k（x1）由消去x，得yk=0设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=4（*）|AF|=3|BF|，y1+3y2=0，可得y1=3y2，代入（*）得2y2=且3y22=4，消去y2得k2=3，解之得k=直线l方程为y=（x1）或y=（x1）故选：C【点评】本题给出抛物线

11、的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题5（2013大纲版）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是（）ABCD【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1（2，0），右顶点A2（2，0）设P（x0，y0）（x0±2），代入椭圆方程可得利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（2，0），右顶点A2（2，0）设P（x0，y0）（x0±2），则，得=，=，=，解得故

12、选B【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键6（2013大纲版）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）ABCD2【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y12）（x2+2，y22）=0，即可求出k的值【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x2），代入抛物线方程，得到k2x2（4k2+8）x+4k2=0，0，设A（x1，y1），B（x2，y2）x1+x2=4+，x1x2=4y1+y2=，

13、y1y2=16，又=0，=（x1+2，y12）（x2+2，y22）=0k=2故选：D【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题7（2013大纲版）已知F1（1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（）ABCD【分析】设椭圆的方程为，根据题意可得=1再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且|AB|=3算出A、B的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出a2=4，b2=3，从而得到椭圆C的方程【解答】解：设椭圆的方程为，可得c=1，所以a2b2=1AB经过右焦点F2且垂直于x轴，

14、且|AB|=3可得A（1，），B（1，），代入椭圆方程得，联解，可得a2=4，b2=3椭圆C的方程为 故选：C【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题8（2014新课标）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）AB6C12D7【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=t

15、an30°（x）=（x）代入抛物线方程，消去y，得16x2168x+9=0设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1+x2+=+=12故选：C【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键9（2014大纲版）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=1【分析】利用AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程【解答】解：AF1B的周长为4，AF

16、1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=4，a=，离心率为，c=1，b=，椭圆C的方程为+=1故选：A【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题10（2014大纲版）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cosAF2F1=（）ABCD【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论【解答】解：双曲线C的离心率为2，e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，|F1

17、F2|=2c，则由余弦定理得cosAF2F1=故选：A【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力11（2014大纲版）双曲线C：=1（a0，b0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A2B2C4D4【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论【解答】解：=1（a0，b0）的离心率为2，e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bxay=0，则c=2a，b=，焦点F（c，0）到渐近线bxay=0的距离为，d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C【点评】本题主要考查是双曲线的基本

18、运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础12（2016新课标）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k0）与C交于点P，PFx轴，则k=（）AB1CD2【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F为（1，0），曲线y=（k0）与C交于点P在第一象限，由PFx轴得：P点横坐标为1，代入C得：P点纵坐标为2，故k=2，故选：D【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档13（2016新课标）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（ab0）的左焦点，

19、A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）ABCD【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值【解答】解：由题意可设F（c，0），A（a，0），B（a，0），令x=c，代入椭圆方程可得y=±b=±，可得P（c，±），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=c，可得M（c，k（ac），令x=0，可得E（0，

20、ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e=故选：A【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题14（2015新课标）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A3B6C9D12【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果【解答】解：椭圆E的中心在坐标原

21、点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=2，由，解得y=±3，所以A（2，3），B（2，3）|AB|=6故选：B【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力二填空题（共2小题）15已知g（x）=+x2+2a1nx在1，2上是减函数，则实数a的取值范围为（，【分析】求函数的导数，利用g（x）0在1，2上恒成立，结合参数分离法进行求解即可【解答】解：g（x）=+x2+2a1nx在1，2上是减函数等价为g（x）0在1，2上恒成立，即g（x）=+2x+0，即2x，

22、则ax2，设f（x）=x2，则f（x）在1，2上是减函数，f（x）min=f（2）=，即a，故答案为：（，【点评】本题主要考查导数的应用，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键16（2015新课标）已知F是双曲线C：x2=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）当APF周长最小时，该三角形的面积为12【分析】利用双曲线的定义，确定APF周长最小时，P的坐标，即可求出APF周长最小时，该三角形的面积【解答】解：由题意，设F是左焦点，则APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF|+2|AF|+|AF|+2（A，P，F三点共线时，取等号），直线AF的方程为与x2

23、=1联立可得y2+6y96=0，P的纵坐标为2，APF周长最小时，该三角形的面积为=12故答案为：12【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键三解答题（共5小题）17（2016新课标）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点（）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；（）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程【分析】（）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明PRA=PQF，即可证明ARFQ；（）利用PQF的面积是ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的

24、轨迹方程【解答】（）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及APBQ，得AFP+BFQ=90°，PFQ=90°，R是PQ的中点，RF=RP=RQ，PARFAR，PAR=FAR，PRA=FRA，BQF+BFQ=180°QBF=PAF=2PAR，FQB=PAR，PRA=PQF，ARFQ（）设A（x1，y1），B（x2，y2）， F（，0），准线为 x=， SPQF=|PQ|=|y1y2|，设直线AB与x轴交点为N，SABF=|FN|y1y2|，PQF的面积是ABF的面积的两倍，2|FN|=1，xN=1，即N（1，0）设AB中点为M（x，y），由得=2（x1x2

25、），又=，=，即y2=x1AB中点轨迹方程为y2=x1【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题18（2016新课标）设圆x2+y2+2x15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E（）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围【分析】（）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A

26、，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQl，设PQ：y=m（x1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围【解答】解：（）证明：圆x2+y2+2x15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（1，0），半径r=4，由BEAC，可得C=EBD，由AC=AD，可得D=C，即为D=EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c

27、=1，b=，则点E的轨迹方程为+=1（y0）；（）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQl，设PQ：y=m（x1），由可得（3m2+4）y2+6my9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=，则|MN|=|y1y2|=12，A到PQ的距离为d=，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|MN|=12=24=24，当m=0时，S取得最小值12，又0，可得S24=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是12，8）【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查

28、不等式的性质，属于中档题19（2015新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a0）交于M，N两点（）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？（说明理由）【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程（II）存在符合条件的点（0，a），设P（0，b）满足OPM=OPNM（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2直线方程与抛物线方程联立化为x24kx4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k

29、1+k2=k1+k2=0直线PM，PN的倾斜角互补OPM=OPN即可证明【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y=可得：y=，曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：ya=，化为同理可得曲线C在点N处的切线方程为：（II）存在符合条件的点（0，a），下面给出证明：设P（0，b）满足OPM=OPNM（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2联立，化为x24kx4a=0，x1+x2=4k，x1x2=4ak1+k2=+=当b=a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，OPM=OPN点P（0，a）符合条件【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几

30、何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（2014新课标）已知点A（0，2），椭圆E：+=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程【分析】（）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（）设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，利用0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程【解答】解：（） 设F（c，0），由条件知，得=又，所以a=2=，b2=a2c2=1，故E的方程（6分）（）依题意当lx轴不合题意，故设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，得（1+4k2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0，即时，从而=+又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积=，设，则t0，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足0，所以当