中考数学专题复习八：几何证明题

1、专题八：几何证明题【问题解析】几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力，几何证明题和计算题在中考中 占有重要地位.根据新的课程标准，对几何证明题证明的方法技巧上要降低，繁琐性、难 度方面要降低.但是注重考查学生的基础把握推理能力，所以几何证明题是目前常考的题 型.【热点探究】类型一：关于三角形的综合证明题【例题11（2016 四川南充）已知4ABN和ACM&置如图所示，AB=ACAD=AE/1=/2.(1)求证：BD=CE(2)求证：/ M=Z N.初中数学【分析】（1）由SAS证明AABtDAACtE得出对应边相等即可（2）证出/ BANW CAM由全等三角形的性质得出/ B=

2、Z C,由AAS证明 AC阵AABN 得出对应角相等即可.【解答】（1）证明：在4ABD和4ACE中,3AC+ Z1=Z2,AE=AE .AB里AACE( SAS),.BD=CE(2)证明：.一/ 1=22,. / 1+/DAEW 2+/DAE即/ BANW CAM由(1)得： AB¥ AACE. B=/ C,NC必，AC 二 AB在 AACMIn MBN 中，l/CAM =/BAN , .AC阵AABIN( ASA), / M4 N.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键.【同步练】(2016 山东省荷泽市 3 分)如图， ACB和4DCE均为等腰

3、三角形，点 A, D, E在同一直线上，连接 BE(1)如图 1,若 / CABW CBAW CDEW CED=50求证：AD=BE求/ AEB的度数.(2)如图 2,若/ACBW DCE=120 , CM| DCE中 DE边上的高，BN为4ABE 中 AE边类型二：关于四边形的综合证明题【例题2】(2016 山东省滨州市 10分)如图，BD是 ABC的角平分线，它的垂直平 分线分别交AB, BD BC于点E, F, G,连接ED DG(1)请判断四边形 EBGD勺形状，并说明理由；(2)若/ ABC=30 , / C=45° , ED=2/H,点 H是 BD上的一个动点，求 HG+

4、HC勺最 小值.【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质.【分析】(1)结论四边形 EBG比菱形.只要证明 BE=ED=DG=朋可.(2)作EML BC于 M DN BC于N,连接EC交BD于点H,此时HG+H僦小，在R忆EMC 中，求出EM MC即可解决问题.【解答】解：(1)四边形EBGD菱形.理由： EG垂直平分BDEB=ED GB=GD / EBDh EDB / EBDh DBC / EDF4 GBF在 EFD和 GFB中，f ZEDF=ZGBFZ£FI>ZGFB,IDF=BF . EFg GFBED=BGBE=ED=DG=G B 四边形EBG虚菱形.(2)作EM

5、L BC于M, DNL BC于Nl,连接EC交BD于点H,此时HG+HCt小，在 RTA EBM中，. / EMB=90 , / EBM=30 , EB=ED=2/K ,.embe=/k,. DE/ BC, EMI BC, DNL BC,EM/ DN EM=DN= , MN=DE=2 | ,在 RTA DNC中，. / DNC=90 , / DCN=45 , / NDCW NCD=45 ,DN=NC=',- MC=3/H，在 R3 EMO43,EMC=90 , EM引五.MC=M",EC=JEM2M=J /）/+ （3疝）I0/ HG+HC=EH+HC=EC. HG+HC勺最

6、小值为10寸正【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、 角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点 H的位置，属于中考常考 题型.【同步练】(2016 山东省济宁市 3分)如图，正方形 ABCM对角线AC BD相交于点O,延长 CB至点F,使CF=CA连接AF, /ACF的平分线分别交 AF, AB, BD于点E, N, M,连接EO.(1)已知BD=/,求正方形 ABCD勺边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.类型三：关于圆的综合证明题【例题3】(2016 山东潍坊)正方形 ABC咕接于。O,如图所示，在劣弧 靛上取一 点E,

7、连接DE BE,过点D作DF/ BE交。0于点F,连接BF、AF,且AF与DE相交于点 G, 求证：(1)四边形EBFD矩形；(2) DG=BE【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理.【分析】(1)直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出/BEDW BAD=90 , / BFD至 BCD=90 , / EDF=90 ,进而得出答案；(2)直接利用正方形的性质 器的度数是90° ,进而得出 BE=DF则BE=DG【解答】证明：(1)二.正方形ABCm接于。O,/ BED= BAD=90 , / BFD至 BCD=90 ,又 DF/ BE, ./ EDF吆 BED=18

8、0 ,/ EDF=90 , 四边形EBFD矩形；(2)二.正方形ABCErt接于。O,标的度数是90° ,，/AFD=45 ,又. / GDF=90 , / DGFW DFC=45 ,.DG=D F又在矩形 EBFD43, BE=D【同步练】(枣庄市2015 中考-24 )如图，在 ABC中，/ ABC=90 ,以 AB的中点O为圆心、OA为半径白圆交AC于点D, E是BC的中点，连接DE, OE(1)判断DE与。0的位置关系，并说明理由；(2)求证：BC2=CD?2OE(3)若 cos/BAD=3, BE=6,求 OE的长.5类型四：关于相似三角形的证明问题【例题4】（2016 黑

9、龙江齐齐哈尔 8 分）如图，在 ABC中，ADLBG BHAG垂 足分另1J为D, E, AD与BE相交于,点F.(1)求证： AC8 ABFtD(2)当 tan/ABD=1 AC=3时，求 BF 的长.【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】（1）由/C+/ DBF=90 , ZC+Z DAC=90 ,推出/ DBFh DAC 由此即可证明.（2）先证明AD=BD由AACmABFtD得 =1,即可解决问题.BF BD【解答】（1）证明：.ADLBC BE!AC / BDF至 ADCW BEC=90 ,/ C+Z DBF=90 , / C+Z DAC=90 , / DBF至 DAC .ACm

10、ABFtD(2) 1. tan ZABD=1 / ADB=90.AD=BD.ACm ABFtD-1BF BDBF=AC=3【同步练】图2BP的长.圄3(2016 湖北武汉 10分)在 ABC中，P为边AB上一点(1) 如图 1,若/ACP= /B,求证： AC2=AP- AB;(2)若M为CP的中点，AC=2,1. 如图2,若/ PBM= /ACP AB= 3,求BP的长；如图3,若/ABC= 45° , /A= /BMP= 60° ,直接写出【达标检测】2. (2016 黑龙江哈尔滨 8 分)已知：如图，在正方形 ABCM,点E在边CD上,AQL BE 于点 Q DP31

11、 AQ 于点 P.(1)求证：AP=BQ(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于 PQ的长.3. (2016 四川内江)(9分)如图6所示， ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中 点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF= BD连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB= AC,试判断四边形 AFBD勺形状，并证明你的结论.4. (烟台市2015中考-23 )如图，以 ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,BC的交点分别为D、E,且DE|=BE.(1)试判断 ABC的形状，并说明理由.(2)已知半圆的半径为 5

12、, BC=12求sin/ABD的值.5. (2015?内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第 22题7分)如图，在平行四边形 ABCtD, E、F 分别为边AB CD的中点，BD是对角线.(1)求证： AD珞 CBF(2)若/ ADB是直角，则四边形 BEDF是什么四边形？证明你的结论.旧宫E6. (烟台市2014中考-24 )如图，AB是。0的直径，延长 AB至P,使BP=OB BD垂直于弦BC 垂足为点 B,点D在PC上.设/ PCB=a , /POC邛.求证：tan a ?tan =.7. (2015淄州，第25题12分)如图，在正方形 ABCD4点重合，BP的垂直平分线分别交 CD AB于E、F两点

13、，垂足为 Q过P在AD上，且不与 A、DE 作 EFUAB 于 H.(1)求证：HF=AP(2)若正方形 ABCD勺边长为12, AP=4,求线段EQ的长.8. (2015?北海，第25题12分)如图，AR CD为。的直径，弦 AE/ CD连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点 巳使/ PED=/ C.(1)求证：PE是。的切线；(2)求证：E叶分/ BEP(3)若。的半径为5, CF=2EF,求PD的长.【参考答案】类型一：关于三角形的综合证明题【同步练】（2016 山东省荷泽市 3 分）如图， ACB和4DCE均为等腰三角形，点 A, D, E在 同一直线上，连接 BE

14、（1）如图 1,若 / CABW CBAW CDEW CED=50求证：AD=BE求/ AEB的度数.（2）如图 2,若/ACBW DCE=120 , CM/ DCE中 DE边上的高，BN为4ABE 中 AE边【考点】等腰三角形的性质.【分析】（1）通过角的计算找出/ ACDW BCE再结合4ACB和4DCE均为等腰三角 形可得出"AC=BC DC=EC ,利用全等三角形的判定（ SAS即可证出 AC国 BCE由此 即可得出结论AD=BE结合中的 AC国ABCE可得出/ ADC= BEC再通过角的计算即可算出/ AEB 的度 数；（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角

15、的度数， 利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AR DE的长度，二者相加即可证出结论.【解答】（1）证明：CABW CBAW CDEW CED=50 , /ACBW DCE=180 - 2X50° =80° . / ACB= ACD+ DCB / DCE= DCB+ BCE/ ACD= BCE AC B和 DCE均为等腰三角形，.AC=BC DC=ECM 二 BC在AACD和ABCE中，有：ZACD=ZBCE， DC=EC .AC国BCE( SAS),.AD=BE解：.AC国ABCE/ ADC= BEC 点A, D, E在同一直线上，且/ CDE=50 , ./A

16、DC=180 - / CDE=130 , ./ BEC=130 . /BECW CED4 AEB 且/ CED=50 , /AEB至 BEO Z CED=130 50° =80°(2)证明：. ACB和ADCE均为等腰三角形，且/ ACBW DCE=120 , ./CDM =CEMX (180° -120° ) =30° . .CML DE/ CMD=90 , DM=EM在 RtACMD, / CMD=90 , / CDM=30 ,.DE=2DM=2=2/CMtanZCDH " /BECW ADC=180 30° =150&

17、#176; , / BECW CEM+AEB /AEB至 BEO Z CEM=150 - 30° =120° , ./ BEN=180 120° =60° .在 RtBNE中，/ BNE=90 , / BEN=60 , g 刊式 n/BEM2c-BN.3 . AD=BE AE=AD+DE，AE=BE+DE=3BN+2 -CM解直角三角形以及【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、 角的计算，解题的关键是：(1)通过角的计算结合等腰三角形的性质证出 AC国ABCE(2)找出线段AD DE的长.本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该

18、题型题目时,利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键.类型二：关于四边形的综合证明题【同步练】(2016 山东省济宁市 3分)如图，正方形 ABCM对角线AC BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA连接AF,/ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.(1)已知BDS，求正方形 ABCD勺边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.【考点】正方形的性质.【分析】(1)根据正方形的性质以及勾股定理即可求得；(2)根据等腰三角形三线合一的性质证得CE1AF,进一步得出/ BAF=/ BCN然后

19、通过证得 AB阵CBN导出AF=CN进而证得 ABF COM根据相似三角形的性质和正方形 的性质即可证得 CN= CM【解答】解：(1)二.四边形ABCD正方形，. ABD等腰直角三角形，-2AB!=BD), BD= . AB=1,.正方形ABCM边长为1;(2) CN=.二CM证明： CF=CA AF是/ACF的平分线， .CE! AF, / AENh CBN=90 , / ANEh CNB/ BAF=/ BCN在人85和4 CBN中，rZBAF=ZBCN/ABF二NCBN=90"， ,AB=BC .AB阵 CBN(AAS), . AF=CN / BAF=/ BCN / ACN=

20、BCN/ BAF=/ OCM 四边形ABC比正方形， .Ad BD,/ ABF=/ COM=90 , .ABM COM班2 , = C-卫 c- r OA1O-C L一 |一一 CA1c C即 CN= 1CM类型三：关于圆的综合证明题【同步练】(枣庄市2015 中考-24 )如图，在 ABC中，/ ABC=90 ,以 AB的中点。为圆心、OA为半径白圆交AC于点D, E是BC的中点，连接DE, OE(1)判断DE与。0的位置关系，并说明理由；(2)求证：BC2=CD?2OE(3)若 cos/BAD=3, BE=6,求 OE的长.5思路分析：本题考查了切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性

21、质等知识点.故对于题(1)可以连接OD BD,由AB为圆。的直径，得到/ ADB为直角，从而得出三角形 BCM直角三角形，E为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE利用等边对等角得到一对角相等，再由 OA=OD利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形ABC中两锐角互余，利用等角的余角相等得到/ ADO与/CDE互余，可得出/ ODE为直角，即DE垂直 于半径OD可彳#出DE为圆O的切线；对于题(2)首先可证明 OE是 ABC的中位线，则 AC=2OE然后证明 AB6 BDC根 据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；对于题(3)在直角 ABC中，利用勾股定理求得 AC

22、的长，之后根据三角形中位线定理 OE的长即可求得.解题过程：(1)证明：连接OD BD.AB为圆O的直径，/ADB=90 ,在RtBDC中，E为斜边BC的中点，_1 _ .CE=DE=BE= BC 2. C=/ CDE .OA=O D. A=/ ADO . /ABC=90 ,即/ C+/ A=90° , . / ADO+CDE=90 ,即/ ODE=90 ,.DELOD又 OM圆的半径， DE为。0的切线；(2)证明：:E是BC的中点，O点是AB的中点， .OE是 ABC的中位线，.AC=2O E . /C=/ C, /ABCW BDC .AB6 ABDC，毁=殷，即 BC2=AC?

23、CD CD BCBC2=2CD?O E(3)解：cos/BAD=3 , 5 .sin /BAC=BC=4AC 5 '又.BE=6 E是BC的中点，即 BC=12.AC=15又. AC=2OE.OE=1 AC=15规律总结:熟练把握切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点是解决本题的关键.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直 即可.类型四：关于相似三角形的证明问题【同步练】(2016 湖北武汉 10分)在 ABC中，P为边AB上一点.(1) 如图 1,若/ACP= /B,求证： AC2=AP- AB;(2)若M为CP的中点，AC= 2

24、, 如图2,若/ PB降/ACP AB= 3,求BP的长； 如图3,若/ABC= 45° , /A= /BMP= 60° ,直接写出BP的长.图1图2I图孑【考点】相似形综合，考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形中位线性 质，勾股定理。【答案】（1）证4AC的 ABC即可；（2）B之 而；币1AB= AP:【解析】（1）证明：/ ACP= /B, /BAC= /CAP .AC口AAB（C . ACAC . - AC2=AP- AB;(2)如图，作 CO/ BM交AB延长线于 Q,设B已x,则PQ=2x. /PBM= /ACP /PAC= /CAQ . .AP6A

25、AC<Q 由AC2=AP- AQ 得：22= (3x)(3+ x), x=展即 BP= <5 ；如图：作 CQLAB于点Q彳CP = CP交AB于点Fb, AC= 2,AQ= 1, CQ= BQ= n ,设 PoQ= FQ= 1 -x, BP= 73- 1 + x, / BP时 / CPoA,/BMF= /CAPo, .APo8AMPB，APo &MP - BPMP? PoC= 1 RC2 =("3)；(1_x)=AR ?BP= x ( V3-1 + x),解得 x=行B BP= 6 1 + <7-3 =方1 .【达标检测】1. （2。16 黑龙江哈尔滨 8

26、 分）已知：如图，在正方形ABCM,点E在边CD上,AQL BE 于点 Q DPI AQ 于点 P.（1）求证：AP=BQ（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于 PQ的长.【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质.【分析】（1）根据正方形的性质得出 AD=BA /BAQW ADP再根据已知条件得到 /AQBW DPA判定4AQ小 DPA并得出结论；（2）根据AQ- AP=PQF口全等三角形的对应边 相等进行判断分析.【解答】解：（1）二.正方形ABCD.AD=BA Z BAD=90 ,即/ BAQ+ DAP=90. DPL AQ /

27、 ADP廿 DAP=90 ./ BAQW ADP. AQL BE 于点 Q DPIAQ于点 P / AQBW DPA=90 .AQ里DPA( AAS).AP=BQ(2)AQ- AP=PQAQ- BQ=PQ DP AP=PQ DP BQ=PQ2. （2016 四川内江）（9分）如图6所示， ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中 点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF= BD连接BF.求证：D是BC的中点；(2)若AB= AC,试判断四边形 AFBD勺形状，并证明你的结论.考点三角形例行，特殊四边形的性质与判定。证明：二.点E是AD的中点，AE= DE AF/ BC,/ AFE=

28、/ DCE / FAE= / CDE . EA阵 EDCAF= DC AF= BD,BD= DC 即D是BC的中点.(2)四边形AFBD矩形.证明如下： AF/ BD, AF=BD, 四边形AFBD平行四边形.AB= AC,又由(1)可知D是BC的中点，AD± BC. .口 AFB皿矩形.3.(烟台市2015中考-23 )如图，以 ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边 AC,BC的交点分别为D、E,且DE=BE.(1)试判断 ABC的形状，并说明理由.(2)已知半圆的半径为 5, BC=12求sin/ABD的值.思路分析:(1)连结AE,如图，根据圆周角定理，由 而痂得/DAEW

29、BAE由AB为直径得/AEB=90 ,根据等腰三角形的判定方法即可得 ABC 为等腰三角形；(2)由等腰三角形的性质得 BE=CE=BC=6再在ABE中利用勾股定理计算出 AE=8,2接着由AB为直径得到/ ADB=90 ,则可利用面积法计算出BD普，然后在RtABD中禾U用同勾股定理计算出 AD=1K,再根据正弦的定义求解.5解题过程：解：(1) ABC为等腰三角形.理由如下：连结AE,如图，朝醐 / DAEW BAE 即 AE平分/ BAC.AB为直径，/AEB=90 , .AE! BC .ABC为等腰三角形；(2) ABC为等腰三角形，AE!BC .BE=CEBCX 12=6,22在 R

30、tABE中， AB=10 BE=6, .AE= J二=8.AB为直径，/ADB=90 , AE?BCBD?AC22cc 8X12 4S.BD=,105在 RtABD中， AB=10 BD三，c规律总结:本题考查了圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理.4. （2015?内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第 22题7分）如图，在平行四边形 ABCtD, E、F分别为边AB CD的中点，BD是对角线.（1）求证： AD珞 CBF（2）若/ ADB是直

31、角，则四边形 BEDF是什么四边形？证明你的结论.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.分析： （1）由四边形ABC虚平行四边形，即可得AD=BC AB=CD / A=/ C,又由E、F分别为边AR CD的中点，可证得 AE=CF然后由SAG即可判定 AD9 CBF;（2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再连接EF,可以证明四边形AEFD平行四边形，所以AD/ EF,又AD± BD,所以BDXEF,根据菱形的判定可以得到四边形是菱形.解答： （1）证明：二四边形 ABCD平行四边形，AD=BC AB=CD / A=Z

32、C,. B F分别为边AR CD的中点，AE=iAB, CFCD 22AE=CF在 AD讶口 CBF中，'AD 二 ECZA=ZC,lae=cf.AD珞 CBF (SAS)；(2)若/ ADB是直角，则四边形 BEDF是菱形，理由如下:解：由(1)可得BE=DF又 AB/ CD,BE/ DF, BE=DF 四边形BEDF是平行四边形，连接EF,在？ABCD43, E、F分别为边 AR CD的中点，DF/ AE, DF=AE 四边形AEFD平行四边形，EF/ AD,.一/ ADB是直角，AD± BD,又四边形BFD比平行四边形,点评：本题主要考查了平行四边形的性质,EF

33、7; BD,全等三角形的判定以及菱形的判定，利用好E、F是中点是解题的关键.5.(烟台市2014中考-24 )如图，AB是。0的直径，延长 AB至P,使BP=OB BD垂直于弦BC 垂足为点 B,点D在PC上.设/ PCB=a , /POC邛.求证：tan a ?tan【解析】：连接AC先求出PBNAPA(C再求出 骂=工，最后得到tan a?tan'±=l.PA 32【解答】：证明：连接 AC则/A=1/POC&,22 ./ACB=90 , .tan a =, BD/ AC Bq ./ PBDW A, / P=Z P,.PB APA(C.叫理AC PA PB=0B=

34、OA.+ o+ B BEL BC BD 1. tana?tan =-?-=-=-=-=.2 EC AC AC 忸【点评】：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出 PBD APA(C再求出 tan a ?tan 耳口2 36. (2015淄州，第25题12分)如图，在正方形 ABCD43,点P在AD上，且不与 A、D 重合，BP的垂直平分线分别交 CD AB于E、F两点，垂足为 Q过E作EHL AB于H.(1)求证：HF=AP(2)若正方形 ABCD勺边长为12, AP=4,求线段EQ的长.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理.所有分析： （1）先根据 EQL BO, EFU AB得出/ EQNh BHM=90 .根据/ EMQ = BMH导出 EM6 BMH故/ QEM=HBM由ASA定理得出 AP® HFE,故可得出结论；（2）由勾股定理求出 BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知 BQ=BP,再根据锐角2三角函数的定义得出 QF=BQ勺长，由（1）知，AAPEB HFE故EF=BP=V15,再根据EQ=EF-QF即可得出结论.解答： （1）证明：.EQL BO, EH! AB, / EQNW BHM=90 . . / EMQ g BMH . EMQ