双曲线知识点总结例题教学内容

1、双曲线知识点总结例题精品文档（二）双曲线 知识点及巩固复习1. 双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2 为两定点， P 为一动点， (1)若 |PF1|-|PF 2|=2a 0<2a<|F1F2| 则动点 P 的轨迹是2a=|F 1F2| 则动点 P 的轨迹是2a=0 则动点 P的轨迹是(2)若|P F1|-|PF 2|=2a 0<2a<|F1F2| 则动点 P 的轨迹是2a=|F 1F2

2、| 则动点 P 的轨迹是2a=0 则动点 P的轨迹是2. 双曲线的标准方程3. 双曲线的性质（1）焦点在 x 轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档实半轴的长虚半轴的长焦距离心率 e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式 |PF1|=|PF2|=(F1，F2 分别为双曲线的左右两焦点，P 为椭圆上的一点 )（1） 焦点在 y 轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率 e=范围e越大双曲线的开口越e 越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式 |PF1|=|PF2|=(

3、F1，F 分别为双曲线的下上两焦点， P 为2椭圆上的一点 )1.等轴双曲线：特点实轴与虚轴长相等渐近线互相垂直离心率为2. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档特点有共同的渐近线四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6. 双曲线系（ 1） 共焦点的双曲线的方程为(0<k<c 2,c 为半焦距 )（ 2） 共渐近线的双曲线的方程为例题在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件 “差的绝对值 ”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点 1、双曲线定义例 1、已知动圆 M 与圆 C1： (x4)2y22

4、 外切，与圆 C2：(x 4)2 y22 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程【例 2】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1 ，F2 ，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1 | ·|PF 2| 的值是（）A.B.C.D.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档【例 3】已知双曲线与点 M（5，3）， F 为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则 P 点的坐标为考点 2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法1定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c 即可求得方程2待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法x2y2 1 有共同渐近线的双曲线方程可表示为x2y2 t(t与双

5、曲线 a2 b2a2 b20)；bx2 y2若双曲线的渐近线方程是 y±a ，则双曲线的方程可表示为a2b2 t(t0)；xx2y2x2y2与双曲线 a2b2 1 共焦点的方程可表示为a2 kb2 k1( b2ka2)；x2y2过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为m n 1(mn0)；x2y2 1(a b 0)有共同焦点的双曲线方程可表示为x2y2与椭圆 a2 b2a2 b2 1(b2 a2)例 4、求下列条件下的双曲线的标准方程x2y2(1)与双曲线 9 16 1 有共同的渐近线，且过点( 3， 2)；x2y2(2)与双曲线 16 4 1 有公共焦点，且过点 (3， 2)收集于网

6、络，如有侵权请联系管理员删除精品文档1.在双曲线的标准方程中，若x2 的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果 y2 的系数是正的，那么焦点在y 轴上，且对于双曲线， a 不一定大于 b.2若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2ny2 1(mn 0)，以避免分类讨论考点 3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、 b、 c、 e 的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程x2y2例 5、(12 分)双曲线C： a2 b21(a0，b0)的右顶点为A，x

7、 轴上有一点AP PQQ(2a,0)，若 C 上存在一点 P，使 · 0，求此双曲线离心率的取值范围收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档x2y2例 6、【活学活用】 3.(2012 北京期末检测 )若双曲线 a2b2 1(a 0， b 0) 的两个焦点分别为 F1、F2，P 为双曲线上一点，且 |PF1|3|PF2|，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 _【例 7】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是（）A .e>B.1<e<C.1<e<D.e>【例 8】设为双曲线上的一点，

8、是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）ABC.D【评注】解题中发现PF1F2 是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的 .将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.渐近线双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围 . 由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例 9】过点（ 1，3）且渐近线为的双曲线方程是收集于网络，如有侵权请联系管

9、理员删除精品文档【评注】在双曲线中，令即为其渐近线 .根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.共轭双曲线虚、实易位的孪生弟兄将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：. 这两个双曲线就是互相共轭的双曲线. 它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例 10】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.设而不求与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求. 请看下例：【例 11】双曲线的一弦中点为（ 2， 1），则此弦所在的直线方程为（）A.B.C.D.“设而不求”具体含义是

10、：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用 . 不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子. 请看：【例 12】在双曲线上，是否存在被点M（ 1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档练习1 (2011 安徽高考 )双曲线 2x2y28 的实轴长是 ()A 2B2 C4D 4x2y2C： x2 y22 (2011 山东高考 )已知双曲线 a2b2 1(a 0， b 0)的两条渐近线均和圆6x 5

11、0 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )x2y2x2y2x2y2x2y2A.541B.4 51C.361D.6 31x23.(2012 嘉兴测试 )如图， P 是双曲线4 y2 1 右支 (在第一象限内 )上的任意一点， A1，A2 分别是左、右顶点，O 是坐标原点，直线PA1， PO， PA2 的斜率分别为k1， k2， k3，则斜率之积 k1k2k3 的取值范围是 ()111A (0,1)B(0，8)C (0， 4)D (0， 2)4 (金榜预测 )在平面直角坐标系xOy 中，已知 ABC 的顶点 A( 5,0)和 C(5,0)，顶点x2 y2sin BB 在双曲

12、线 16 91 上，则 |sin A sin C| 为 ( )3254A. 2B. 3C.4D.5x2y25 P 为双曲线9 161 的右支上一点，M、N 分别是圆 (x 5)2 y2 4 和 (x 5)2 y2 1 上的点，则 |PM | |PN |的最大值为 ( )A 6B7C8D96 (2012 南宁模拟 )已知点F 1， F2 分别是双曲线的两个焦点， P 为该曲线上一点，若PF 1F 2 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为()A. 1B.1C 2D2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档x2y27方程 2 m|m| 3 1 表示双曲线那么m 的取值范围是_8 (2012 大

13、连测试 ) 在双曲线4x2 y2 1 的两条渐近线上分别取点A 和 B，使得|OA | |OB|· 15，其中 O 为双曲线的中心，则AB 中点的轨迹方程是 _x2 y2b2 19双曲线 a2b2 1(a 0， b 0)的离心率是2，则3a的最小值是 _10(2012 肇庆模拟 ) 已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F1( 3,0)，一条渐近线的方程是x2y 0.(1)求双曲线C 的方程；(2)若以 k( k0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M， N，且线段MN 的81垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2 ，求 k 的取值范围11 (文用 )已知中心在原点的

14、双曲线C 的右焦点为 (2,0)，右顶点为 (， 0)(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线： y kx m(k0， m 0)与双曲线C 交于不同的两点M、 N，且线段MN 的垂直平分线过点A(0， 1)，求实数 m 的取值范围收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档12 已知中心在原点，顶点A 1、A 2 在 x 轴上，离心率e=的双曲线过点P(6， 6)(1)求双曲线方程(2)动直线l 经过 A 1PA2 的重心 G，与双曲线交于不同的两点M 、 N，问是否存在直线l,使 G 平分线段MN ，证明你的结论13已知双曲线,问过点 A （ 1， 1）能否作直线,使与双曲线交于P、 Q 两点

15、，并且A 为收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档线段 PQ 的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。14 已知点 N（ 1，2），过点N 的直线交双曲线于 A 、 B 两点，且（1）求直线AB 的方程；（ 2）若过 N 的直线 l 交双曲线于C、 D 两点，且，那么 A 、B、C、 D 四点是否共圆？为什么？（二）双曲线 知识点及巩固复习1. 双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2 为两定点，

16、 P 为一动点， (1)若 |PF1|-|PF 2|=2a 0<2a<|F1F2| 则动点 P 的轨迹是2a=|F 1F2| 则动点 P 的轨迹是2a=0 则动点 P的轨迹是(2)若|P F1|-|PF 2|=2a0<2a<|F1F2| 则动点 P 的轨迹是收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档 2a=|F 1F2| 则动点 P 的轨迹是2a=0 则动点 P的轨迹是2. 双曲线的标准方程3. 双曲线的性质（1）焦点在 x 轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率 e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线

17、焦半径公式 |PF1|=|PF|=(F1，F 分别为双曲线的左右两焦点， P 为椭圆上的22一点 )（2） 焦点在 y 轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档实半轴的长虚半轴的长焦距离心率 e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式 |PF1|=|PF2|=(F1 ，F2 分别为双曲线的下上两焦点，P 为椭圆上的一点 )3.等轴双曲线：特点实轴与虚轴长相等渐近线互相垂直离心率为4. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点有共同的渐近线四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6

18、. 双曲线系（ 3） 共焦点的双曲线的方程为(0<k<c 2,c 为半焦距 )（ 4） 共渐近线的双曲线的方程为考点 1。双曲线的定义及应用在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值 ”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点 1、双曲线定义收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档例 1、已知动圆 M 与圆 C1： (x4)2y22 外切，与圆 C2：(x 4)2 y22 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程【自主解答】 设动圆 M 的半径为 r，则由已 知|MC1|r ， |MC2| r，|MC1| |MC2| 2.又 C1( 4,0)，C2(4,0)，|C1C2

19、|8，2|C1C2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C1(4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右x2y2支 a， c4， b2 c2a2 14， 点 M 的轨迹方程是： 2 14 1(x )【例 1】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1 ，F2 ，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1 | ·|PF 2| 的值是（）A.B.C.D.【解析】椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为，故选 A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档【例 2】已知双曲线与点 M（ 5，3）， F 为右焦点，若双曲线上有一点 P，使最小，则P 点的坐标

20、为【分析】待求式中的是什么？是双曲线离心率的倒数 . 由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F（ 6，0），离心率右准线为. 作于 N ，交双曲线右支于P，连 FP，则. 此时为最小 .在中，令，得取.所求 P点的坐标为.考点 2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法1定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c 即可求得方程2待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法x2y2x2y2与双曲线 a2 b2 1 有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2 b2 t(t0)；若双曲线的渐近线方程是bx2y2 t(t0)；y±a ，则双曲线的方程可表示为a2

21、b2xx2y2 1 共焦点的方程可表示为x2y222a2b2a2 kb2 k与双曲线 1( bka )；收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档x2y21(mn0)；过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为nmx2y2 1(a b 0)有共同焦点的双曲线方程可表示为x2y2与椭圆 a2 b2a2 b2 1(b2 a2)例 2、求下列条件下的双曲线的标准方程x2y2(1)与双曲线 9 16 1 有共同的渐近线，且过点( 3， 2)；x2y2(2)与双曲线 16 4 1 有公共焦点，且过点 (3， 2)【自主解答】 (1)解法一：经检验知双曲线焦点在x 轴上，故设双曲线的方x2y29程为 a2b

22、21，由题意，得 1， 解得 a2 4，b24，9y2所以双曲线的方程为4 4 1.(2)解法一：设双曲线方程为x2y2c 2，又双曲线过点a2b21，由题意易求2422222x2y21.， a2b21281.又 a b (2)，a 12，b 8.(32)x2y 21解法二：设所求双曲线方程为 9 16(0)，将点 (3,2)代入得 4.所以双曲线方程为x2y219y21.916，即 444x2y2解法二：设双曲线方程为16 k 4 k 1，且 16k0,4k0.将点 (3，2)代入得 k 4，且满足上面的不等式，所以双曲线方程为x2y212 8 1.1.在双曲线的标准方程中，若x2 的系数是

23、正的，那么焦点在x 轴上；如果 y2 的系数是正的，那么焦点在y 轴上，且对于双曲线， a 不一定大于 b.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档2若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2ny2 1(mn 0)，以避免分类讨论考点 3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、 b、 c、 e 的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程x2y2例 3、(12 分)双曲线C： a2 b21(a0，b0)的右顶点为A，x 轴上有一点AP PQQ(2a,0

24、)，若 C 上存在一点 P，使 · 0，求此双曲线离心率的取值范围【规范解答】 设 P 点坐标为 (x，y)，AP PQ则由 · 0，得 APPQ，即 P 点在以 AQ 为直径的圆上 ，3aax2y21.(x 2 )2y2(2)2. 又 P 点在双曲线上，得 a2b2(a2 b2)x2 3a3x2a4a2b20.即(a2 b2)x(2a3ab2)( xa) 0.6 分当 x a 时， P 与 A 重合，不符合题意，舍去当2a3 ab2x a2 b2 时，满足题意的2a3 ab2c 6P 点存在，需 x a2 b2 a，化简得 a22b2，即 3a22c2，a2.10 分 离

25、心c6率 ea (1，2).12 分x2y2例 4、【活学活用】 3.(2012 北京期末检测 )若双曲线 a2b2 1(a 0， b 0) 的两个焦点分别为 F1、F2，P 为双曲线上一点，且 |PF1|3|PF2|，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 _收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档|PF1| 3|PF2|解析：依题意得 |PF1| |PF2| 2a，c由此解得 |PF2|aca，即 c2a，ea 2，即该双曲线的离心率不超过2.又双曲线的离心率大于1，因此该双曲线的离心率e 的取值范围是 (1,2【例 5】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两

26、支上，则双曲线的离心率e 的范围是（）A .e>B.1<e<C.1<e<D.e>【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就考虑转换吧 . 其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，但是和两条渐近线都有交点却很好掌握. 其二，因为已知直线的斜率为 2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与之相交 . 故有如下妙解 .【解析】如图设直线的倾斜角为，双曲线渐近线的倾斜角为 . 显然。当时直线与双曲线的两个交点分别在左右两支上. 由.双曲线中，故取 e>.选D.【例 6】设为双曲线上的一点，是该双曲线

27、的两个焦点，若，则的面积为（）ABC.D【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：. 设；收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档于是，故知PF1F2 是直角三角形， F1 P F2 =90°.选 B.【评注】解题中发现PF1F2 是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的 .将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.渐近线双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的

28、范围 . 由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例 7】过点（ 1，3）且渐近线为的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为点（ 1， 3）代入：. 代入（ 1）：即为所求 .【评注】在双曲线中，令即为其渐近线 .根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.共轭双曲线虚、实易位的孪生弟兄收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：. 这两个双曲线就是互相共轭的双曲线. 它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【

29、例 8】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.【证明】双曲线的离心率；双曲线的离心率.考点 5、直线与双曲线位置关系设而不求与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求. 请看下例：【例 9】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）A.B.C.D.【解析】设弦的两端分别为. 则有：.弦中点为（ 2， 1），. 故直线的斜率.则所求直线方程为：，故选 C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它 .但是，“设而不求”的手段应当慎用 . 不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子. 请看：【例 10】

30、在双曲线上，是否存在被点M（ 1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（ x1，y 1 ）， B（x2， y2 ）. 那么：.M（1， 1）为弦 AB的中点，故存在符合条件的直线AB，其方程为：.这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：其一：将点M（ 1，1）代入方程，发现左式 =1- 1，故点 M（ 1， 1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB 的斜率，而双曲线的渐近线为. 这里，说明所求直线不可能与双曲线相交，

31、当然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述解法的基础上应当加以验证. 由这里，故方程（ 2）无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2. 若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.练习1 (2011 安徽高考 )双曲线 2x2y28 的实轴长是 ()A2B2C4D 4x2y2解析： 2x2 y2 8 化为标准形式：4 8 1， a2 4. a2. 实轴长 2a 4.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档x2y2C： x2 y22 (2011 山东高考

32、)已知双曲线 a2b2 1(a 0， b 0)的两条渐近线均和圆6x 5 0 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ( )x2y2x2y2x2y2x2y2A.541B.4 51C.361D.6 31x2y2b解析： 由题意得， a2 b21(a 0， b0)的两条渐近线方程为y ±ax，即 bx±ay 0，又圆 C 的标准方程为： (x 3)2 y2 4，半径为2，圆心坐标为 (3,0) |3b|a2 5， b2 4. 该双曲 a2 b2 32 9，且 a2 b2 2 ，解得x2y2线的方程为 541.x2 y2 1 右支 (在第一象限3.(2012 嘉

33、兴测试 )如图， P 是双曲线 4内) 上的任意一点， A1， A2分别是左、右顶点，O 是坐标原点，直线PA1， PO， PA2 的斜率分别为 k1， k2， k3，则斜率之积 k1k2k3的取值范围是 ()111A (0,1) B (0， 8)C (0， 4)D (0， 2)y12 4 4y2y3y解析： 设 P(x， y) ，则 x (0 ， 2)，且x， y 0)12 3 x(x2 4 4x(x 0， kk k1 (0， 8)4 (金榜预测 )在平面直角坐标系xOy 中，已知 ABC 的顶点 A( 5,0)和 C(5,0)，顶点x2 y2sin BB 在双曲线 16 91 上，则 |s

34、in A sin C| 为 ( )3254A. 2B. 3C.4D.5解析： 由题意得 a4， b 3， c 5.A、 C 为双曲线的焦点， |BC| |BA| 8， |AC| 10.sin B|AC|105由正弦定理得 |sin A sin C| |BC| |BA| 8 4.x2y25 P 为双曲线 9 161 的右支上一点， M、N 分别是圆 (x 5)2 y2 4 和 (x 5)2 y2 1 上的点，则 |PM | |PN|的最大值为 ( )收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档A 6B7C8D9解析： 易知两圆圆心为F1( 5,0) ，F 2(5,0) 由双曲线方程知 a 3 ，

35、 b 4，则 c 5，故两圆心恰好为双曲线的两个焦点|PM| |PN|的最大值为如图所示的情况，即 |PM | |PN| |PF 1| |F1M | (|PF2| |NF 2|) |PF1 |2 |PF2 | 12a 32× 3 3 9.6 (2012 南宁模拟 )已知点F 1， F2 分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若PF 1F 2 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为()A. 1B. 1C2D2解析： 不妨设 P 点在双曲线的右支上，则 |PF 1| |PF 2| 2a. PF 1F2 是等腰直角三角形， 只能是 PF 2F 190°， |PF 2| |F

36、1 F2 | 2c， |PF1 | 2a |PF2| 2a 2c， (2a 2c)22·(2c)2，即 c2 2ac a2 0，两边同除以 a2，得 e22e 1 0.e 1， e 1.x2y27方程 2 m|m| 3 1 表示双曲线那么m 的取值范围是_解析： 注意分两种情况一是实轴在x 轴上，二是实轴在y 轴上依题意有2 m 0，2m 0，|m| 3 0，或 |m| 3 0，得 m3 或 3m 2.8 (2012 大连测试 ) 在双曲线 4x2 y2 1 的两条渐近线上分别取点A 和 B，使得|OA | |OB|· 15，其中 O 为双曲线的中心，则 AB 中点的轨迹方

37、程是 _解析： 双曲线 4x2 y2 1 的两条渐近线方程为2x±y 0，设 A(m,2m)，B(n， 2n)，AB2m2n，中点 M(x， y)，则 ，即 y mn，所以 4x2 y2 4mn.由 |OA| ·|OB | × |m|× |n|15，得 |mn| 3，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档x2y2所以 AB 中点的轨迹方程是4x2 y2 ±12，即 3 12 ±1.x2 y22，则b2 19双曲线 a2b2 1(a 0， b 0)的离心率是3a 的最小值是 _cc2a2 b2 4a2? 3a2 b2，则b2 13

38、a2 111 3解析： a 2?a2 4?3a 3a a 3a23 3，133当 a3a，即 a3时取最小值 3.10(2012 肇庆模拟 ) 已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F1( 3,0)，一条渐近线的方程是x2y 0.(1)求双曲线C 的方程；(2)若以 k( k0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M， N，且线段MN 的81垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2 ，求 k 的取值范围x2y2a2 4，解： (1) 设双曲线 C 的方程为 a2 b2 1(a 0， b 0)，由题设得5 解得 b2 5.所以双曲线 C 的方程为：(2)设直线 l 的方程为：x2y24 5 1. y kx m(k 0)，则点 M(x1， y1)， N(x2， y2)的坐标满足