考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题4三角函数与平面向量第19练Word版含答案(精编版)

1、高效复习第 19 练解三角形问题题型分析 ·高考展望 正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题；三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点.体验高考1.(2016 天·津 )在 abc 中，若 ab13， bc 3， c 120 °，则 ac 等于()a.1b.2c.3d.4答案a解析由余弦定理得ab2 ac2 bc22ac·bc·cos c，即 1

2、3 ac2 9 2ac×3× cos 120 °，化简得 ac2 3ac 40，解得 ac 1 或 ac 4(舍去 ).故选 a.2.(2016课·标全国丙 )在 abc 中， b4， bc 边上的高等于13bc，则 cos a 等于 ()a. 31010答案cb. 0 10c. 0 10d.3 1010解析设 bc 边上的高线ad 交 bc 于点 d ，由题意 b bd 1bc，dc 2，tan bad 4，31， tan cad 2， tan a1 2 3，所以 cos a10.3bc1 1× 2103.(2015 天·津 )在

3、abc 中，内角a， b， c 所对的边分别为a， b， c，已知 abc 的面积为1，315，b c 2，cos a 答案8，则 a 的值为 . 4解析 cos a10 a， sin a15.441115s abc 2bcsin a 2bc×4 315， bc 24.又 b c 2， b2 2bc c2 4， b2 c2 52.由余弦定理得，a2 b2 c2 2bccos a52 2× 24× 14 64，a 8.4.(2015广·东 )设 abc 的内角 a， b，c 的对边分别为a， b， c.若 a3， sin b1， c ，26则 b .答案1

4、且解析因为 sin b 12b (0， ，)或所以 b65b6 .又 c 6，所以 b6a b c 2.3又 a3，由正弦定理得ab，即3bsin a，解得 b1.sin b2sin3sin65.(2016北·京 )在 abc 中， a2 c2 b22ac.(1) 求 b 的大小；(2) 求2cos acos c 的最大值 .解(1)由 a2 c2 b22ac 得 a2 c2 b2 2ac.由余弦定理得cos ba2 c2 b22ac2ac22ac2 .又 0 b，所以 b 44 3 (2) ac b 4 ，所以 c34a， 0 a 3.43所以2cos a cos c2cos ac

5、os4 a2cos a3cos 4 cos a sin34 sin a2cos a2cos a2sin a222sin a2cos a sin a 224 .因为 0 a 3 a4 ，所以 4 ，4故当 a42，即a 4时，2cos a cos c 取得最大值1.高考必会题型题型一活用正弦、余弦定理求解三角形问题例 1(1)(2015 ·广东 )设 abc 的内角 a，b，c 的对边分别为a，b，c.若 a 2，c 23，cosa3且 b<c，则 b 等于 () 2a.3b.22c.2d.3答案c解析由余弦定理a2 b2 c2 2bccos a，得 4 b2 122×

6、 b× 23×3，2即 b2 6b 80，b 4 或 b 2，又 b<c， b2.(2)(2016 课·标全国乙 ) abc 的内角 a， b，c 的对边分别为a， b， c，已知 2cos c(acos bbcos a) c.求 c；，求若 c7， abc 的面积为 332abc 的周长 .解 由已知及正弦定理得，2cos c(sin acos b sin bcos a) sin c， 2cos csin(a b) sin c，故 2sin ccos c sin c.可得 cos c12，所以c .3由已知，得 1absin c33c322 ，又 ，所以

7、ab 6，由已知及余弦定理得，a2 b2 2abcos c7， 故 a2 b2 13，从而 (a b)2 25.所以 abc 的周长为 57.点评在根据正弦、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断.一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解；已知大角求小角有一解.在解三角形问题中， 三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围， 确定三角函数值的符号，防止增解等扩大范围的现象发生.变式训练1设 abc 的内角 a， b，c 的对边分别为a， b， c，且 bsin a3acos b.(1) 求角 b 的大小；(2) 若 b3， sin c

8、2sin a，求 a，c 的值 .解(1) bsin a3acos b，由正弦定理得sin bsin a3sin acos b.在 abc 中， sin a 0， 即得 tan b3.b (0， ，) b 3(2) sin c 2sin a，由正弦定理得c 2a， 由余弦定理b2 a2 c2 2accos b，即 9 a2 4a2 2a·2acos 3解得 a3， c2a 23.题型二正弦、余弦定理的实际应用例 2某港口 o 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口o 北偏西 30°且与该港口相距20 海里的 a 处，并正以30 海里/ 小

9、时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇 .(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2) 假设小艇的最高航行速度只能达到30 海里 /小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小 )，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.解(1) 设相遇时小艇航行的距离为s 海里，则s900t2 400 2·30t·20·cos 90° 30°900t2 600t 400900 t 132 300.故当 t1s103， v 103303. 3时，

10、min13即小艇以303海里 /小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.(2) 设小艇与轮船在b 处相遇 .则 v2t2 400 900t2 2·20·30t·cos(90 ° 30°)，故 v2 900 600t400t2 .0< v 30，900 600400900230，解得 t 2t t2，即 t2 t.32又 t3时，v30，.故 v 30 时， t 取得最小值，且最小值等于23此时，在 oab 中，有 oa ob ab 20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30 海里/ 小时.点评解三角形中

11、的实际问题四步骤(1) 分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2) 根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3) 将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4) 检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.变式训练 2为测得河对岸塔ab 的高，先在河岸上选一点c，使 c 在塔底 b 的正东方向上，测得点 a 的仰角为60°，再由点 c 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置d ，测得 bdc 45°，则塔 ab 的高是 米.

12、答案106解析由题意可得， bcd 90° 15° 105°， cd 10， bdc 45°， cbd 30°.在 bcd 中，由正弦定理，得bc sin bdccd sin dbc，解得 bc 102米，在 rt abc 中，塔 ab 的高是 106米.题型三解三角形与其他知识的交汇例 3设 abc 的内角 a， b， c 所对的边分别为a，b， c，且满足a25，ab 3.(1) 求 abc 的面积；(2) 求 a 的最小值 .cos 25·ac解(1) 因为a25，cos 25所以 cos a 2cos2a 13sin a4又因

13、为 ， ，255 3，ab·acbcsin a 2.得 bccos a3? bc 5? sabc 12(2) bc5，a2 b2 c2 2bccos ab2 c2 2× 5× 35a2 b2 c2 6，a2 b2 c2 6? b2 c2 6 a2 2bc 10.amin 2.当且仅当b c5时， a 有最小值2.点评解三角形问题与三角函数性质、向量、不等式、立体几何、数列等知识结合交汇，是近年来高考的新题型， 对于这种问题要细心读题，弄清问题实质， 一般都以其他知识为载体， 主体还是利用正弦、余弦定理解三角形，所以将问题转化为解三角形是关键.变式训练3(2015

14、·陕西 ) abc 的内角 a， b，c 所对的边分别为a， b，c.向量 m (a，3b)与 n (cos a， sin b)平行 .(1) 求 a；(2) 若 a7，b 2，求 abc 的面积 .解(1) 因为 m n，所以 asin b3bcos a 0， 由正弦定理，得 sin asin b3sin bcos a0， 又 sin b 0，从而 tan a3.由于 0 a ，所以 a 3(2) 方法一由余弦定理， 得 a2 b2 c2 2bccos a，而由 a7， b2， a3，得 7 4 c2 2c， 即 c2 2c 3 0，因为 c 0，所以 c 3，bcsin a故 a

15、bc 的面积为s1233.2方法二由正弦定理，得7 2，从而 sin b21.7又由 a b，知 a b，所以 cos b 277sin 3sin b故 sin c sin( a b) sin b sin bcos cos bsin 321.333所以 abc 的面积为 s 133142absin c2.高考题型精练sin 2asin c1.(2015 北·京改编 )在 abc 中， a 4， b5， c 6，则等于()1a. 2b.2c.1d.3答案c解析由余弦定理，得b2 c2 a225 36 1637cos a2bc2× 5× 6 4， sin a 4 ，a

16、2 b2 c216 25 36137cos c2ab2×3×72× 4× 5 8， sin c8，sin 2 a sin c 44 1.37812.(2015重·庆改编 )设 abc 的内角 a，b， c 的对边分别为a，b， c，且 a 2， cos c，43sin a 2sin b，则 c 等于 ()3a.2b.3c.2d.4答案da解析由 3sin a 2sin b，得 3a2b， b 323× 2 3，在 abc 中，由余弦定理，得c22a2 b2 2abcos c 22 32 2×2× 3× 1

17、4 16，解得 c 4.3. 在三角形abc 中，角 a、b、c 的对边分别是a、b、c，且 a b c， a2 b2 c2，则角 a的取值范围是 () a. 2， b.4 ，2c.3， 2d. 0， 2答案c解析因为 a2 b2 c2，b2 c2 a2所以 cos a2bc 0，所以 a 为锐角，又因为 ab c，所以 a 为最大角，所以角 a 的取值范围是 3，2 .4. 在 abc 中，角 a，b，c 所对的边的长分别为a，b，c，若 asin a bsin b csin c，则 abc的形状是 ()a. 锐角三角形b. 直角三角形c.钝角三角形d. 不确定答案c.解析根据正弦定理可得a

18、2 b2 c2由余弦定理得cos ca2 b2 c22ab 0，故 c 是钝角 .5. 在 abc 中， | acab|3，则 abc 的面积的最大值为()a.21b.3214ac·abc.21 2d.321答案b解析设角 a， b， c 所对的边分别为a，b， c，ac· | ac ababb2 c2 a2| 3，93cos a又 cos a2bc12bc 1，2cos a2 5，0 sin a21，5 abc 的面积 s 13321 321，22bcsin a 2tan a ×24故 abc 面积的最大值为321.426. 已知锐角a 是 abc 的一个内角，

19、 a，b，c 是三角形中各角的对应边，若 sin2a cos2a 1，则下列各式正确的是()a. b c2ab.b c 2ac.b c 2ad. b c 2a答案c2解析 sin2a cos2a 1，.cos 2a 120 a2， 0 2a ， 2a23a.3由余弦定理得，(b c)a2 b2c 2 bc (b c)2 3bc (b c)2 342，2 b c44a2 (b c)2 ， 2a b c.457.(2016课·标全国甲 ) abc 的内角 a，b，c 的对边分别为a，b，c，若 cos a，cos c 513，a 1，则 b .答案2113，解析在abc 中由 cos a

20、45cos c 5 ，可得 sin a3 135，sin c12， sin b sin(ac) 13sin acos c cos a·sin c 63，由正弦定理得b asin b21.65sin a138.(2015 重·庆 )在 abc 中， b 120 °， ab2， a 的角平分线ad 3，则 ac .答案6解析在abd 中，由正弦定理得absin adbadsin b，即23，sin adbsin 120°， 解得 sinadb 22adb 45°，从而 bad 15° dac ，所以 c180° 120°

21、; 30° 30°，ac 2ab cos 30 ° 6.9.(2015 课·标全国 )在平面四边形abcd 中， a b c75°， bc 2，则 ab 的取值范围是 .答案(62，62)解析如图所示，延长 ba 与 cd 相交于点 e，过点 c 作 cf ad 交 ab 于点 f，则 bf<ab<be.在等腰三角形cbf 中， fcb 30°，cf bc 2，bf 22 22 2×2× 2cos 30 °62.在等腰三角形ecb 中， ceb 30°， ecb 75°，b

22、e ce，bc 2，be2，be21×26262.4sin 75°sin 30°62<ab<62.10.设 abc 的内角 a， b，c 所对的边分别为a， b， c，若 a 范围为 .，a3，则 b 32 c2的取值答案(3， 6解析由正弦定理，得abc 2，sin asin bsin cc)b 2sin b， c 2sin c， 所以 b2 c2 4(sin 2b sin22(1 cos 2b1 cos 2c)4 2cos 2b2 2cos 2( 3 b)43sin 2b cos 2b).4 2sin(2b 6，又 0 b23 7所以 2b ，66

23、6) 2.所以 1 2sin(2b6所以 3 b2 c2 6.tan a11.(2016 tan b . cos a山·东 )在 abc 中，角 a，b，c 的对边分别为a，b，c，已知 2(tan atan b) cos b(1) 证明： a b 2c；(2) 求 cos c 的最小值 .(1) 证明由题意知，2 sin a sin bsin asin b.cos acos bcos acos bcos acos b化简得 2(sin acos b sin bcos a) sin a sin b， 即 2sin( a b) sin a sin b，因为 ab c ，所以 sin(

24、a b) sin( c) sin c，从而 sin a sin b 2sin c，由正弦定理得a b 2c.a b(2) 解由(1) 知 c2，a2 b2 c2a2 b2 a b 22所以 cos c2ab2ab3 abb 8 a1 1， 42当且仅当a b 时，等号成立，.故 cos c 的最小值为 12cos acos bsin c12.(2016 四·川 )在 abc 中，角 a， b，c 所对的边分别是a， b， c，且abc.(1) 证明： sin asin b sin c；5(2) 若 b2 c2 a26bc，求 tan b.(1) 证明根据正弦定理，可设abck( k&

25、gt;0) ，sin asin bsin c则 a ksin a， bksin b， c ksin c.代入 cos acos b sin cabc中，有 cos a cos b sin c ，变形可得ksin aksin bksin csin asin b sin acos b cos asin b sin(a b).在 abc 中，由 ab c ， 有 sin(ab) sin( c) sin c.所以 sin asin b sin c.(2) 解2 c2 a2由已知， b，6bc 5根据余弦定理，有b2 c2 a23cos a2bc 5.5.所以 sin a1 cos2a 4由(1) ，知

26、 sin asin b sin acos b cos asin b，所以 4435sin b 5cos b 5sin b，故 tan b sin b 4.cos b合理分配高考数学答题时间高效复习找准目标，惜时高效合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习， 对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。临近高考，在短短不到50 天的时间里，怎样让成绩再上一个台阶？ 靠战术上的硬拼俨然很快就会碰到瓶颈，此刻， 同学们更需要的是战略上的调整，在实力一定的情况，科学地分配答题时间，是做一个成功的应试者必备的战略技巧。“我们每次考试的时候都做不完，尤其后面的两道大题都没有时间看。”常常听到同学们痛苦地抱怨。高考，作为一场选拔性考试，它必然存在一定的难度梯度。就我省的高 考数学卷而言，可以按“16/3/3原则” 将其分