高中数学《方程的根与函数的零点》教学设计

1、方程的根与函数的零点一、教材地位和作用本节课是普通高中实验教科书人教 A 版必修 1 第三章第一单元第一节，是后继学习二分法的理论准备。 学生通过了解函数零点与方程根的联系，从而把求方程根的问题转化为求函数零点的问题。作为函数应用的第一课时， 就是要让学生认识到函数与其他数学知识的联系，让学生用函数的图象这个“形”来研究方程的根这个“数”，深刻体会“以形助数”的思想方法二、学情分析（ 1）知识基础：学生已经熟练掌握一次、 二次方程的求解方法，掌握了一些基本初等函数图象的画法，并能从图象中获取一定信息，这是学习本节课的知识基础。（ 2）心理准备：公式法求解高次、超越方程的思维受挫是学生学习本节课

2、的内在动机。三、教学目标1、知识与技能：结合具体的二次函数图象，判断二次方程根的存在性，从而了解函数的零点与方程根的联系， 形成函数零点的概念及零点存在的判定方法。2、过程与方法：在应用函数研究方程的过程中，体会函数与方程思想，数形结合思想以及化归思想； 把从特殊函数零点存在的判定方法上升到一般函数，体现了从特殊到一般的研究方法。3、情感态度价值观：在求解方程根的“山穷水尽”，到研究函数零点的“柳暗花明，”学生了解数学的发展史，感受探究的乐趣。四、教学重点、难点与关键（ 1）重点：零点存在定理的发现。（ 2）难点：零点存在定理的发现与准确理解。（ 3）关键：引导学生运用函数的观点研究方程的根。

3、五、教法与学法（一）教法设计：本节课借鉴发现教学法，强调教师学生双主体，采用“创设问题情景师生共同探究形成概念结论应用巩固提高”的探究模式，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力（二）学法指导：让学生在自主探究中， 学会发现问题并解决问题， 逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。六、教学过程教学教学内容过程1、 问题一：（1）解方程2x3 0；（2）解方程2x210 x50创（ 3）你能求方程 ln x2x6 0 的设根吗？情境师生互动学生思考 方程（ 3）时，遇到障碍，思路受阻理论依据及设计意图发现教学法强调教师创设问题情境，造成学生强烈的问题意识，激发学生学习的动机。通过三个问题引

4、起认知冲突，寻找到本节课的知识生长点。2、史料分析，引导新法：揭一次、二次方程，很容易求解，对于三次、四次方程，在16 世纪，示数学家也找到了求根式解的一般解课法，但直到 19 世纪，阿贝尔、伽罗题瓦等数学家才发现，其实高于四次以及含有指数对数形式的方程，没有根式解法，因此对于方程（3）我们必须另辟蹊径教学中融入数学史，激发学生的学习兴趣数学史引导我们同化不行，则要顺应3、问题二：对方程 2x210x50 ，你能说出方程的根与对应二次函数图象的关系吗？4、问题三：一般地，一元二次方程 ax 2 bx c 0 的 根 与 二 次 函 数y ax2 bx c 的图 象有什 么关系呢？y4321-2

5、-101234x-1-21、函数零点的定义：互对 于 函 数 yf ( x) ， 把 使动f ( x) 0 的实数 x 叫做函数 y f ( x)学生给出答案后，教师总结要点：方程 2x210x50的根函数 y 2x2 10x 5中函数值为 0的自变量 x的值 .函数 y 2x2 10x 5的图象与 x轴交点的横坐标学生易得：方程 ax2bxc0的根y ax2 bx c的函数值为 0时自变量 x的值函数 y ax bx c的图象与 x轴交点的横坐标师生结合二次函数图象说出方程根的个数和图象与 x 轴交点个数的关系教师指出：函数值为 0 时的自变量 x 值起到了联结方程与函数的作用，这个数称之为

6、函数的零点教师叙述并板书定义以全新角度审视二次方程，有助于学生形成函数的意识，有利于培养学生思维的发散性与灵活性，为后面利用函数图象探究零点存在性作了铺垫从特殊到一般，学生体验得到升华让学生加深对函数零点定义的感知交的零点。流2、深化概念：0加深对函数零点零点不是点，是函数值为教师设置问题时自变量 x 的值，是函数图象与x学生主动思考，积概念的理解轴交点的横坐标极回答方程 f (x) 0 有实数根研y f ( x) 图象与 x 轴有交点函数 yf (x) 有零点；讨零点作用：可以通过函数零点间接研究方程的根新 3、探 究：已知函数 y=f(x) 的图象：知 (1)函数有无零点，在什么区间？(2

7、)你是如何确定零点所在区间的？(3)能否找到判断函数 y=f(x) 在区间(a,b)上有零点的一般方法？（ 1）的解答：发现教学法强调学生一般会说区间直觉思维，充分利用直(3,4),(1,0) ，教师引觉思维提出各种有益导观察区间 (2,4)，(1,4) 零点情况，为第于问题解决的可能性（ 3）问做铺垫让学生在思考、操（ 2）的解答：作中体会用函数图象学生发表观点，教分析函数零点存在的师引导，先以区间过程，直观感知零点存(3, 4) 为例，教师板书在定理中的条件与结结果。论， 突出本节课的重教师进一步引导学生就区间点，突破了难点(1,0),(1,4)，(2, 1), (1,2) 进行 类似研究

8、，一一板书结果为第（ 3）问进一步做铺垫，。y平移2C4x4、零点存在判定定理：如果函数 f ( x) 在 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f (a) f (b) 0 ，那么 y f (x) 在区间 (a, b) 内 一 定 有 零 点 ， 即 存 在c ( a, b) 使 f (c) 0,这个 c ，也就是方程 f (x)0 的根。（ 3）的解答：分析（ 2）的结果，学生尝试表达结论： 若f (a)f (b)0, 则 f ( x)在 (a, b) 内有零点。教师提问：结论对本题函数成立，其它函数呢？给学生留有一定的时间，学生可能会1举出反例，如y在x(1， 1)上无零点，想不出也

9、没关系，教师对探究题的图象进行截断向上平移处理，从而得到反例。使学生发现我们的结论是有纰漏的，应该增加条件： 函数图象连续。学生说，教师组织准确表达判定零语言，表述定理点存在的条件与结论，进一步突破本节课的难点5、问题探究 ，深化理解：问题一：零点存在判定定理中结论是“有零点”，那么有几个？问题二：若函数f ( x)在( a, b) 上的图象是连续不断的一条曲线，f (a)f (b)0 ，那么 f ( x)在( a, b) 上存在零点，反之成立吗？问题三：考虑函数y2x3，yx3 , ylg x 的图象，它们的单调性对函数零点个数有影响吗？应例 1用求函数 f ( x)ln x 2x 6 的零

10、举例点个数。发展思维1、课本 88 页练习题 1、（1）（3）巩 2、课本 88 页练习题 2、（4）固训练深化提高归纳请回顾本节课学了哪些内容？梳理主要数学思想又有哪些？你还有哪整些收获？体升华激发学生思考与完善对定理的认提问，对于提出的问题，教师请学生发表看识，培养学生学习主动法，或画图说明。对问题一，学生随性和创造性，通过设问手画图，很可能出现有奇数个这个观点，教师质疑让学生进一步全抓好这个点，反问并让学生进一步举例 ，面深入地领悟定理的问题二给出利用定理探求零点存在的内容。局限性：即用零点存在判定定理，并不能求出所有的零点问题三说明函数性质特别是单调性， 对确定零点个数有重要作用教师引

11、导学生回让学生体会利用函数零点存在性定理到引例中的方程（3），探寻零点的过程，发现教师用零点知识调整零点所在区间结果表问法，出示例 1。达不唯一，为下一节二分法求方程的近似解奠定基础练习 1 的（3）：要启发学生将“ =”右边的项移至左边，也可将“ =”左右两边的代数式分别设为函数，画两个函数图象求交点2、先让学生大致描点，然后用计算机给出图象。学生思考回答通过小结，进一步完善教师总结学生的认知结构，从知识与技能、过程与方法、情感三个方面回扣教学目标。必做作业：（1）课本 88 页练习 2、（1）（4），布置课本 92 页：2作业（2）了解数学史：研读课本选修3-1课第七讲千古谜题伽罗瓦的解答堂选做作业：延伸你会用哪些方法探究方程ex 12x 3 的实根或其所在的大致区间。分必做和选做，体现了作业的选择性，让不同的学生学习不同的数学，进一步体现新教材、新课程的理念，给学有余