抛物线上的张角问题

1、P1我们说，在平面上，已知两个定点 A、 B，点 P 为平面上一点，从点 P 处观测 A、 B 两点所成的角叫张角AB2若线段 AB 为定长的线段，点PC 为线段 AB 所在的直线外一点，连接 AC， BC，我们称 ACB 为线段 AB 的张角 AB 叫做张角 ACB 所对的张边AB一、问题的提出：y=f(x)1问题的提出：P在平面直角坐标系中，已知A、B 两定点，求具有某种属性的点P(如 P 在某函数图象上，又或点P 的坐标具有某种关系 )，使 APB 等于已知角 BAy= f(x)2问题解决的方法与步骤：下面以点P 在某函数 y f(x)的图象上为例来说明特别的，当AB 与坐标轴平行时，可

2、构造斜射影相似来解决(1) 以 AB x 轴为例来说明在射线 AB 上取点 D，使 CDPC，则 ADP APBtan则 APD ABP ，则 PA2AB AD设 P(m， f(m)，所以 C(m， yA )2所以 (m xA ) f (m)解方程可求出m 的值， P 点可求(2) 若点线段 AB 与 x 轴不平行时怎么办？可以采用以下方法：方法：过张角的顶点作坐标轴的平行线，构造一线三等角y=f(x)ECPDFPACBDyA 2( xB xA )( xD xA )y=f(x)PBAlAFDB ECl图( 1)图(2)如图：过点P 作 l x 轴，再分别由A ， B 向 l 引垂线，垂足为C，

3、 D，在 DC 延长线上取点E，使CEACBD，则 AEP BFP APB， 在 CD 延长线上取点 F ，使 DFtantan可证 AEP PFB 则 PEAE所以 PE PFAE BFBFPF设 P(m， f(m)，则 PE，PF ，与 AE 、BF 均可用含 m 的代数式表示，则方程可解，点P 的坐标可解3对问题的解决提出质疑：以上问题可以过点 P 作 x 轴或 y 轴的平行线 l，根据一线三等角创造相似三角形来解决，依然设 P(m，f(m) ，所以 C(m， yA )，所以 ( mxA ) 2 f (m) yA 2(xBxA )( xD xA ) ，解方程可求出m 的值， P 点可求P

4、但当 y f(x)为二次函数或反比例函数时，那么最后所得的方程均为一元高次方程!4抛物线上的张角问题在平面直角坐标系中，已知A、B 为抛物线 y f(x)上的两定点B点 P 在 y f(x)的图象上，若 APB 等于已知角 ，求点P 的坐标A显然，如果按照前面的做法去解决，结果会是高次方程，显然不行，因此，我们要寻找其它适合初中数学教学要求的方法为解决此问题，我们首先要掌握以下几个问题二、问题准备1 解直角三角形的张角对张边的问题我们都知道，在解三角形的问题中，如果给出三角形的三个要素(不全是角 )三角形即可解，但是有些条件的给出 (初等方法可解)，如果方法不当解起来就很困难，这里我们仅条件集

5、中在三角形中一个角、这个角所对的边，这个角所对的边上的高解三角形进行研究，我们把此类问题称之为解三角形中的“角对张边问题”如图，在 ABC 中， BAC， AD BC，垂足为D，设 BD a， CD b，求高 AD AAAABDCBDCB如图，在锐角ABC 中， AD BC，垂足为D ， BAC 45°，若 BD3， CD 2求 AD 的长思考一根据图形变换，转换特殊模型解法 1：把 ABD 沿 AB 翻折得到 ABE，把 ACD 沿 AC 翻折得到 ACF ABE ABD ； ACF ACD AE AD AF，BE BD 3， CF CD 2 E F 90°， BAE B

6、AD ， CAF CAD， EAF 2 BAC 90°，延长 EB， FC 相交于 G，则四边形 AEGF 为正方形 设 AD x，则 BGx 3， CG x 2在 RtBCG 中，由勾股定理可得：( x3)2( x2) 252CDBDCAxxEx3F2B 3D2Cx-3x-2G x25x60 ，解得： x 6 或 x 1( 舍去 ) ， AD 6A解法 2：以 AD 为边作正方形ADEF ，过点 A 作 AG AB，交 EF 于 G， AGF ABD， BD GF 2， AG AB BAC 45°， GAC BAC，又 AC AC ACG ACB，CG BC 5设 ADx

7、，则 EG x3， CE x 2，在 Rt CEG 中，由勾股定理得： (x 3)2( x 2) 252BDC x25x 6 0 ，解得： x 6 或 x 1( 舍去 ) ， AD 6解法 3：在射线 DB 上取点 E，使 DE AD，在射线 DC 上取点 F，A使 DF AD 则 AE AF， AEF AFE 45°， EAF 90°，把 AEB 绕点 A 旋转，使 AE 于 AF 重合，得到 AFG， AFG AEB， FG EB， AG AB， AFG E 45°， GAF BAE， BAC EAF 90°，又 BAC 45°， GAC

8、BAC， ACG ACB， CGBC 5，设 ADx，则 FG x3， CF x 245°在 RtCED 中，由勾股定理得： (x 3)2( x 2) 252EBDC x25x 6 0 ，解得： x 6 或 x 1( 舍去 ) ， AD 6A思考二：构造一线三等角(M 型)解法 5：在 BC 的延长线上取点 E，使 CE AD，过点 E 作 EF CE，使 EF CD，连接 AF， CEF ADC ， AC FC， CAF 45°， BAC 45°， BAF 90°，连接 BF ，由勾股定理可得：AB2AF 2BF2 ，BE 2EF 2BF 2 ， AB

9、2AF 2BE2EF2，BDC设 ADx，则 BE x 5， ( x232 ) 2( x222 ) ( x 5)222A x25x 60 ，解得： x 6 或 x 1( 舍去 ) ， AD 6解法 7：过点 B 作 BE AB，交 AC 的延长线于 E，过点 E作 EF BC，垂足为 F，由上题可证 EBF BAD EF BD 3， SV ABESV ABCSV EBC ，FGEG45°FFE 1AB21 ADBC1EF BC，222设 ADx， x2325( x 3) x25x 6 0 ，解得： x 6 或 x 1( 舍去 ) ， AD6解法 8：过点 A 作 BC 的平行线，由

10、B，C 向该平行线引垂线，垂足为 E， F则 BE ADCF ，AE BD 3， AF CD 2在 AE 的延长线上截取EG BE，在 AF 的延长线上截取GFN CF BG CN2AD ， G N 45°，BDCFEEAFN G BAC N， AGB CNA ， AGBG ，AG AN BG CN,CNAN设 ADx，则 BG CN2x ，AG x3， AN x 2， x2 (x 3)(x 2) ( 2x)25x 6 0 ，BDC解得： x 6 或 x 1( 舍去 ) ， AD 6思考三：把AD 看作是绕 A 旋转的直线，构造旋转相似解法 12在射线DC 上截取 DE AD ，连接

11、 AE，延长 AD 到 F，使 DF BD 3 BF 3 2 ， F E 45°，又 BAF CAE，A BAF CAE， AFBF ， AF· CE BF· AE，AECE设 ADx，则 AE 2x ， AF x 3，CE x 2， ( x 3)(x 2) 3 22x ， x25x 60 ，B解得： x 6 或 x 1( 舍去 ) ， AD 6思考四：利用三角形外接圆：解法 13：作 ABC 的外接圆 O，连接 OA，OB， OC过点 O 作 OE BC，垂足为E OAOB OC， BOC 2BAC 90°1552， DE1OEBC， OAOB2222

12、过点 O 作 OFAD，垂足为 F， DE1 ，DF5,722由勾股定理可得：， AD6AF2思考六：构造斜射影相似解法 15在射线DC 上截取 DE AD ，连接 AE E 45° BAC，又 ABE CBA， ABE CBA， ABBE AB2BC BEBCAB设 ADx，则 BE x 3， x2325( x 3) B x25x 6 0 ，解得： x 6 或 x 1( 舍去 ) ， AD 6二、抛物线上的张角问题在平面直角坐标系中，已知A、 B 是抛物线 yf( x) 上的两定点，点于已知角 ，求点 P 的坐标DCEFAOFBE DCADCEP 在 y f( x) 的图象上，若A

13、PB 等方法与步骤：第一步；过已知点A 作 y 轴的平行线，与直线BP 相交于点C，构造“于涵定理” 根据“于涵定理”指引我们可求出PD 的值ACCDP第二步：解张角三角形，求出PAC 的函数值在 PAC 中， APC 已知 ( APB 已知 ) PD 的值已知，根据AC斜射影可求出PD 、 CD 、 AD 的比，进而求出PAC 的函数值第三步：利用PAC 的函数值求出点的坐标2 二次函数中的“于涵定理”(一 )如何使“于涵定理”合法化第一：当直线AB 平行于 x 轴时，设二次函数为 ya( xh) 2k ，则 P(x， a(x h)2k )设 A(m， a(mh)2k ) ，利用对称轴可得： B(2h m， a( x h)2EBAPk ) ，ACBPCa(xh)2k a(mh)2k aAD BE(xm)(2hm x)第二：当直线AB 与二次函数的一个交点已知时，设A(m， n)在二次函数为y ax2bxc 的图象上，过点A 的直线交二次P函数于另一点B，则直线 AB 为 yk( xm)n ，BE二次函数为 ya( x22b(xm)nCm )AambkD则 ( x m)( axambk )0 ， xa