多采样率线性离散时间广义系统的最优预见控制

1、1.1.1最优预见控制器的设计通过上面的讨论，我们得到了广义扩大误差系统的性质，下面给出本章 一个重要的定理：(3.34)定理3.11:若系统(3.16)是能稳、能检测以及因果能控和因果能观的，且 满足(a3.1), (a3.3)以及(a3.4)的假设条件，则扩大误差系统(3.32)的使性能指 标函数(3.33)达到极小的最优调节器存在，是状态反馈形式，且由下式 确定“=肋所涉及到的有关矩阵如下：证明：事实上，若系统(3.32)是正则的，且满足能稳性、因果能控性和因 果能观性条件，并且能检测，这里的结论就是成立的.而定理3.7 到定理3.10说明，系统(3.32)的这些条件都是满足的，然后利用

2、定理3.6,就得 到本定理的结论.证毕.利用3.2.4节中的处理方法，进一步注意到/?()x对(3.34)式中的增益矩阵么q进行分块:乓。=久(0)厂ui瓦|巧则aw(幻可写为a/?緯)=巧frmr-i)fefxr(k + mr-)4幻ara/«-l=z厂山庠尺什+力+厂，y=o将(3.35)式中的变为-1并利用当o1时有“(一 1)+ i fr(j)ar(k + y-l) + f(/:-l) + fxar(-l) (3.36)y=o艽中的各系数矩阵可以确定，初始值i(0), «(0)，0)可任意赋值.(3.36)式就是本章所设计的原系统(3.16)的带有预见前馈补偿的最优

3、预见 控制器.至此，我们己得到本章最重要的定理：定理3.12:对于线性离散时间广义系统(3.16)，若满足能稳、能检测以及 因果能控和因果能观的条件，且满足(a3.1)，(a3.3)以及(a3.4)的假设条件， 则它的最优预见控制器为w() = w(众-1)+ 2 fr (y)+ j-1) +以(-1) +cax(-1)7=0注意，上式中+就是目标值预见作用.7=0其屮的各系数矩阵可以确定，初始值w(0) w可任意赋值.这就是本章对于系统(3.16)所求得带有预见前馈补偿的最优预见控制器, 下面用一个数值算例说明此控制器的有效性.通过比较采用预见控制和不采用预见控制两种情形下的跟踪曲线和相应

4、的误差曲线，可以发现，当采用预见控制吋，大大减小了超调量，并能迅速达 到稳定状态.1.2本章小结本章针对线性离散吋间广义因果系统和非因果系统分别设计了最优预见 控制器.在研究非因果系统时，由系统的因果能控性通过预反馈的方法得到 了广义因果闭环系统.在此基础上，巧妙地将广义系统的最优控制问题转化 为正常系统的最优控制问题.再利用最优调节理论，得到了带有预见前馈补 偿的最优预见控制器.数值算例说明了本章方法的有效性.2具有状态时滞线性离散时间广义系统的最优预见控制2.1引言文献|27|研究了一类带奋状态吋滞系统的最优预见控制器，在此理论的 基础上，文献29又将该理论推广到时变系统.本章研宄带有状态

5、时滞的线 性离散时间广义系统的最优预见控制问题.首先利用提升技术，把问题转化 为普通无时滞离散时间广义系统.然后利用文献109提出的构造广义误差系 统的方法，构造出包含误差向量为状态向量一部分的广义误差系统，这样， 原跟踪问题就转化为调节问题.再采用预见控制理论屮的常用方法，把可预 见的目标值信号的差分也加入状态向量，得到进一步的广义误差系统.这样， 问题就转化为研究一个普通的广义系统调节问题了.在系统为因果能控和因 果能观的条件下，应用最优控制方法，给出了扩大误差系统的最优调节器. 由此冋到原系统，得到原系统的带冇预见前馈补偿的最优预见控制器.本章结构如下：第1节是引言.第2节给出问题描述及

6、基本假设.这一节 给出系统的模型及在研究过程中所用到的基本假设，并指出本章的目的.第 3节给出广义扩大误差系统的推导过程.第4节则是广义扩大误差系统性质 的数学证明.在给定的基本假设丁，严格证明所得到的广义扩大误差系统的 正则性、能稳性、因果能控性和因果能观性.第5节利用最优控制方法给出 带有预见作用的最优预见控制器的设计过程和结果.第6节是数值算例，通 过一个例子来说明木章所设计的控制器的有效性.第7节是简短的结论.2.2问题的描述与基本假设考虑如下具有状态时滞的、正则的线性离散时间广义系统：+ 1) =+ buk)ykcxk)其中是状态向量，w(幻e /t是输入向量，y(k)e 是输出向量

7、， £，人砟，5是具有适当维数的常数矩阵，d0是系统的状态时滞，取 整数.£为奇异矩阵，满足.为了方便，我们冏吋考虑无吋滞、正则广义系统：(4.2)+ 1) = axk + buk)cx(k)为了研究系统(4.1)最优预见控制器设计，需要给出以k基本假设: 假设 4.1 (a4.1):存在义关(u 关 1，使得 dety a - a,弇 0.假设 4.2(a4.2):当 |a|21 时，矩阵/t+1£-/-a b行满秩.假设4.3(a4.3):矩阵e-a-a, b c 0行满秩.假设4.4(a4.4):对任一满足的复数a，矩阵满秩.假设4.5(a4.5):系统(4

8、.2)是因果能控的，即ad+1£-ada-alcrank£00a e bn + f.ank(e)假设4.6(a4.6):系统(4.2)是因果能观的，即rankn + rank(e)a：当状态时滞t/=o,即系统不含状态时滞时，系统(4.i)的第一个方程 成为+在这种情况下，(a4.1)中的不等式成为deta£-(a + a )0,这就是通常广义系统正则性的加强条件h091.类似地，系统不含状态时滞时，(a4.2)和(a4.4)分别是通常广义系统的能稳定性与能检 测性条件，(a4.3)是通常广义系统能稳定性的加强条件mq1.另外，(a4.5)和 (a4.6)分别是广

9、义系统(4.2)的因果能控和因果能观性条件.这说明这些假设 条件是合理的.木章中假设(a3.4)同样成立，系统的误差向量eot)定义为(3.5).木章的目的是针对系统(4.1)，设计一个带有预见前馈补偿的最优预见控 制器，使系统的输出m岣能够跟踪0标信号即lim e( k ) =()=()定义二次型性能指标函数为(3.29).2.3广义扩大误差系统的推导2.3.1时滞的消除对于带有状态时滞的线性离散吋间广义系统(4.1)，在构造广义扩大误差 系统时，先将系统(4.1)利用离散提升技术，转化为一个形式上无时滞的系统. 在系统(4.1)的状态方程两边分别取差分(axu) = x + l)-xu)，

10、得£ax( + l) = y4ax() + i41ar(z:-d) + baw()(4.3)为丫消"除时滞，我们把xk-dyxk-d+ 1)，,1)也加入到系 统的状态向量中，也就是把(4.3)式与若干个恒等式ar(u + /) = ar(u + /)(z. = o，l，."，d-l)联立得到一个形式系统.奴=+ ga “(4.4)注意到系统(4.4)已经在形式上不存在状态时滞.2.3.2广义扩大误差系统的构造然后利用3.2.2节中的方法，把跟踪误差4()和可预见的目标信号的差分 加到状态向量中，得到er0xrq 0 +1) = rqxr()(k、+ gxk)(4

11、.5)其中(4.5)式己经具有以下特点：形式上没有时滞，跟踪误差是状态向量的一 部分，包含可预见的0标信号信息.进一步，从系统(4.1)的观测方程知，对于系统(4.5)，应将观测方程取为 w = cxx =c0x0 =(4.6)其中 cx=0 0 c,co=o cj, qo=o co.将(4.5)式与(4.6)式结合起来，就得到所需要的广义扩人误差系统ro-ro (众 + 1) =rq (众)+ g/?。“ (众)(47)j酵卜v肋下面将给出广义扩大误差系统(4.7)所具有性质的严格的数学证明.2.4广义扩大误差系统性质的数学证明对广义扩大误差系统(4.7)的性质，分为几个定理来叙述.定理4.

12、1:若(a4.1)成立，则广义扩大误差系统(4.7)是正则的.证明：只需证明存在又，使得det/t£r()-o即>0.取(a4.1)屮的乂，注意到矩阵的结构，得到所以(a4.1)成立时，存在2关0，a弇1，使得detf/le。一a>r。关0,即系统(4.7)是 正则的.证毕.定理4.2:广义扩大误差系统(4.7)能稳的充要条件是(a4.2)与(a4.3)mj时 成立.证明：按照pbh判别法22,57,广义扩大误差系统(4.7)能稳的充要条件是 对任一满足|a>1的复数2,矩阵g。行满秩.所以我们只须验 证这一条件满足即可.注意到冇关矩阵的结构冇rank 又 e如-&

13、lt;1)0 gr() = rank0g()_几nmk - argpr醒 k-ar)+rank- go二 mm r + rank-c o' 0 ae-o g(4.8)以上推导反过来也对.综上所述，定理4.2证毕.定理4.3:若(a4.5)成立，则广义扩大误差系统(4.7)是因果能控的.可以按照因果能控的充要条件，验证当(a4.5)成立时有rankxo 00erq grqmm r 4- m 4- z? j 4- n + rank (er)从而本定理成立.但我们不计划这么做，因为在下一节我们需要给出系统 (4.7)的因果分解.得到因果分解后，就知本定理成立.定理4.4:若(a4.6)成立，

14、则广义扩大误差系统(4.7)是因果能观的.证明：按照因果能观的充要条件，注意到<()是(mm k + m + nd + zz )x( mm r + m + nd + /t)矩阵，只须验证ranker。/?0 0 ero0g()mm r + m + nd + n + rank (£尺0)注意到有关矩阵的结构，特别注意左=0 00'00 00拳0拳八參000 0e一方面有=2mm r +2m 4- 2nd + rank男一方而，注意到00 £()aznw n +m()0 emm rm+nd就得到rank (erq) = mmr 4- m 4- nd 4- rank

15、(e) 所以若(a4.6)成立，则有rank2mm r + 2m + 2nd + /i + rank (£)erq 屯 ro 0 eroo crqmm r + m + mt/ + zi + rank、er证毕.2.5最优预见控制器的设计现在转入研宄系统(4.1)的最优控制问题.把性能指标函数(3.29)变换成 用系统(4.7)的冇关量表示，得到形如(3.33)的性能指标函数.我们首先对扩大误差系统(4.7)重新分块，注意到(4.7)的第一式就是f01e亡小+ 1)ar (人-c/+l) ax (众-+ 2)參ax_a7(t;t 厂八a：! azla.a,! a1xm小)x(k-d)a

16、x(z:-j+ 1)參av(z:-l)ax0b(4.9)其中40000 - o'g。l000 00001”0 00000a： 000000i,00000 0_a,0 參參0.a八a2 =o-c00a, =o o a o o o对比(4.9)式与(4.2)的第一式，我们发现构造扩大误差系统除了取差分外 仅仅是扩大了正常系统部分的维数.因此，可以把(3.17)式两边取差分的结果“(/：) =尺人¥+ av作为(4.9)的输入.注意(/:)可以写为aw (a:) = kro(4.10)xmax(众-1)av其中尺/?()0i(mm r +/w+nj )xr 丨k.代人(4.9)得到

17、闭环系统/mm r+m-tulf匕'心(川)-_ xr(k) _小+1)ax(众-+ 1)八1八44x(k-d)ax (众-</ + 2)11 12 八1axk-d + l)參參j a + bk參參axax(众- 1)ax(众 +1)ax+现在对(4.11)进行因果分解.考虑到(3.18)的因果分解过程，令! 0mmnd! 0"0ip2mm r0p其中(214与(3.19)式中的同名量相同.若令心；|，2意到 i onum r 4-|mm rm+nd01-一e2/sa, i a + bkf八a,qai2,(a + b/c)0bm.k+m+nd! 0_i0000! 00八

18、1aza. !a21a 221211 :1a2a,2 !a.av(4.19)，注"o'"0""0 "一yb11-1-b2ft其中0-c00參0a211 =m,a21 =0 0 a/, 0 0作变量替换a21 = a2c1122 _ 1220-c200番0-仏o,a,p =m-,a1 = o 0 m，0 0-0p2xmex(k-d)xk-d + l)ax(众-1)axe、k)av(/c-j)axk-d + l)參zkv(-1)aa、 ax2 k小)x、k-d、ax (- f/ + 1)ar(-1)a%,(z：yax2代人(4.11)式，同

19、时两边左乘!2,得到aww+zw+zk/11丄0001110011100xk-d + 1) ax(z:-j + 2)ax ax, k +1) ax2 ( + 1)a, 4丨八a 22八 111 !1a,a2212 !a,a”ax(k-d)ax (k d +1)ax(_l)a%,(z：y ma将上述各式代入(4.11 )式并结合(3.19)式将结果重新分块，得(4.12)利用分块矩阵的乘法，我们可以将(4.12)式简写为+ + (43) 0 = a,%, () +a22i2 (z:) + b2av(z:)其中，各分块矩阵分别对应记为足4)，人2,4，或.由于己知是可逆的， 所以(4.13)式是因

20、果系统.这一结论同时就给出了上节定理4.3的证明.作为准备，我们还需要一个定理.定理4.5:若(a4.4)成立，则能检测.证明：按照pbh判别法，只须验证对任一满足|a>1的复数a，矩阵q,/2列满秩.推导如下.当2 时最后一步用到了假设(a4.4).证毕.现在可以得到本章的主耍定理了.注意到，从形式上看，系统(4.7)与系 统(4.2)具冇完全相同的形式，变换后的系统(4.13)与(3.20)冇完全相同的形式， 所以利用定理3.6得到：定理4.6:如果(a4.1)至(a4.6)成立，则扩大误差系统(4.7)的使性能指标 函数(3.33)达到极小的最优状态调节器aw存在，且由下式确定其屮

21、frorg其中戶是代数riccati方程八 qn *八b't pa、八八八八 i 八 丁p = q + a17pai-a17pbit + bxrpb,的对称半正定解.所涉及到的旮关矩阵如下:t£1八h10-l 1-a22a2i:-0 !1frp,krqp!1q = q-ht",h/ ,b,，nma卞 八b/pa,£1a12a2>2)top2-p2krqp)a =1证明：事实上，按照定理3.6,只要系统(4.7)是正则的，ii满足能稳性、因 果能控性和因果能观性条件，并且能检测，这里的结论就是成立的.而定理4.1到定理4.5说明，如果(a4.1)至(a

22、4.6)都成立，系统(4.7)的这些 条件都是满足的.证毕.最后，我们回到系统(4.1).对增益矩阵/()进行分块，得 “=么人5(i)ax(k-d)a.v(z:-j + l)_ ar(k)=心(1)以2)尽尽fv(6/ + 1)mrd + 17=17=1(4.14)再将(4.14)式中的时刻/:变为卜1，并利用= 4有：当 m时n(_l) = w(z:)_w(_l)mrt/+l=£ 心 a/?(4j-2) + (/c -1) +刃 av( + j-d-2);=|;=1即mrj+1u(k)=u(k-l)+fr(j)r(k + j-2) + fee(k-l)faj)x(kj-d-2)y

23、=iy=i(4.15)(4.15)式就是本章所设计的原系统(4.1)的带有预见前馈补偿的最优预见 控制器.至此，我们已得到如k定理：定理4.7:对于带冇状态吋滞的线性离散吋间广义系统(4.1)，若满足相应 的假设条件(a4.1)-(a4.6)，则它的带有预见前馈补偿的最优预见控制器为rd+m()=“(-i)+jjy)a/?(/：+j2)+f>(n)+2f4y)a¥(+y-6?-2)7=17=1注意，上式屮艺仏a/?0+y-2)就是目标值预见作用.>=|通过比较图4.3和图4.4,可以发现当采用预见控制时，人人减小了超调 量，并能迅速的达到稳定状态.2.6本章小结本章研究y

24、带有状态时滞的线性离散时间广义系统的最优预见控制问题. 首先针对原系统，利用离散提升方法，在形式上消除了状态时滞；然后利用 一阶前向差分算子作用于系统方程两边、误差向量和可预见的目标值信号上， 得到了广义扩大误差系统，将原系统的跟踪问题转化为广义扩大误差系统的 最优调节问题.对广义扩大误差系统的性质给出了严格的数学证明.进而利 用广义系统最优调节理论，得到了原系统带有预见作用的最优预见调节器， 同时严格证明了在基本假设条件下这种最优调节器的存在性.最后的数值仿真说明本章结果的有效性.3多采样率线性离散时间广义系统的最优预见控制3.1引目在第三章，我们研究了线性离散吋间广义系统的最优预见控制问题

25、，分 别对因果系统和非因果系统进行了讨论，得到了有意义的结果.本章我们将 多采样率加入到系统当中，同样分别对因果系统和非因果系统进行研究，这 是因为以往的多采样率系统的研宂基本上都是针对正常系统而言的.本章的结构如下：第1节是引言；第2节是针对因果系统的研究；第3节 是针对非因果系统的研宄；第4节是本章的小结.3.2因果系统3.2.1问题的描述与准备(5.1)考虑如下止则的线性离散时间广义因果系统 £x(/: + l) =bu(k)<y(k) = cxk)其屮x(幻e rn，u(k)e ry(k)e /?"'分别是系统的状态向量，控制输入向量和 输出向量.&#

26、163;，a，fi，c是具有相应维数的常数矩阵.£是奇异矩阵，满足rank、e) = q<n.按照矩阵理论，任何矩阵都可以通过初等变换化为标准形.因此，存在 非奇异矩阵使得2 .利用这个变换，对于系统(5.1)，令rx2(k)e rnqqap =a2a2qb = bi b2 i cp = c, c2(5.2)则系统(5.1)受限等价于(5.3)x,(女 + 1) = auxx + /l12x2 + 咖 * 0 =+ a22x2 + b2w()yk) = c,xk) + c2x2k)由文献57，系统(5.3)(从而系统(5.1)为因果系统的充分必要条件是矩陈 a22 可逆易知 a

27、22=0 in_qqap °._ nq _注意，系统(5.1)和系统(5.3)有相同的能稳定性和能检测性.这是因为， 按照pbh判别法571,系统(5.1)能稳定的充要条件是对任一满足|2| 2 1的复数 arankze- a b = n （行1i1 茜秩）据此，利用(5.2)以及2和可逆和矩阵秩的性质立即得到ai a2 a? 122rankae- a b = rank qae-a b=rank aqep- qap qb = rank于是知系统(5.1)和系统(5.3)有相同的能稳定性.同样按照pbh判别法，系统(5.1)能检测的充要条件是对任一满足|/l|d的复数arank还是利用

28、(5.2)式并注意到ae-acrankae-ac谓/ii=az (列满秩).、p可逆得到q0rankah c2/ oi2a a2qe-apcp这说明系统(5.1)和系统(5.3)有相同的能检测性.本章只研究多采样率广义因果系统的最优预见控制器问题，因此假设人，可逆.为了方便，引入记号按照广义系统理论和预见控制理论的基本要求， 我们需要给出系统一些必要的假设：假设5.ka5.1):设系统(5.1)是能稳定的.假设5.2(a5.2):设系统(5.1)是能检测的.注：按照控制理论，能稳定和能检测性的假设是基本假设.假设5.3(a5.3):状态向量x(幻和输出向量y(岣仅在= /；v(/ = 0，l，

29、2,) 时能被测量，7v为正整数.假设5.4(a5.4):设h标值信号叫/0的可预见步数为胁。，即设在当前时 刻人，的当前值和步未来值/?，r(k+l)，k(k + 2), ，穴 +从为己知.步之后认为它是常数，即r(kj) = r(k + mr)j = mr + l9mrz- 这里a=s/v，s是非负整数.假设5.5(a5.5):设矩阵_av-/a或c,! q0 0!q參 蠢番番蠢ca,n-2:番0cxnxi w2尽cj屮(5.4)行满秩.(5.5)定义误差信号e(k)=y(k)-r(k)定义性能指标函数为卜如+ “(5.6)人=1其中，设权重矩阵满足a >0,/h >0.3.2

30、.2多采样率广义因果系统的离散提升按照(a5.3)，系统(5.3)是多采样率系统.按照多采样率系统的处理方法, 我们将对系统(5.3)进行离散提开，化为一个形式上简单的单采样率系统.由于己经假设矩阵人2是可逆的，所以由(5.3)式中第二式可以得到x2(/:) = -a22-,a21x,(z:)-a22-,s2£/(/:)(5.7)将(5.7)代入(5.3)中第一式得%, (/: + 1) = a,%, () +(5.8)其中 a, = a" - |222_，ai， bi =-al2a22b2.此时，线性离散时间广义因果系统(5.3)转化为一般正常系统(5.8).进而，可以按

31、照正常系统离散提升的方法11091进行处理.引入向量=rx2(i) = x2(in)e rnq, w(/) =首先，从(5.7)式可以得到x2 (z/v) = -a22_1 a2& (ztv)- ab2u(in)u、in)“(z7v + 1)u(in + n-2) u(in + n-l)u(in)w(zw+l)-a22-，a,x1(zw)-a2-,b20 0 0(5.9)u、in + n-2) w(zw+/v-i)2(c = -a22'la2l(c-£5(0(5.10)其中0 0 0.而且，利用文献109中已经得到的结果， (5.8)式被离散提升为%!(/ + !)=

32、+其中总荩s,.今利用(5.7)式，将(5.3)式中的观测方程变形为用(5.10)式中的状态向量和 输入向量来表示.首先注意夕=+ c2x2= c,x,+ c2 (-a,2_i a21x,-a22_ib2“)=c| c9a,9 1 a,i x| ( cja,9 1 b，u(k)=c,x,+ c2“(z:)其中反复利用(5.8)式，可以推出 y(in) = clxl(in) + c2u(in) y(in + l) = clxl(in+l) + c2u(in + l)= c1(aixi(zw) + s,w(zw) + c2h(zw+1)= cia1x1 (zw) +(ztv) + c2 w(zw

33、+ l)y (in + n _ 2) =广2x乂in) + 5人卜3(in) + + & 耳u (in + n _3) + c2u (in + n _ 2)，(，w+/v_i) = qv、i(，w)+c1vl2“('w)+-+ci“(，w+/v_2)+c2“(，w + /v_i) 上述各式可以合写为y(zw)y('.n + l)會c,咖)+y(/n + n-2) y(in+/v-1)c,a-2g0cac20 0w(ztv)00w(/w + l)c20w(/w + 7v-2)c2_u、in + n(5.11)若再记y(zw)y(z7v + l)刑=:y、in + n-2)

34、 y(in + n-l)丨-a-二-c -.a-.a 1c -ci i，c2 =c20c,bjc，參cxa,n2b,c2ca那么，(5.11)式可以简写为(5.12)综上，多采样率离散时间广义因果系统(5.3)己经被离散提升为形式上没 有多采样率特点的系统，将(5.10)式和(5.12)式合写为(5.13)%,(/+1) = 41(0+(0外) = &(/)+“(/)至此，我们已经成功将多采样率广义因果系统(5.3)提升形式上的单采样 率系统(5.13).3.2.3误差系统的推导为了进行预见控制器的设计，我们需要按照预见控制理论的通常做法， 把误差信号和可预见的s标值信息加入状态向量中

35、.我们采用一阶前向差分 算子a:ax z) = x(/+ 1)-%(/)首先，构造向量郎)r(in)/?('7v+1)春(5.14)于是得到变化后的误差向量_ y(in)-/?(z7v)-e(in)y(z7v+l)/?(zw+l)e(zw+l)參y(zw + 2v-2)r、in + n-2)e(zw + 7v-2)y(in + n-l)一 r(in 十 n-)一 e、in + n-l)r(in + n - 2) r(in + n-l)e(i)=y(i)-r(i) =(5.15)利用(5.12)式，得到(，) = $ 禾(/)-(，) + <?>(，)用a作用在(5.16)式

36、两边，注意汉f) = e(/+l)-e(z)得到 e(z+l) = (z)4-c1ar1(z)-a(z*) + c2aw(z)再用a作用在(5.10)式两边，得到ax,(/+l) = a,nax + 戽a/j把(5.17)、(5.18)联立得到(5.16)(5.17)(5.18)e(z+l)' arz+l)/ c, 0咐)ax, (/)-i0a(z) +b、aw(z)(5.19)对比(5.1)式，观测量应取为得到，于是记xo(/) =eu)缽b'-i0，/ o就有(5.20)xo( z+l) = 0>x()( /) + ga/i( /) + gka(z) e(z)= c0

37、x0(z)这就是我们需要的扩大误差系统，这是一个正常系统.注意对于误差系 统(5.20)，可预见的目标信号a办7)，即在任意时刻z，織i)，a(f+1)，a及u + s-1)为己知，并有a/?u + /) = o (/ = s，s + 1，)3.2.4误差系统的最优预见控制器的设计现在回到最优控制问题上来.(5.6)式所示的性能指标函数可以用(5.20)式 的相关向量表示为a=1oo yv-i/=! y=0oo= er(z)ee(z) + az7r(/)hau(/)'=1(5.21)其中，q = diag( qe qe . qe)0，h=diag(hu hu hj0.llj/v个w个r

38、nmxn,q>0, he rnrxnr,h>q.现在，问题成为了一个正常系统的最优控制问题.注意(5.21)式可以化为ooj=x'=1_ v (，)奴 w)+，(收轉)(5.22)其屮6=q o " o.由文献112, 113的结论，我们立即得到：定理5.l如果能稳定，(0,/2能检测，则使(5.22)式所表示的性能指标函数j取最小值的系统(5.20)的最优预见控制器为5-1峨 i) = kx0(i) + lfr(l)自+ 1)1=0(5.23)其中k = -h + gtpg'xgtp(5.24)fr(1) = -h + gtpg-1 grd pgr(/

39、= 0，1，s-l)(5.25) = gk = >-g h-gtpg-gtp(5.26)这里p是代数riccati方程p = 0rpo>-<dfpg/ + gtpg _,gfp0 + (2(5.27)的对称半正定解.3.2.5误差系统性质的讨论现在来研究保证能稳定和(。1/2 能检测的条件，实际上就是研究误差系统(5.20)的性质.分为若干个定理来叙述.先看g)的能稳定性.(5.28)定理5.2: (0)g)能稳定的充分必要条件是或)能稳定j1c| c2行满秩.注意到o和g的结构，仿照文献113中引理la的证明可以证明本定理, 这里从略.另外注意，(5.28)中的矩阵等于(a

40、5.5)中的屮.定理5.3:(v b,)能稳定的充要条件是(a5.1)成立.证明：注意到广1吞及吞荩，文献川9已经证明(x/v或)能稳定的充要条件是(a, )能稳定.再注意到a=al-a222_，a耳=孕-心vb2,利用a2的可逆性和初等变换不改 变矩阵的秩的性质得到，对任何复数/i，如果1，矩阵a19b'b,行满秩的充耍条件是矩阵/-(屯-/-%,)行满秩.这就是说，(a"或)能稳定的充要条件是系统(5.3)能稳定.又系统(5.3)与系统(5.1)有相同的能稳定忡.， 因此定理成立.综合定理5.2和定理5.3即知，如果原系统(5.1)是能稳定的，且(a5.5)中的 屮行满秩

41、，则最后的形式系统(5.20)也是能稳定的.而丑，此条件还是充要条 件.这些条件保证了定理5.1中的状态反馈存在.再看(2 0>)的能检测性.定理5.4:|/2能检测的充分必要条件是能检测.事实上，从g0及rank/1/-oe,/2(a-1)/0c,0a/-v=rank0e,/20e,/20_ 0000rank又/-v=rank又 qv2、+ rank由pbh判别法即知本定理成立.定理5.5:能检测的充要条件是及)能检测.c,证明：注意到,即知该定理就是文献109中的一个引理.c,a/v-2?v 1定理5.6:(c,能检测的充要条件是(a5.2)成立.证明：同样按照pbh判别法来证明.对

42、任一满足|/1>1的复数/i，注意到 a22可逆，得到rankai a2a21a22ranka/ - y4|a2l-a,2一戌2=rankrankg c2又-(ai -k%i)- auci c2a22 a2l_ a2a>2_1/i2i) c, 0-a220+ ran/:(a”)+ mziz:(a,9)i 00 04c c2系统(5.3)与系统(5.1)有相同的能检测性，因此定理成立.综合定理5.4、定理5.5和定理5.6,得到以下结论：如果原系统(5.1)是能检测的，wj(e,/2也是能检测的，此条件还是充要条件.这些条件保证了从而rankai a2列满秩的充要条件是c,列满秩.又

43、riccti方程(5.27)有唯一的半正定解.3.2.6原系统的最优预见控制器的设计我们回到误差系统(5.20)的最优输入(5.23)式及与其相关的(5.24)-(5.27)成上.aw(zw)aw(zw + l)參參參，我们把尺、和尽(/)(/ = 0，1,，s-1)分解为-尺'巧0)(o _k =k('、，心(/)=n-、f )(0_nu、in + n - 2) “(/7v + 7v-1)(/ = 0，l，.，s-l)于是(5.23)式就是(5.29)_ a«(zw) _ a“(zw+l)離攀攀-尺ks-1"f；0)(/)_ aw(z7v + /v-2)

44、w(，7v + ；v-l)尺 ov-i)z=()a/?(z + z)可进一步分开写为s-1(5.30)再注意到ai/(zw + 7)= (y)x0(/) + j；f')(/)a(/4-/)1=0/=1，2,；y = o,l,2,.,7v-l(5.31)x0(/)=_ e(in) _e(zw + l)e(in + n-2)，鄉)=e(zw + n-l)ar, (zw)e(i) ar, (z)a(ztv)a/?(zw+l)蠡r、in + n - 2) a/?(z7v + ；v-l)kj)=k(j) <.n我们把/c(/)继续分解如下于是(5.31)式进一步成为5-1aw(zw + j

45、) = k(ej)e( + f(rjl 識/ + /)/=0就是5-1u(/ + 1 )/v + 7) = n(z/v + 7) + </'i) + /c；-zx, (z+1 w)-; (zw) + f;n(，)a(z + /) /=0把其屮的/用/-i代替，就得到系统(5.3)所需要的输入.于是，结合上面的讨论，我们得到本章的关键性定理：定理5.7:如果以下条件满足(i)系统(5.1)是能稳定的(a5.1);系统(5.1 )是能检测的(a5.2);(iii) (5.4)式中的矩阵屮行满秩(a5.5);(iv) 2e0，"n0，则(5.27)式所表示的代数riccati

46、方程冇唯一的半正定解，而jdl系统(5.3)的最 优控制输入为u(in + j)+ 即-1) + 0 似1=0/=1，2,；7 = 0,1,2,.,-!其中-尺 u” _c f；o)(/)-k =尺=<?)參參參蠡，fr(l) =參(/=0，1，sn-)coe(d-l)n)e(f-l)7v + l)通过由式(5.24)-(527)确定.e(i-l)=:e(/-l)yv + n-2)这里禾(/-1)= (，-i)yv)，r(in + n-2)-r(i-l)n + n-2)/?(/w + n-l)-/?(/-1)n + n-1)u(ii)n + l)w(z-l)7v + n-2)图5.2-5

47、.7说明了木节所设计的控制器的有效性.3.3非因果系统3.3.1问题的描述与准备考虑正则的线性离散时间广义非因果系统(3.16).按照广义系统理论和预见控制理论的基本要求，本章将假设系统(3.16) 能稳定，能检测，并作出如5.2.1节中基本假设(a5.3ha5.4).另外，还将作出 一个假设：假设5.6(a5.6):系统(3.16)是因果能控和因果能观的；由(a5.6)，必存在静态输出反馈“=m)， + v()=a/cx + v=alv + v(5.32)其中/c = a/c, m e r，使得闭环系统ex(k + l) =(a + bk)x(k) + bv(k)(5.33)是因果的571，

48、即deg |det se - (a + bk )j = rank(e)利用3.3.1节中因果分解的过程，系统(5.33)以及输出方程受限等价于定义误差信号为(5.5)，引入二次型性能指标函数为(5.6).为了研宂的进行，我们还将作出以下假设：3.3.2广义因果系统的离散提升通过以上的讨论可知，系统(5.34)也是多采样率系统，先对其进行离散提升，使其变为单采样率系统.利用5.2.2节己经得到的结果，广义因果系统(5.34)被离散提升为 禾(/ + 1) = +如 y(o = (o+c2v(/) =艮=3“132, xl(i) = x1(in)e/i(5.36)其中?2 (/) = x2 (zw) g rnq, p (z)=v(/w)參參參(/n + n-2) (/w + 7v-1)b、v耳#耳，c2 = c2a22-1 b2 , j(z)剌y(z7v + l)參拳參c, c20.o0 1c,acaq 00參參» c2 =參 蠢汉-2cbcan'2bc4房a頌0c2y(z