线性代数：第7章 对称矩阵和二次型

1、Exe 5.1()() |() | | ,| | | |The characteristic equations of and are the same. is an eigenvalue of if and only if is an eigeTTTTTTTTTTTAIAIAIAIAILet BAI thenBAIBBAIAIAAAnvalue of . TAExe 5.2FFTFFFTFExe 5.3Chap 6小结 理解正交、标准正交基、正交投影的定义及性质 理解具有单位正交列向量的矩阵的性质 熟练掌握用格拉姆-施密特方法求解正交基的算法矩阵的QR分解第7章 对称矩阵和二次型 7.1 对

2、称矩阵的对角化 7.2 二次型13对称矩阵symmetric matrix 一个对称矩阵是一个满足AT = A 的矩阵A 方阵，主对角线元素任意，其他元素在主对角线的两边成对出现 Solution 621|261115AI1231118,1 ,6,1 ,3,1 ,021vvv 12311 1,11 1021Pv v v1863P APLet then 821042(8)(6)(3)0015 821861015 15Solution 621|261(8)(6)(3)0115AI 1231118,1 ,6,1 ,3,1 ,021vvv 1231/21/61/31/2,1/6 ,1/3 ,02/61

3、/3uuu 11/21/6 1/31/21/6 1/302/61/3P111863P APLet then 11111TP PandOccasional？对称矩阵 定理1 如果A是对称矩阵，那么不同特征空间的任意两个特征向量是正交的。11 122212,TAA Axx Axx12120Txxx xTT1 121 12121212=TTTxxxxAxxx A xx Ax（）（）21212212212=TTxxxxxxx Ax1 12212xxxx1212()0 xx可正交对角化orthogonally diagonalizable 一个矩阵 A 称为可正交对角化，如果存在一个正交矩阵 P （满足

4、P-1 = PT）和一个对角矩阵 D 使得A = PDPT = PDP-1 什么条件下矩阵可正交对角化？ n个线性无关且单位正交的特征向量 若矩阵 A 可正交对角化，A T= (PDPT ) T= PTTD TPT = PDPT = A A是对称矩阵！ 定理 2 一个 nn 矩阵A 可正交对角化的充分必要条件是A是对称矩阵(proof omitted)可正交对角化 对称矩阵 如何可正交对角化？ 找到n个线性无关且单位正交的特征向量！ n个不同的特征值时，一定可正交对角化 少于n个不同的特征值时？12311/217,0 ,1,2,1/2 ,101vvv 1231/ 181/22/30,4/ 18

5、,1/3 ,2/31/21/ 18uuu 1237,72Pu u uD1.P APDLet, then 谱定理 矩阵A的特征值的集合有时称为A的谱 定理3 对称矩阵的谱定理 一个对称的 矩阵具有下面特性： A有n个实特征值，包含重复的特征值 对每一个特征值，对应特征子空间的维数等于作为特征方程的重数 特征空间相互正交，这种正交性是在特征向量对应不同特征值的意义成立的 A可正交对角化nn21谱分解Spectral Decomposition 假设A = PDP-1 ，此处P的列是A的单位正交特征向量 ，且相应的特征值 属于对角矩阵D，那么P-1 =PT 将A分解为A的谱（特征值）确定的小块，这个

6、A的表示就称为A的谱分解，每一项都是秩为1的nn矩阵11111 11 1 1222TTnTnnTTTTnnnnnTnuAPDPuuuuuuu uu uu uu1nuu1,.,n237.2二次型 Quadratic form Q( x ) = xTx Rn 上的一个二次型是一个定义在 Rn 上的函数，它在向量x处的值可由表达式 Q( x ) = xTAx计算，此处A 是一个nn 对称矩阵，且矩阵 A 称为关于二次型的矩阵 matrix of the quadratic form. 二次型与对称矩阵的关系25Given Q( x ) , write the quadratic forms 1232

7、,.27Txx Ax where Axx221122347xx xx1212123227xxxxxx11223227xxxx112237xxxx24x2122xx123407xxA=?2622212312235328Tx Axxxxx xx x51/20,1/234 .042then A A=?22212312235328xxxx xx x112323532xxxxxx122112xx3244xx11232112312321235034042xxxxxxxxxxxx11232351/201/234042xxxxxx二次型的变量代换 在某些情况下，没有交叉项的二次型会显得更容易使用，也就是二次型

8、对应的矩阵是对角矩阵。 交叉项可以通过用适当的变量代换来消去二次型的变量代换1 nnnxxPyyP xPyPyx如果 表示中的向量变量，那么变量代换是下面形式的等式： 或此处 是可逆矩阵且 是中的一个新变量。的列可确定的一个基， 是相对于该基向量的 的坐标向量。TTTTTTTT-1T-1()()()=x AxPyA Pyy P APyyP AP yP APPAPPP AP P AP D如果用变量代换处理二次型，那么 且新的二次型矩阵是。如果 可将 正交对角化，那么，且新二次型矩阵式对角矩阵。是Example : Make a change of variable that transforms

9、 the quadratic form into a quadratic form with no cross-product term. 12212112221414,854545TxAx Axxxxx xxx3021445 16045AI 123,7. 241234800AI221xx121let v1284174200AI1221xx 212let v 122/51/51/52/5yxPyy 二次型的变量代换 二次型相等的意义 利用新二次型计算Q(x)在x=(2,-2)处的值。主轴定理Principal Axes Theorem 定理4 主轴定理 设A是一个nn 对称矩阵，那么存在一个正

10、交变量代换 x = Py, 它将二次型 xTAx 变换为不含交叉项的二次型 yTDy 矩阵P的列称为二次型 xTAx 的主轴，向量y是向量x在由这些主轴构造的 空间的单位正交基下的坐标向量。n主轴的几何意义 A是一个22可逆对称矩阵 C是一个常数 可以证明 中所有满足的x的集合，对应一个椭圆、双曲线、两条相交直线或单个点，或根本不含任意点 如果A是一个对角矩阵，图2中的图像是标准位置 反之，图3中的图像是标准位置的旋转 找到主轴等同于找到一个新的坐标系统，在该系统下，其图形是在标准位置下的图形2521021025AI123,7.221132200AI211xx 11212let v 22117

11、2200AI211xx21212let v 37()()TTthen x AxPyA Py12yxPyPy1/21/21/21/2let P 1122TyyyP APy11223007yyyy221237yy二次型的分类 当当A是一个nn 矩阵时，二次型 是一个定义域为 的实值函数 对二次型定义域中的每一个点对应的 ，可画出点 ，其中n12(,)xx x12(, )x x z( )zQ x二次型的分类 定义定义 正定，负定，不定正定，负定，不定 一个二次型Q是：a. 正定的positive definite，如果对所有x 0，有Q(x) 0 b. 负定的negative definite，如果

12、对所有x 0，有Q(x) 0c. 不定的indefinite ，如果Q(x)既有正值又有负值 半正定的：如果对所有x 0，有Q(x) 0 半负定的：如果对所有x 0，有Q(x) 0Q(x)由谁决定？二次型的分类41二次型与特征值Quadratic Forms and Eigenvalues 定理定理 5设A 是一个 nn 对称矩阵，那么一个二次型是:a.正定的，当且仅当A的所有特征值是正数b.负定的，当且仅当A的所有特征值是负数c.不定的，当且仅当A既有正特征值又有负特征值矩阵的分类 正定矩阵positive definite matrix 定义 一个正定矩阵A 是一个对称矩阵，则二次型 xTAx 是正定的 其他形式的矩阵的概念（负定矩阵、不定矩阵、半正定矩阵、半负定矩阵）可类似定义320222021A3232022263100021AI 小结 掌握矩阵正交对角化的方法和性质 掌握对称矩阵的谱定理 理解二次型、二次型矩阵、变量代换及二次型的分类 理解二次型