锂离子电池分数阶建模和SOC的估值

1、电池测试设备A123制造的26650锂离子电池锂离子电池分数阶建模和SOC的估值摘要本文提出基于一个分数阶阻抗谱模型的锂离子电池SOC估值。首先，根据华宝元件和常相角元件在大范围频域的特征，推导出了一个电池分数阶阻抗模型。其次，基于输出误差的频率拟合方法和参数识别算法用来识别锂离子电池分数阶模型的参数。此外，通过仿真得到锂离子电池的电化学阻抗。最后，分数阶卡尔曼滤波方法用来估计基于分数阶模型的锂离子电池的SOC。仿真结果表明分数阶模型可以保证SOC估值的相当的准确度，也就是估值的误差达到最大0.2%SOC。索引词锂离子电池，电化学阻抗，分数阶模型，分数阶卡尔曼滤波器。一、 简介通常，电动车辆里

2、锂离子电池内部的电化学反应是很复杂的。荷电状态定义为电池所剩能量与额定容量的百分率，荷电状态不能直接测量。准确估计SOC是能量电池领域的关键问题。估计SOC的方法分为直接实验测量方法和局域电池模型的估计方法。库仑计算法和电流积分法是最受欢迎的实验测量方法，使用简单。然而在电流测量中数学积分产生的累积误差会导致很大的误差。状态观测器2，3，卡尔曼滤波器（KF）4，5和粒子过滤器（PF）6，7用来估计基于锂离子电池模型的SOC。但是通过能量电池外部特征所得的模型不能准确的表明内部特征。电池的动力可由整数阶积分方程组描述。但是复杂的电化学反应由分数阶函数描述。电化学阻抗谱法是模仿电化学锂离子电池最准

3、确的方法之一。很多研究尝试着直接利用阻抗谱估计SOC，但是EIS太复杂而不能直接使用。目前EIS方法主要用于等效电路模型8，9。分数阶微积分（FOC）是由经典分数微积分自然延伸而来。研究1012显示大部分的现象，如湿气，液体，摩擦，阻尼振动，动态反应，声扩散等，有分数阶属性。因此，FOC广泛用于建模，动力学评估等。FOC还用于开发超级电容量铅酸电池的电化学模型，等等。本文余下部分安排如下。第二部分讨论了基于阻抗谱的电池分数阶模型；第三部分讨论了根据输出误差识别算法如何自制OCVSOC特性曲线，频率法的状态阶数识别和参数识别；第四部分讲述了分数阶卡尔曼滤波器估计SOC;第五部分对之前的工作得出结

4、论并对之后的研究给出建议。二、 电池的分数阶建模锂离子电池阻抗谱见图1。如图所示，阻抗谱可以分成三部分：高频部分，中频部分和低频部分。图1. 锂离子电池的阻抗谱在高频部分，阻抗谱与实轴相交，交点表示欧姆电阻。在低频部分，阻抗谱线是斜率为常数的直线，有相同的阻抗谱特性，其中的固定项元件通常称为华宝元件。中频部分呈扁半圆，这是一个著名的电化学现象。这个扁半圆将华宝元件与电阻并联建模得到，称之为ZARC元件。有上述分析可知，等效电路模型可以如图2描述，图上Voc表示开路电压，Vo表示电池端电压，端电压可以被直接测量；R1R表示欧姆电阻值，I表示电流，V1表示R1的电压；C2R表示ZARC元件CPE的

5、系数，R2R表示ZARC元件的欧姆电阻的值，V2表示ZARC元件的终端电压；WR是华宝元件的系数，V3表示华宝元件的电压。图2 分数的等效电路模型通过以上描述可知，等效电路模型就是分数阶为了简单，用以下等式定义符号FOC。高频数学模型可以用等式1描述。 （1）R1R表示欧姆电阻值，I表示电流，V1表示R1的电压。中频数学模型可以用等式2描述。 （2）C2R是CPE的系数，R，-1<<1表示CPE的分数阶，R2R表示ZARC元件的欧姆电阻值，I表示流过ZARC元件的电流，V2表示ZARC元件的端电压。华宝元件在中频的数学模型可以用等式3描述。 （3）WR是系数，表示分数元的阶，R,-

6、1<<1是华宝元件的分数阶，V3表示华宝元件的电压，I表示流过华宝元件的电流。对于OCV和SOC确定的关系，SOC被认为是系统状态，表示如等式4， （4）Qn表示电池的额定容量（Ah）。OCV和SOC是非线性关系，不易做出数学解释。容易发现当SOC在20%和80%之间时，OCV和SOC可看成线性关系，关系式如等式5， （5）K和d时系数，可以通过曲线拟合估算。设系统状态矢量x=V2 V3 SocT，系统输入u=I，系统输出y=VO-d。连续分数状态空间函数如等式6， （6）其中,.根据随机理论，离散状态空间函数如7， （7）xkR3表示系统状态矢量，ykR表示系统输出，ukR表示系

7、统输入，在时间k时。分数阶Geünwald-Letnikov定义如8式， （8）TS是取样间隔，k是取样数目，由此可计算出导数。等式9可以由等式8导出。（9）电池的离散状态空间函数可由10式表示， （10）其中。令, E是单位矩阵。考虑过程噪声和输出噪声，系统的离散状态空间函数如等式11， （11）wkR3是过程噪声，代表建模不确定性和未知输入，VKR是输出噪声，代表测量干扰，假设wk和VK相互独立，协方差矩阵的零均值高斯噪声过程EwkwjT=QKKJ，EVkVjT=RKKJ，KJ是克罗内克符号函数。三、 参数识别电池模型参数识别分为两部分，OCV和SOC关系曲线拟合和电池模型参数识

8、别。我们将在下文分别介绍两部分内容。A. OCV和SOC曲线拟合图3.OCV充电和放电过程测量OCV测量是在充电和放电模式每次10%SOC施加恒流脉冲。通过以上实验，等式5中的未知参数k和d可以通过曲线拟合获得。表1.充电过程中每个SOC的极小点这个特别的实验步骤如下：1) 在室温下使电池放电直到达到最小放电电压（在本实验中是2V），闲置12小时；2) 用0.2C（0.5A）的恒定电流给电池充电，直到端电压达到3.7V。在这一过程中，每充电10%SOC闲置电池2分钟。记录每次闲置和SOC后的最小电压，见表1；3) 闲置电池12小时；4) 用0.2C（0.5A）的恒定电流给电池放电，直到端电压达

9、到2V。在这一过程中，每放电10%SOC闲置电池2分钟。记录每次闲置和SOC后的最小电压，见表2；5) 分别描出在先前实验中收集到的极小点和极大点，平均的画出两条曲线，见图3。图4. 在20%和80%SOC之间的OCVCSOC曲线表2放电过程中每个SOC的极大点绘制从20%SOC到80%SOC的OCV-SOC关系曲线，可得k=0.002086和d=3.166。B. 模型参数识别在等式6中分别用时域法和频域法识别未知参数。图5. 系统状态顺序拟合曲线1) 在频域用频率拟合方法识别状态顺序：华宝元件阻抗谱曲线斜率为，阻抗谱低频部分的斜率接近，所以参数=0.5。含有CPE和电阻的回路的阻抗谱形状像一

10、个半圆。这个半圆的递减速率按变化，越大，曲线弧度越大。当=0.65时，所测得阻抗谱曲线将正好匹配，见图5。图5表明通过状态识别所得的阻抗谱曲线与测得的阻抗谱正好匹配，这意味着分数阶模型可以很好地表现出锂离子电池的特征。2) 未知参数识别：通过时域中的输出误差识别算法14，15识别未知参数。输出误差方法见图6所示。图1所示的分数阶等效电路模型的传递函数描述如下， （12）其中。等式12写成等式13。 （13）应用拉普拉斯逆变换，得到 （14）让 ，等式14写成下式 （15）无噪声输出y(tk)应该会被添加的白测量噪声v(tk)腐蚀，考虑在离散瞬间，通常会分布为被零均值和R方差。完整的等式如下 （

11、16）Y *(tk)是系统测量输出。假设误差函数（t）由输出误差给出，如下 （17），因此，线形低通滤波器分别应用于初始输入部分和输出部分，来代替输入变量和输出变量的直接微分。让，在实际情况下，未知，近似值由迭代计算可得。无噪声输出变量通过辅助模型得到，等式如下 （18）图6. 输出误差方法的电池参数识别有 组合成回归向量如下 则有 （19）参数识别最优化问题可以陈述如下 （20）解决办法如下 （21）当max时，将算法迭代直到收敛，这里根据建模精确度选取。特别识别过程描述如下：1) K=0,参数初始化0=0 0 0T。2) K=1，2，3，根据k-1和等式16计算无噪声输出y(k)。3) 基

12、于等式18过滤电流，终端电压和无噪声终端电压。4) 基于等式19确定变量。5) 利用等式21修改识别参数。6) 计算从第二步到第六步的相对误差，直到误差小于0.05。对进行参数识别后可得到各个元件的值R2=，W=b，C2=。在等式6中，Qn=Cn×3600是额定容量，R2=2.1m，W=26.5，C2=11mF。高频部分阻抗谱与实轴的交点是电阻值。从阻抗谱可以得出R1=24.3m。高频部分阻抗谱与实轴的交点是电阻值。从图1可以得出R1=24.3m。将上述参数代入等式6，离散分数阶模型如下， （22），图7. 用于模型验证的电流分布图8. 用于模型验证的电压分布图9. 用于模型验证的电

13、压误差分布电流分布包含很多充电/放电脉冲，处于不同的电流水平。用于电动车辆的ECE15城市交通循环选来仿真一个典型的交通模式。图7所示的电流分布重复了ECE15城市交通循环三次，每次循环时间持续400s。图8所示电压曲线包含两条曲线，一条是识别模型的输出，另一条是电池的测量电压。图9所示的是两条电压曲线在不同时刻的误差。易得出大部分电压误差在20mV以内。当输入的充电电流或放电电流大幅变化时，误差达到40mV。因此分数阶模型的识别是准确的。四、基于分数阶模型的SOC估值本文所述的工作用于A123制造26650锂离子电池（2.5Ah,3.3V电池），26650锂离子电池见图10，电池测试设备见图

14、11。图10. A123制造的26650锂离子电池图11. 电池测试设备选用分数阶估计函数来估计电池的SOC。对于常见的整数阶系统，卡尔曼滤波法广泛用于估计系统参数。因此，分数阶卡尔曼滤波器用来估计电池的SOC。分数阶卡尔曼滤波算法插图见图12。1) K=0卡尔曼提供最合用初始化即状态信息和误差协方差。状态信息和误差协方差的初始值如下：过程噪声协方差矩阵Q，测量噪声协方差矩阵R，系统初试状态，系统初试状态协方差P0=E（）（）T。2) K=1,2, 状态估值传递 （23）误差协方差传递 （24）卡尔曼增益修正 （25）状态估值修正 （26）误差协方差修正 （27）3) 为进一步的迭代减少估值状态和协方差。4) 分开系统状态，将会得到实时SOC。图12. 卡尔曼滤波算法插图图13. 用于SOC的电流分布图14. 用于SOC的终端电压分布图15. SOC估值根据图13的电流分布，分数阶卡尔曼滤波器用于电池的SOC估值。测量终端电压和模型终端电压见图14。由图13可知，电池在整个SOC测试，模型终端电压能很好地追踪测量终端电压。SOC估值和SOC估值误差分别见图15和图16。由图15可知在电池充电开始，分数阶卡尔曼滤波法可得到电池的SOC，但是随着电池进一步的放电，精确度逐渐上升。在测试过程中估值误差可减小到最大0.2%SOC。五、结论基于阻抗谱的分析，