2005年高考理科数学山东卷

1、2005 年高考理科数学山东卷第卷（选择题共 60分）参考公式：如果事件 a、b 互斥，那么)()()(bpapbap如果事件a、b相互独立，那么)(bap=)()(bpap一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的（1）2211(1)(1)iiii（a）i(b) i(c) 1(d) 1（2）函数1(0)xyxx的反函数的图象大致是1oyx-1oyx1oyx-1oyx（a）(b) (c) (d) （3）已知函数sin()cos(),1212yxx则下列判断正确的是（a）此函数的最小正周期为2，其图象的一个对称中心是(,0

2、)12(b) 此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是(,0)12(c) 此函数的最小正周期为2，其图象的一个对称中心是(,0)6(d) 此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是(,0)6（4）下列函数中既是奇函数，又是区间1,1上单调递减的是（a）( )sinf xx(b) ( )1f xx(c) 1( )()2xxf xaa(d) 2( )2xf xlnx（5）如果21(3)3nxx的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是（a）7(b) 7(c) 21(d)21（6）函数2110,sin(),( )0.,xxxf xxe若(1)( )2,ff a则a的所有可能值为（

3、a）1(b) 22(c) 1,22(d) 1,22（7）已知向量,a b，且2 ,56 ,72 ,abab bcab cdab则一定共线的（a） 、 b、d (b) a、b、c (c) b、c、d (d)a 、c、 d （8）设地球半径为r，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度075东经0120，则甲、乙两地球面距离为（a）3r(b) 6r(c) 56r(d) 23r（9）10 张奖券中只有3 张有奖， 5 个人购买，每人1 张，至少有1 人中奖的概率是（a）310(b) 112(c) 12(d)1112（10）设集合 a、b 是全集 u 的两个子集，则ab?是)abuu（c（a）

4、 充分不必要条件(b) 必要不充分条件(c) 充要条件(d)既不充分也不必要条件（11）01,a下列不等式一定成立的是（a）(1)(1)log(1)log(1)2aaaa(b) (1)(1)log(1)log(1)aaaa(c) (1)(1)(1)(1)log(1)log(1)log(1)log(1)aaaaaaaa(d) (1)(1)(1)(1)log(1)log(1)log(1)log(1)aaaaaaaa（12）设直线:220lxy关于原点对称的直线为l，若l与椭圆2214yx的交点为a、b，点 p为椭圆上的动点，则使pab的面积为12的点 p 的个数为（a） 1 (b) 2 (c) 3

5、 (d)4 第卷（共 100 分）二、填空题：本大题共4 小题， 每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上(13)2222lim(1)nnnnccn_(14)设双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为f,右准线l与两条渐近线交于p、q 两点，如果pqf是直角三角形，则双曲线的离心率_e(15)设, x y满足约束条件5,3212,03,04.xyxyxy则使得目标函数65zxy的值最大的点( ,)x y是_(16)已知 m、n 是不同的直线，,是不重合的平面，给出下列命题：若/,mn则/mn若,/,/,m nmn则/若,/mnmn,则/m、n 是两条异面直线，若/,/,/,/

6、,mmnn则/上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命的序号）三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)（本小题满分12 分）已知向量(cos ,sin)m和( 2sin ,cos ),( ,2)n，且8 25mn，求cos()28的值 (18) （本小题满分12 分）袋中装有罴球和白球共7 个,从中任取2 个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 个球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需的取球次数（）求随机变量的概率分布；（）求甲取

7、到白球的概率(19) （本小题满分12 分）已知1x是函数32( )3(1)1f xmxmxnx的一个极值点 ,其中,m nr0m. （）求m 与 n 的关系表达式; （）求( )f x的单调区间；（）当 1,1x时,函数( )yf x的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求 m 的取值范围(20) （本小题满分12 分）如图，已知长方体1111abcdabc d，12,1abaa，直线bd与平面11aab b所成的角为030，ae垂直bd于,e f为11ab的中点（）求异面直线ae与bf所成的角；（）求平面bdf与平面1aab所成二面角（锐角）的大小；（）求点a到平面bdf的距离(21) （

8、 本 小 题 满 分12分 ） 已 知 数 列na的 首 项15,a前n项 和 为ns， 且*15()nnssnnn（i ）证明数列1na是等比数列；（ ii ）令212( )nnf xa xa xa x，求函数( )f x在点1x处的导数(1)f并比较2(1)f与22313nn的大小(22) （本小题满分14 分）已知动圆过定点,02p，且与直线2px相切，其中0p. （i ）求动圆圆心c的轨迹的方程；（ii ）设 a、b是轨迹c上异于原点o的两个不同点，直线oa和ob的倾斜角分别为和，当,变化且为定值(0)时，证明直线ab恒过定点，并求出该定点的坐标a1b1c1d1fedcba2005 年

9、高考理科数学山东卷试题及答案参考答案题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案d b b d c c a d d a a b （13）32（14）2（15）2,3）（16）(17)（本小题满分12 分） 考查知识点： （三角和向量相结合）解法一：(cossin2,cossin),mn22(cossin2)(cossin)mn422 ( c o ss i n)44 c o s ()421c o s ()4由已知8 25mn，得7cos()425又2cos()2cos ()1428所以216cos ()2825592 ,82884cos()285解法二：2222mnmm nn2

10、2| 2mnm n222222( cossin)(2sin)cos)2cos (2sin)sincos 42 2(cossin )4(1cos()428cos ()28由已知8 25mn，得4|cos()|285592 ,8288，cos()0284cos()285(18) （本小题满分12 分） （考查知识点：概率及分布列）解： （）设袋中原有n个白球，由题意知：2271(1)(1).767762ncn nn nc所以(1)6n n，解得3(n舍去2)n，即袋中原有个白球（）由题意，的可能妈值为,2,3,4,5. 3(1 )7p: 432(2)767p: 4336(3)76535p43233

11、(4 )76543 5p: 4 32 1 31(5)765 4335p所以 ,取球次数的分布列为：1 2 3 4 5 p3727635335135（）因为甲先取,所以甲只有可能在第1 次、第 3 次和第 5 次取球，记“甲取到白球”的事件为 a，则( )p ap（ “1” ，或“3” ，或“5” ） . 因为事件“1” 、 “3” 、 “5”两两互斥，所以3612 2()(1 )(3 )(5 )73 53 53 5pappp(19) （本小题满分12 分） （考查知识点：函数结合导数）（）解：2( )36(1)fxmxmxn. 因为1x是( )f x的一个极值点,所以(1)0f,即36(1)0

12、mmn. 所以36nm（）解 :由（）知22( )36(1)363 (1)(1)fxmxmxmm xxm当0m时 ,有211m,当x变化时( )fx与( )fx的变化如下表: x2(,1)m21m2(1,1)m1 (1,)( )fx0 0 0 ( )f x单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表知 ,当0m时 ,( )f x在2(,1)m单调递减 ,在2(1,1)m单调递增 ,在(1,)单调递减（）解法一 :由已知 ,得( )3fxm,即22(1)20mxmx. 0m. 222(1)0 xmxmm. 即2122(1)0,1,1xxxmm. （*）设212( )2(1)g xxxmm,其函数图

13、象的开口向上. 由题意 (*) 式恒成立 , 22( 1)0120(1)010gmmg434,310mm又0m. 403m即m的取值范围是403m解法二：由已知,得( )3fxm，即23(1)(1)3m xxmm，0m. 2(1)1(1)1xxm. (*) 011x时. (*)式化为01怛成立 .0m. 021x时1,1 ,210 xx. (*) 式化为21(1)1xmx令1tx,则2,0t,记1( )g ttt, 则( )g t在区间2,0是单调增函数min13( )( 2)222g tg由 (*) 式恒成立 ,必有234,23mm又0m304m综上01、02知403m(20) （本小题满分

14、12 分） (考查知识点：立体几何) 解法一：（向量法）在长方体1111abcda bc d中，以ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴，1aa所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图由已知12,1abaa，可得(0,0,0),(2,0,0),(1,0,1)abf又ad平面11aab b，从面bd与平面11aab b所成的角即为030dba又2 32,1,3abaebd aead从而易得132 3(,0),(0,0)223ed（）13(,0),( 1,0,1)22aebfcos,ae bfae bfae bf12242即异面直线ae、bf所成的角为2arccos4（）易知平面1aa b的一个法向量

15、(0,1,0)m设( , , )nx y z是平面bdf的一个法向量2 3( 2,0)3bd由nbfnbd00n bfn bd02 3203xxxy3xzxya1b1c1d1fedcbaxzy取(1, 3,1)n315cos,515m nm nm n即平面bdf与平面1aa b所成二面角（锐角）大小为15arccos5（）点 a 到平面 bdf 的距离，即ab在平面 bdf 的法向量n上的投影的绝对值所以距离| cos,dabab n| |ab nababn|22 5|55ab nn所以点 a 到平面 bdf 的距离为2 55解法二： (几何法 ) （）连结11b d，过 f 作11b d的垂

16、线，垂足为k，1bb与两底面abcd ，1111a bc d都垂直，11111111fbbbfkb dfbbb dbbb1平面 bdd又111aebbaebdaebbbbdb1平面 bdd因此/fkaebfk为异面直线bf与ae所成的角连结 bk，由 fk面11bdd b得fkbk，从而b k f为rt在1rt b kf和111rt b d a中，由11111a dfkb fb d得1112211213 1132222(3)3adabad b ffkb dbd又2bf， 2cos4fkbfkbka1b1c1d1fkedcba异面直线bf与ae所成的角为2arccos4（）由于ad面taa b由

17、a作bf的垂线ag，垂足为g，连结dg，由三垂线定理知bgdgagd即为平面bdf与平面1aa b所成二面角的平面角且90dag，在平面1aa b中，延长bf与1aa；交于点sf为11ab的中点1111/,22a fab a fab，1a、f分别为sa、sb的中点即122saa aab，rt bas为等腰直角三角形，垂足g点实为斜边sb的中点 f，即 f、g 重合易得122agafsb，在rt bas中，233ad2363tan32adagdag，6arctan3agd，即平面bdf于平面1aa b所成二面角（锐角）的大小为6arctan3（）由（）知平面afd是平面bdf与平面1aa b所成

18、二面角的平面角所在的平面面afdbdf面在rt adf中，由作ah df 于 h，则 ah即为点 a 到平面 bdf 的距离由 ahdf=adaf，得2223223552(3)( 2)3ad afahdfsa1b1c1d1gfedcbasa1b1c1d1hfedcba所以点 a 到平面 bdf 的距离为255(21) （本小题满分12 分） （考查知识点: 数列）解：由已知*15()nnssnnn可得12,24nnnssn两式相减得1121nnnnssss即121nnaa从而1121nnaa当1n时2121 5ss所以21126aaa又15a所以211a从而21121aa故总有112(1)nn

19、aa，*nn又115,10aa从而1121nnaa即数列1na是等比数列；（ii ）由（ i ）知3 21nna因为212( )nnf xa xa xa x所以112( )2nnfxaa xna x从而12(1)2nfaana=23212 321(321)nn=23 2222nn-12n=1(1)31262nn nn由上22(1)23131212nfnnn-212 21nn= 1212121 (21)nnnn=12(1) 2(21)nnn当1n时，式 =0 所以22(1)2313fnn；当2n时，式 =-120所以22(1)2313fnn当3n时，10n又011211nnnnnnnncccc2221nn所以12210nnn即0从而2(1)f22313nn(22) （本小题满分