初二因式分解详解

1、初中因式分解详解一、提公因式法.如多项式 am bm cm = m(a b c),其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式.二、运用公式法.运用公式法，即用a2 -b2 =(a b)(a -b), a2 _2ab b2 =(a _b)2, a3 zb3 =(a 二b)(a2 -ab b2)三、分组分解法.(一) 分组后能直接提公因式例1、分解因式： am +a n +bm +b n分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前 两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分

2、解，然后再考虑两组之间的联 系。解：原式 =(am an) (bm bn)=a(m，n) b(m n)每组之间还有公因式！=(m n )(a b)思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例 2、分解因式：2ax -10ay +5by -bx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解：原式=(2ax -10ay) (5by -bx) = 2a(x _5y) _b(x _5y) =(x _5y)(2a _b)2练习：分解因式 1、a -ab ac -b解法二：第一、四项为一组； 第二、三项为一组。原式=(2ax -bx)

3、 (_10ay 5by)=x(2ab) _5y(2a _b)= (2a _b)(x5y)2、xy _ x _ y 1(二) 分组后能直接运用公式2 2例3、分解因式：x - y ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外 分组。29解：原式=(x - y ) (ax ay)=(x y)(x -y) a(x y) =(x y)(x - y a)2 2 2例4、分解因式：a -2ab b -c2 2 2解：原式=(a 2ab b ) - c=(a -b)2 -c2=(a -b -c)(a -b c)注意这两个例题的区别！练习：分

4、解因式3、x2 -x-9y2 -3y4、x2y2z22yz综合练习：(1)x3 x2y - xy2 - y3(2) ax2 - bx2 bx - ax a - b第1页共6页112 2 2 2 2(3) x 6xy 9y -16a 8a _1(4) a _6ab 12b 9b -4a(5) a4 -2a3 a2 _9(6) 4a2x_4a2y_b2x b2y(7) x2 -2xy-xz yz y22 2(8) a -2a b - 2b 2ab 1(9) y(y -2) _(m -1)(m 1)(10) (a c)(a _ c) b(b _ 2a)222333(11) a (b c) b (a

5、c) c (a b) 2abc( 12) a b c - 3abc四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式x (p q)x p ( p)(x q)进行分解。特点：(1) 二次项系数是1 ； 常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。例5、分解因式：x2 +5x+6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。即 2+3=5 。由于6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6),从中可以发现只有 2 X 3的分解适合，1 2解：x2 5x 6 = x2(2 3)x 2 313=(x 2)(x3)1X 2+1 X 3=5用此方

6、法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：x2 7x - 6解：原式=x2 ( -1) (-6)x (-1)(-6)1 一 -1= (x-1)(x-6)_L-6 (-1) + (-6) = -7练习 5、分解因式(1) x2 14x 24 a2 -15a 36 (3) x2 4x - 5练习 6、分解因式(1)x2 x_2(2)y2-2y_15(3) x10 -24(二)二次项系数不为 1的二次三项式ax2 bx c条件：(1) a =a1a2a1(2) c = c1c2a2C1C2(3) b = aca2c1b = a1c2azG分

7、解结果：ax2 bx c = (a1x c1)(a2x c2)例7、分解因式：3x2 -11x10-2-5分析:2(2) 3x -7x 2(4) -6y211y 10(-6) + (-5) = -11 解：3x2 -11x 10=(x -2)(3x -5) 练习7、分解因式：(1) 5x2，7x-6(3) 10x2 -17x 3(三) 二次项系数为 1的齐次多项式例8、分解因式：a2 _8ab _128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。11 - f-16b8b+(-16b)= -8b2 2 2解：a8ab128b = a 8b (-16b)a 8

8、b (-16b)=(a 8b)(a -16b)练习 8、分解因式(1) x2 -3xy 2y2 (2) m2 -6mn 8n2(3) a2-ab-6b2(四) 二次项系数不为 1的齐次多项式例 9、2x2 -7xy 6y21 一 -2y2 J-3y(-3y)+(-4y)= -7y 解：原式=(x 2y)(2x 3y)2 2例 10、x y -3xy 2把xy看作一个整体1-11 -2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy 1)(xy 2)练习9、分解因式：(1)15x2，7xy-4y22 2(2) a x - 6ax 8综合练习 10、( 1)8x6 -7x3 -1(3) (x y)2 -

9、3(x y) -102 2(2) 12x -11xy-15y(4) (a b)24a4b 32 2 2 2(5) x y -5x y -6x2 2(6) m 4mn 4n 3m 6n 2(7) x2 4xy 4y2 -2x4y-3 (8) 5(a b)2 23(a2b2)-10(ab)2(9) 4x2 -4xy-6x 3y y2 -10( 10)12(x y)2 11(x2 - y2) 2(x - y)2思考：分解因式：abcx2 - (a2b2 c2)x - abc五、主元法.例 11、分解因式：x2 3xy10y2+x+ 9y-25-2解法一：以x为主元2-1解：原式=x2 -x(3y -

10、1)(10y29y 2)(-5)+(-4)= -92= x-x(3y _1) _(5y _2)(2y _1) =x-(5y-2)x(2y-1)-(5y-2)(2y-1)-(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)=(x 5y 2)(x 2y -1)解法二：以y为主元2 2解：原式=-10y -y(3x -9) (x x -2)2 2= -10y(3x-9)y-_(xx-2)2= -10y(3x -9)y -(x-1)(x 2)= -2y (x-1)5y-(x 2)=(2y x1)(5y x2)5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)练习 11、分解因式(1) x2 - y2 4x 6y -5

11、 (2) x2xy -2y2 -x 7y -6-1+2=11X-11 22 -_(x-1)5 -(x+2)2 2 x xy _6y x 13y -62 2 a ab - 6b 5a 35b - 36六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对条件：（1）（2）即：则 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 二(ax cy fJQx c? f?)Axx3y_23xy -2xy 二 xy , 4y 9y = 13y , -2x 3x = x 原式= (x-2y 3)(x 3y _2)练习 12、分解因式(1) x2 xy2y2 -x 7y62 2(2) 6x -7xy-3y -xz 7yz-2z七、

12、换元法。例 13、分解因式(1) 2005x2 -(20052 -1)x -2005 (2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x2解：(1)设 2005= a，则原式=ax2 -(a2 -1)x - a=(ax 1)(x - a)= (2005x 1)(x -2005)(2)型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=(x2 7x 6)(x2 5x 6) x2 设 x2 5x 6 = A，则 x2 7x 6 = A 2x 2 2原式=(A 2x)A x = A 2Ax x2 2 2=(A x) = (x 6x 6)练习 13、分解因式(1) (x2 xy y

13、2)2 -4xy(x2 y2)(2) (x2 3x 2)(4x2 8x 3) 90 (3) (a2 1)2 (a2 5)2 -4(a2 3)2 Bxy Cy2 Dx Ey F型多项式的分解因式。A = ai a2, C = Ci C2, F =a,c2 a2q = B , c1 f2 c2 f E , q f2 a2 £ = D2 2例 12、分解因式(1) x -3xy -10y x 9222(2) x xy -6y x 13y -6解：(1)x2 _3xy-10y2 x 9y-2 应用双十字相乘法： x * 5v2yX；y1x2y_12xy -5xy - -3xy， 5y 4y

14、= 9y， -x 2x = x 原式=(x _5y 2)(x 2y -1)22(2) x xy - 6y x 13y - 6 应用双十字相乘法：x2v,3KK2例 14、分解因式(1) 2x4X 6x2X - 2观察：此多项式的特点一一是关于 x的降幕排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等 距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。22112 T 2111解：原式=x (2x -x-6 -2 )=x 2(x2) -(x ) - 6x xxx原式1 2 1 2设 x 丄-t ,则 X2 冷=t2 - 2xx=x2 2(t2 一2)t6

15、 l= x2 2t2t10+ 2-5 i +- +2 ix( 2 12=x 2x+5 x+2 1= (2x'x'= x20 -5t+2)=x2 2x解：原式< x 八=(x 1)2 (2x -1)(x-2)432(2) x -4x x 4x1-4x 12 = x i xx x2_=y，贝H x22 二 y22x原式-5x 2 x2 2x 11(1、+ 21-4X- f+1x丿< x丿一21x=x2 y2 _4y 3 =x2 y -1 y _32112“2=x (x 1)(x 3)= x x1 x 3x1 xx6x4 7x336x27x 6练习14、(1)八、添项、拆

16、项、配方法。32例15、分解因式(1) x -3x +4解法1拆项。原式=x31 -3x23=(x 1)(x2 - x 1) - 3(x 1)(x -1)1=(x 1)(x2x 13x 3)j2=(x 1)(x -4x 4) =(x 1)(x -2)2(2) x9解：原式=(x9 -1) (x636=(x -1)(x(2)422x 2x x 12(x x )解法2添项。原式=x -3x2 -4x 4x 42=x(x - 3x - 4)(4x 4)=x(x 1)(x - 4)4(x 1)2=(x 1)(x -4x 4)=(x 1)(x-2)2x6 x3 -3-1) (x3 -1)3333x 1)

17、 (x -1)(x1) (x -1)3633=(x -1)(x x T x 11)2 6=(x -1)(x x 1)(x 2x 3)练习 15、分解因式(1) x3 -9x 8(2) (x 1)4(x2 -1)2 (x-1)4(3) x4 -7x21(4) x4 x22ax 1 _a2444(5) x y (x y)，、小2, 2 小22224, 44(6) 2a b 2a c 2b c a b c九、待定系数法。例 16、分解因式 x2 - xy 6y2 - x 13y6分析：原式的前3项x2 + xy 6y可以分为(x+3y)(x 2y)，则原多项式必定可分为 (x + 3y + m)(x

18、 2y + n) 解：设 x2 xy6y2 x 13y6= (x 3y m)(x2y n)2 2' (x 3y m)(x 一 2y n) = x xy -6y (m n)x (3n - 2m)y - mn2222x xy6yx 13y_6=xxy6y (m n)x (3n_2m)ymnm n =1m = _2对比左右两边相同项的系数可得丿3n -2m =13，解得丿n = 3mn= -6、原式=(x 3y - 2)(x _ 2y 3)例17、(1)当m为何值时，多项式 x2 - y2 mx 5y-6能分解因式，并分解此多项式。32(2)如果x ax bx 8有两个因式为x 1和x 2，求a b的值。(1) 分析：前两项可以分解为(x y)(x - y)，故此多项式分解的形式