第五章定积分及其应用PPT课件

1、第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 一一. .定积分的概念与性质定积分的概念与性质 二二. .微积分基本公式微积分基本公式 本节主要内容本节主要内容: : 三三. .定积分的积分法定积分的积分法 四四. .反常积分反

2、常积分 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 ( (一一) )定积分问题举例定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线设曲边梯形是由连续曲线( ) ( ( )0)yf xf x，轴及x以及两直线以及两直线bxax,所围成所围成 , 求其面积求其面积 A .?A)(xfy 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 显然显然,小矩形越多小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积矩形总面积越接近曲边梯形面积. 观察下列演示过程观察下列演示过程, 注意当分割加细时注意当分割加细

3、时, 矩形矩形面积和与曲边梯形面积的关系面积和与曲边梯形面积的关系 . 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程观察下列演示过程, 注意当分割加细时注意当分割加细时, 矩形面矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系. 播播幻灯片幻灯片 75放放第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 解决步骤解决步骤:1) 分割分割2) 取近似取近似 3) 求和求和 4) 取极限取极限 01lim()niiAfx 1xix1ixxabyoi第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一

4、节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 1xix1ixxabyo解决步骤解决步骤 : 1) 分割分割 在区间在区间 a , b 中任意插入中任意插入 n 1 个分点个分点 bxxxxxann1210,1iiixx用直线用直线ixx 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形; 2) 取近似取近似 在第在第i 个窄曲边梯形上任取个窄曲边梯形上任取作以作以,1iixx为底为底 ,)(if为高的小矩形为高的小矩形, 并以此小并以此小梯形面积近似代替相应梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积窄曲边梯形面积,iA得得1()(iiiiiiAfxxxx ),2, 1,nii第五章第五章 定积分及

5、其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 3) 求和求和 niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限 令令, max1inix则曲边梯形面积则曲边梯形面积 niiAA10limniiixf10)(limxabyo1xix1ixi01lim()niiAfx 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 解决步骤解决步骤: 1) 分割分割 2) 取近似取近似 3) 求和求和 4) 取极限取极限 iniitvs10)(lim设某物体作直线运动设某物体作直线运动,( ),vv t 上连续

6、上连续, ,0)(tv的路程的路程 s . 已知速度已知速度 12,TT12,TT在在 求在运动时间求在运动时间 内物体所经过内物体所经过第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 解决步骤解决步骤:1) 分割分割 , ,1iiitt任取将它分成将它分成, ), 2, 1( ,1nittii在每个小段上物体经在每个小段上物体经2) 近似近似 ,)(代替变速以iv得得iiitvs)(,1,21个分点中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(nin 个小段个小段过的路程为过的路程为2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 设某物体作直线运

7、动设某物体作直线运动,( ),vv t 上连续上连续, ,0)(tv的路程的路程 s . 已知速度已知速度 12,TT12,TT在在 求在运动时间求在运动时间 内物体所经过内物体所经过第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 3) 求和求和 iniitvs1)( 4) 取极限取极限 iniitvs10)(lim)max(1init第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 上述两个问题的共性上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同解决问题的方法步骤相同 :“分割分割 , 近似近似 , 求和求和 , 取

8、极限取极限 ” 所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 ( (二二) ) 定积分的概念定积分的概念 定义定义5.1.1 设函数设函数 f(x)在区间在区间a,b上有定义上有定义, 分割分割: 任取分点任取分点 把区间把区间 a,b 分割成分割成 n个小区间个小区间 xi-1, xi , 第第i个小区间的长度个小区间的长度为为 ，记，记 近似近似: 在每个小区间在每个小区间xi-1, xi上任取一点上任取一点 i (i=1, 2 n)求和：求和：作和式作和式0121nn

9、axxxxxb 1(1, )iiixxxin 1maxii nx ，1()niiifx 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 取极限：取极限：当当0时时, 若极限若极限 存在存在(这这 个极限值与区间个极限值与区间 a, b 的分法及点的分法及点 i 的取法无关的取法无关 ) ， 则称函数则称函数 f(x) 在在a, b 上可积上可积, 并称这个极限为函数并称这个极限为函数 f(x) 在区间在区间a,b上的定积分，记作上的定积分，记作 , 即即 01lim()niiifx ( )baf x dx 01( )lim()nbiiaif x dxfx

10、 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分上限积分下限积分下限被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分和积分和称为积分区间,ba第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 1. 闭区间上的连续函数是可积的闭区间上的连续函数是可积的; 闭区间上只有有闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的限个间断点的有界函数也是可积的2. 定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数f(x)和积分区间和积分区间a

11、,b，而与积分变量使用的字母的选取，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有无关，即有 ( )( ).bbaaf x dxf t dt ( )( )abbaf x dxf x dx 3. 在定积分的定义中在定积分的定义中, 有有aa，若极限若极限 存在存在, 则称此极限为函则称此极限为函 数数 f (x)在在a,+ )上的广义积分上的广义积分, 记作记作 ， 即即 此时也称广义积分此时也称广义积分 收敛收敛; 如果上述极限如果上述极限 不存在不存在, 就称就称 发散发散. lim( )dbabf xx ( )daf xx ( )dlim( )dbaabf xxf xx ( )daf xx ( )

12、daf xx 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 类似可定义类似可定义: 0000(1)( )dlim( )d .(2)( )d( )d( )dlim( )lim( )bbaabaabf xxf xxf xxf xxf xxf x dxf x dx 只要有一个极限不存在只要有一个极限不存在 , 就称就称( )df xx 发散发散 .第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 ,)()(的原函数是若xfxF引入记号引入记号; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似则有类似 N L 公式的

13、计算表达式公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 例例30 求求 201d ;xex （）2d2;1xx （ ）d3.lnexxx （ ）例例31 讨论讨论 的敛散性的敛散性 . 1d(0,0)paxapx 例例32 求求0d (0).pttet p 例例33 求求2211sind.xxx 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 22200021(1)dlimdlim()2

14、111lim()222bxxxbbbbbexexee 例例30 求求 201d ;xex （）2d2;1xx （ ）d3.lnexxx （）2d(2)arctan 1()22xxx ddln(3)lnln lnlneeexxxxxx xoy211xy第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 111lim lnlim(lnln ),11d1limlim(),111babbppabppabbxbapxxxbappp 1,1,11,1ppappp 例例31 讨论讨论 的敛散性的敛散性. 1d(0,0)paxapx 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应

15、用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 例例32 求求0d (0).pttet p tpept原式00d1teptptpep21021p第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 例例33 求求2211sind.xxx 2221111sindsindxxxxx 211limsindbbxx 21lim cosbbx 2cos1coslim bb1 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 ( (二二) ) 无界函数的广义积分无界函数的广义积分瑕积分瑕积分定义定义5. 1. 3 设函数设函数 f (

16、x) 在区间在区间(a, b上连续上连续且且 . 取取 Aa, 如果极限如果极限 存在存在, 则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x) 在在 (a, b 上的广义积分上的广义积分, 记作记作 即即 此时也称广义积分此时也称广义积分 收敛收敛, 否则就称广义积分否则就称广义积分 发散发散. A 称为称为瑕点瑕点 . lim( )xaf x lim( )dbAAaf xx ( )dlim( )dbbaAAaf xxf xx ( )dbaf xx ( )d ,baf xx ( )dbaf xx 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 类似可定义类似

17、可定义: （1）x=b 为为 f(x) 的无穷间断点时的无穷间断点时: ( )lim( ).bBaaBbf x dxf x dx （2）无穷间断点）无穷间断点x=c位于区间位于区间(a, b) 内内: ( )( )( )lim( )lim( )bcbaacCbaCCcCcf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 若瑕点若瑕点,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式的计算表达式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛

18、则也有类似牛 莱公式的莱公式的若若 b 为瑕点为瑕点, 则则若若 a 为瑕点为瑕点, 则则若若 a , b 都为瑕点都为瑕点, 则则, ),(bac则则( )()F bF c ()( )F cF a ( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx当上式右边两个广义积分都收敛当上式右边两个广义积分都收敛, 称广义积分收敛称广义积分收敛. 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 例例34 求求2311320101d(1)d(2)(3)1(1)xdxxxxx 11001(1)d 2 121xxx 1010122211001ddd11

19、(2)xxxxxxxx 所以广义积分发散所以广义积分发散 .222333313001311133301ddd(3)(1)(1)(1)3(1)3(1)3(12).xxxxxxxx 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 11001001110011dlimdlimlnlim(0ln ),1,11limlim(1)1,1111qqtttttqqttxxxxxtqqxtqqqq 例例35 讨论讨论 的敛散性的敛散性 . 101(0)qdxqx .11110时发散时收敛，当当反常积分qqdxxq第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定

20、积分及其计算定积分及其计算 内容小结内容小结: 1.1.定积分的概念与性质定积分的概念与性质 2.2.微积分基本公式微积分基本公式 3.3.定积分的积分法定积分的积分法 4.4.反常积分反常积分 01( )lim()nbiiaif x dxfx ，8 8个性质个性质 积分上限函数积分上限函数 ( )( )d ()xa xf tt axb )()()()(aFbFxFdxxfbaba 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积

21、的关系3第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系13第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系23第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注

22、意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系33第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系43第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系53第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系63第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系73第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分