2022年2022年高中数学经典错因正解汇总第八章平面向量与空间向量

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载第八章平面对量与空间向量精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一.学问导学§ 8.1 平面对量及其运算精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 模（长度） ：向量 ab 的大小,记作| ab | ；长度为的向量称为零向量,长度等于个单位长度的向量,叫做单位向量；2. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,又叫做共线向量；3. 相等向量：长度相等且方向相同的向量；4. 相反向量：我们把与向量a 长度相等,方向相反的向量叫做a 的相反向量；记作- a ；5. 向量的加法：求两个向量和的运算；已知 a , b ；在平面内任取一点

2、,作ab = a , bc = b ,就向量ac 叫做 a 与 b 的和；记作 a + b ；6. 向量的减法：求两个向量差的运算；已知 a , b ；在平面内任取一点o,作 oa = a , ob =b ,就向量 ba 叫做 a 与 b 的差；记作 a - b ；7. 实数与向量的积：（ 1）定义：实数 与向量 a 的积为一个向量,记作 a ,并规定： a 的长度 | a |=| | ·|a | ；当 0 时, a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时, a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时, a = 0（ 2）实数与向量的积的运算律：设 . 为实数,就 a = a + a

3、= a + a a + b = a + b8. 向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件为有且只有一个实数 ,使得 b a ；另外,设 a =（ x 1 、y1） 、b = x 2、y 2 , 就 a /bx1y2 x2y1=09. 平面对量基本定理：假如 e1 .e2 为同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载只有一对实数 1. 2 使a 1 e1 2 e2,其中不共线向量e1 . e2叫做表示这一精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载平面内全部向量的一组基底；精品学习资料精选学习资料 - - -

4、 欢迎下载10. 定比分点设 p1, p2 为直线l上的两点,点p 为不同于p1 , p2 的任意一点就存在一个实数 、 使精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p1 p2= p1p2, 叫做分有向线段所成的比；如点 p1.p.p2 的坐标分别为x 1,y1 ,x、y,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 2 、y 2 ,就有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载特殊当 =1,即当点p 为线段 p1p2 的中点时,有11. 平面对量的数量积x x1x2 2y y1y22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 定义：已知两个非零向量a 和 b ,它们的夹

5、角为 ,就数量 | a |b |cos 叫做 a 与 b 的数量积 或内积 ,记作 a · b ,即 a · b | a |b |cos 规定：零向量与任一向量的数量积为0；(2) 几何意义： 数量积 a · b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影| b |cos 的乘积；(3) 性质：设 a , b 都为非零向量,e 为与 b 方向相同的单位向量, 为 a 与 e 的夹角,就 e · a a · e | a |cos , a ba · b 0当 a 与 b 同向时, a · b | a |b |当

6、 a 与 b 反向时, a · b | a |b |特殊地, a · a | a | 2 或| a | a a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cosabab|a · b | |a |b |精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(4) 运算律：a · b b · a 交换律 a · b b · a a · b a b · c a · c b · c（5）平面对量垂直的坐标表示的充要条件： 设 a =（ x 1 、y1）、b = x 2、y 2 , 就精品学习资料精选

7、学习资料 - - - 欢迎下载aba · b =| a | ·|b |cos90 °=0abx1x2 +y1y2=012. 平移公式：/设 p（ x,y ）为图形 f 上的任意一点,它在平移后图形f/ 上对应点为p/ （ x/ ,y/ ）,且设精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pp /的坐标为（ h, k）,就由op/ op pp/,得：（ x , y ）（ x, y ） +（ h, k ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.疑难学问1向量的概念的懂得,特殊为特殊向量“零向量”向量为既有大小,又有方向的量向量的模为正数或0,为可以进行大小

8、比较的,由于方向不能比较大小,所以向量为不能比大小的两个向量的模相等,方向相同,我们称这两个向量相等,两个零向量为相等的,零向量与任何向量平行,与任何向量都为共线向量；2在运用三角形法就和平行四边形法就求向量的加减法时要留意起点和终点；3对于坐标形式给出的两个向量,在运用平行与垂直的充要条件时,肯定要区分好两个公式,切不行混淆；因此,建议在记忆时对比记忆；4定比分点公式中就要记清哪个点为分点；仍有就为此公式中横坐标和纵坐标为分开运算的；5平移公式中第一要知道这个公式为点的平移公式,故在使用的过程中须将起始点的坐标给出,同时留意次序；三.经典例题 例 1和 a = 3、 4 平行的单位向量为 ；

9、134精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载错解 ：由于 a 的模等于5,所以与 a 平行的单位向量就为5错因 ：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情形；a , 即 5 , 5 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载正解 ：由于 a 的模等于 5,所以与 a 平行的单位向量为1 a ,即 3434, 或 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5,5555点评 ：平行的情形有方向相同和方向相反两种；读者可以自己再求解“和a = 3、 4 垂直的单位向量” ,结果也应当为两个； 例 2 已知 a（ 2, 1）, b（ 3, 2

10、）, c（ -1 , 4）,如 a.b.c 为平行四边形的三个顶点,求第四个顶点d的坐标；错解： 设 d 的坐标为（ x,y）,就有 x-2=-1-3,y-1=4-2,即 x=-2 ,y=3；故所求 d的坐标为（ -2 , 3）；错因 ：思维定势；习惯上,我们认为平行四边形的四个顶点为依据abcd的次序；其实,在 这个题目中,根本就没有指出四边形abcd；因此,仍需要分类争论；正解 ：设 d的坐标为（ x , y ）当四边形为平行四边形abcd时, 有 x-2=-1-3, y-1= 4-2,即 x= -2 , y= 3 ；解得 d 的坐标为（ -2 , 3）；当四边形为平行四边形adbc时,

11、有 x-2=3- （-1 ）, y-1= 2-4,即 x= 6 , y= -1 ；解得 d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的坐标为（ 6, -1 ）；当四边形为平行四边形abdc时, 有 x-3=-1-2, y-2=4-1,即 x= 0, y= 5；解得 d 的坐标为（ 0, 5）；故第四个顶点d的坐标为（ -2 , 3）或（ 6, -1 ）或（ 0,5）； 例 3 已知 p13、2, p2（ 8, 3）,如点 p 在直线 p1p2 上,且满意 |p 1p|=2|pp 2| ,求点 p 的坐标；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载错解 ：由 |pp|=2|pp | 得,

12、点 p 分 p p 所成的比为2,代入定比分点坐标公式得p（ 198 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载121 2、33错因 ：对于 |p 1p|=2|pp 2| 这个等式,它所包含的不仅为点p 为 p 1, p2 的内分点这一种情形,仍有点 p 为 p 1, p2 的外分点；故须分情形争论；正解 ：当点 p 为 p 1, p2 的内分点时, p 分 p1 p2 所成的比为2,此时解得p（ 19 、 8 ）；33当点 p 为 p 1,p2 的外分点时, p 分 p1p2 所成的比为 -2 ,此时解得p（ 13, 4）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就所求点p 的坐

13、标为（19 、 8 ）或（ 13, 4）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载33点评 ：在运用定比分点坐标公式时,要审清题意, 留意内外分点的情形；也就为分类争论的数学思想；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 例 4设向量a x1、 y1 , b x2 、 y2 , b0 ,就 “a / b ”为“x1 y2x2 y1 ”的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件分析 ：依据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：如a / b , b

14、0 ,就 ar b ,代入坐标得： x1 、 y1r x2 、 y2 ,即x1rx 2 且精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y1ry 2消去 r ,得x1 y2x2 y1 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载反之,如x1 y2x2 y1 ,就x1rx 2 且y1ry 2 ,即 x1、 y1 r x2 、 y2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 ar b , a / b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故“ a / b ”为“x1 y2x2 y1”的充要

15、条件精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案： c点评 ：此题意在巩固向量平行的坐标表示 例 5 已知 a =（1, -1 ）, b =（ -1 ,3）, c =（ 3,5）,求实数x.y ,使 c =x a +y b分析 ：依据向量坐标运算和待定系数法,用方程思想求解即可解：由题意有x a +y b =x （ 1, -1 ） +y（-1 , 3） =（ x-y , -x+3y ） 又 c = （ 3,5）x-y=3 且-x+3y=5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解之得 x=7且 y=4点评 ：在向量的坐标运算中常常要用到解方程的方法 例 6 已知 a（ -1 ,2）

16、, b（ 2, 8）, ac = 1 ab, da = -31 ba ,求点 c.d 和向量 cd3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的坐标分析 ：待定系数法设定点c.d 的坐标,再依据向量acab , da和 cd关系进行坐标精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载运算,用方程思想解之 解 ：设 c.d 的坐标为x1 、 y1 . x2 、 y2 ,由题意得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ac =（ x11、 y12 ）, ab =（ 3,6）,da =（1x2 、2y2 ）, ba =（ -3 ,-6 ）精品学习

17、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 ac = 1 ab, da = -31 ba3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ x11、 y12 ） = 1 （ 3,6）,（31x2 、2y2 ） =-1 （ -3 ,-6 ）3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 x11、 y12 =1、2, 1x2 、2y2 =1、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x111且 y122 ,1x21 且 2y22精品学习资料精选学习资料

18、 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x10且 y14,且 x22y20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 c.d 和向量 cd的坐标分别为（0, 4）.（ -2 , 0）和（ -2 , -4 ）小结 ：此题涉及到方程思想,对同学运算才能要求较高四.典型习题1.,就有（）a.b.c.d.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 设向量a、b、 c 满意abc0 、 ab、| a |1、| b |2 、就 | c |2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1b2c4d5/3. 将函数 y= 4x 8 的图象 l 按向量 a 平移到

19、 l , l 的函数表达式为y= 4x ,就向量 a =精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 从点沿向量a3 i6 j方向取线段ab,使| ab |5 ,就 b 点坐标为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. .为单位向量,的夹角为,以.为邻边作平行四边形；求平行四边形对角线的长；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6. 已知a b c的三内角a、 b、 c所对边的长 分别为a、b、c设向量精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载paa6、c 、 qbba、ca 、如b3p / q 、就角 c 的大小为c2

20、2d3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一.学问导学§ 8.2 平面对量与代数.几何的综合应用精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和,减去这两边与它们夹角的余弦的积的2 倍、 即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b 2c 22bc cos a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b2a 2c 22 ac cos b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - -

21、 - 欢迎下载c2a 2b 22 ab cos c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直径,即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.疑难学问a sin ab sin bc2rsin c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 中学学过的勾股定理只为余弦定理的一种特殊情形；如当c =时,2cos c=0,此时精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载有 c2a2b 2 ；精品学习资料精选学习资料

22、 - - - 欢迎下载2 由于本节内容与代数.几何联系比较紧,故读者需对解斜三角形.解析几何中的圆锥曲线等学问特别熟识方可；三经典例题222 例 1 在 abc中,已知a b bcc ,就角 a 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab36c 2d或 2333精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载错解 ：选 a错因 ：公式记不牢,误将余弦定理中的“减”记作“加”；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22222正解 ：a b bc c b c 2bc 21 b2 c22bc·cos 2 23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a3选c.精品学习

23、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 例 2 在 abc中,已知错解 ： 等腰三角形；a cos ab cos b ,试判别其外形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载错 因 ： 忽 视 了 两 角 互 补 , 正 弦 值 也 相 等 的 情 形 ； 直 接 由a cos ab cos b 得 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s i na co sa等腰三角形s i nb co sb ,即 sin 2 asin 2 b ,就2 a2 b ；接着下结论,所求三角形为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载正解 ：由a cos ab cos b 得,sina co

24、s asinb cos b ,即sin 2 asin 2 b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 2 a2 b 或 2a2b1800 ,故三角形为直角三角形或等腰三角形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 例 3 在中,试求周长的最大值；并判定此时三角形的外形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载错解 ：由于题目中显现了角和对边,故使用余弦定理,进一步想使用不等式或二次函数求最值错因 ：其实这种思路从表面上看为可行的,实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载正解 ：由

25、正弦定理、 得 a=262 sina、 b=262 sinb.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a+b=262 sina+sinb=462 sinababcos22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sinab =sin75 =62o224精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a+b=62 ab2cos622 =8+43 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a=b 时、 三角形周长最大、 最大值为 8+43 +6

26、2 .此时三角形为等腰三角形 例 4 在中,其内切圆面积为,求面积；分析 ：题中涉及到内切圆,而内切圆直接与正弦定理联系起来了,同时正弦定理和余弦定理又由边联系起来了；解：由已知 、 得内切圆半径为23 .由余弦定理 、 得三角形三边分别为16、10、14. 例 5 已知定点 a2、1与定直线 l :3x-y+5=0、点 b 在 l 上移动 、 点 m 在线段 ab 上、 且分 ab 的比为 2、 求点 m的轨迹方程 .分析 : 向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁、 形成了代数与几何联系的新纽带.解: 设 bx 0、y 0、mx、y am =x-2、y-1、mb =x 0 -

27、x、y 0-y、由题知 am =2 mb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x22x0x3x2x02精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y12 y0y3 y1y02精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3x由于 3x0-y 0+5=0、 3×223 y-21+5=0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2化简得 m的轨迹方程为9x-3y+5=0 例 6 过抛物线 :y=2pxp>0 顶点 o作两条相互垂直的弦oa.ob如图 、 求证 : 直线 ab过肯定点 、 并求出这肯定点.分析 :对于向量a=

28、 x1、 y1、 b= x2、 y2、 有 a/ bx1y2- x2y1=0. 可以用来处懂得析几何中的三点共线与两直线平行问题.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明 : 由题意知可设a 点坐标为 t 21、t 1、b点坐标为 2 pt 22、t 2 2 p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载oa =t 21、t 1、ob =2 pt 22、t 2、2 p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载oa ob、 oa . ob =022tt1.2+t 1.t 2=02 p2 p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

29、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2t 1.t 2=-4p 设直线 ab 过点 ma、b、就 bm =a-t 22、b-t2、ba=2 pt 2t 21-2、t 1-t 2、2 p2 p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于向量 bm 与 ba 为共线向量 、 （ a-化简得 2pa-2p=bt1+t 2明显当 a=2p、b=0 时等式对任意的成立直线 ab过定点 、 且定点坐标为m2p、0t 22） t 1-t 2= b-t22 pt 2t 21-22 p2 p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载四典型习题1已知

30、锐角三角形的边长分别为2, 3, x ,就第三边x 的取值范畴为（）a1 x 5b5 x 13c13 x 5d 1 x52三顶点,就的面积为_；3 abc中,如边a： b： c2 ：1 3 ： 2,就内角 a；4某人在c 点测得塔顶a 在南偏西80°,仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10米到 0,测得塔顶a仰角为 30°,就塔高；5 在 abc 中,已知b30°, b 50, c 150,解三角形并判定三角形的外形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6在 abc 中,已知cot acot bcot c,判定 abc 为什么三

31、角形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 § 8.3 空间向量及其运算一.学问导学1空间直角坐标系： （1）如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为1 ,这个基底叫单精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载位正交基底,用 i、j 、 k表示；（ 2）在空间选定一点o 和一个单位正交基z精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载底 i 、 j 、 k ,以点 o 为原点,分别以i 、 j 、 k 的方向为正方向建立三条数轴：ax、y、z精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - -

32、- 欢迎下载x 轴. y 轴. z 轴,它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系ki o jy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载oxyz ,点 o 叫原点, 向量i、 j 、 k 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的x平面叫坐标平面,分别称为xoy 平面, yoz 平面, zox 平面；2空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系oxyz 中,对空间任一点a ,存在唯独精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的有序实数组 x、 y、 z ,使 oaxiy jz k ,有序实数组 x、 y、 z叫作向量a 在空间精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料

33、 - - - 欢迎下载直角坐标系oxyz 中的坐标,记作a x、y、 z, x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3空间向量的直角坐标运算律：（ 1）如 aa1、a2 、 a3 , bb1 、b2 、 b3 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 ab a1b1、 a2b2 、 a3b3 , aba1b1、 a2b2 、 a3b3 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aa1 、a2 、a

34、3 r , a ba1b1a2 b2a3b3 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a / ba1b1 、 a2b2 、 a3b3 r , aba1b1a2b2a3b30 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）如a x1 、 y1、 z1 , bx2 、 y2 、 z2 ,就 abx2x1 、 y2y1 、 z2z1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标精品学习资料精选学习资料 - - -

35、欢迎下载4模长公式：如aa 、 a 、a , 就 | a |a aa 2a 2a 2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载123123精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5夹角公式：abcos aba1b1a2b2a3b3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| a | | b |222222aaabbb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载123123精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6两点间的距离公式：如 ax 、 y 、 z ,bx 、y 、z ,就 | ab|2abxx 2yy z2z 2精品

36、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载111222212121精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.疑难学问1.对于这部分的一些学问点,读者可以对比平面对量的学问,看哪些学问可以直接推广,哪些需要作修改,哪些不能用的,稍作整理,以便于记忆；2.空间向量作为新加入的内容,在处理空间问题中具有相当的优越性,比原先处理空间问题的方法更有敏捷性,所以本节的学习难点在于把握应用空间向量的常用技巧与方法,特殊为体会其中的转化的思想方法如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决, 如何取向量或建立空间坐标系,找到所论证的平行垂直等关系,所求的角和距离用向量怎样来表达为问题的

37、关键3.向量运算的主要应用在于如下几个方面：(1) 判定空间两条直线平行 共线 或垂直；(2) 求空间两点间的距离；(3) 求两条异面直线所成的角.4 .本节内容对于立体几何的应用,读者需自行复习,这里不再赘述；三.经典例题 例 1 以下所表示的空间直角坐标系的直观图中,不正确选项（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abcd错解 ： b.c. d中任选一个错因 ：对于空间直角坐标系的表示不清晰；有共同的原点, 且两两垂直的三条数轴,只要符合右手系的规定,就可以作为空间直角坐标系正解 ：易知 c 不符合右手系的规定,应选c 例 2 已知点 a 3, 1,1 ,点 b 2,2,3 ,

38、在 ox.oy.oz 轴上分别取点l.m.n,使它们与a.b 两点等距离错因 ：对于坐标轴上点的坐标特点不明；使用方程解题的思想意识不够；分析 ：设 ox 轴上的点 l 的坐标为 x , 0,0 ,由题意可得关于x 的一元方程,从而解得x的值类似可求得点m. n 的坐标解：设 l.m.n 的坐标分别为x , 0, 0 . 0 , y, 0 .0 , 0, z 由题意,得22x 3 1 1 x 2 4 9,229 y 1 1 4 y 2 9,229 1z 1 4 4 z 3 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分别解得x3. y1、 z3 ,2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

39、下载故 l 3、0、0、 m 0、1、0、 n 0、0、 32评注：空间两点的距离公式为平面内两点的距离公式的推广：如点p.q的坐标分别为x 1,y1,z 1 .x 2, y2, z2 ,就 p.q的距离为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pq x2x1 2 y2y1 2 z2z1 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载必需娴熟把握这个公式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 例 3 设 aa1 、 a2 、 a3 , bb1 、b2 、 b3 ,且ab ,记| ab |m ,求 ab 与 x 轴正方精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选

40、学习资料 - - - 欢迎下载向的夹角的余弦值错解 ：取 x 轴上的任一向量c x、0、0,设所求夹角为,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 abca1b1 、a2b2 、a3b3 x、0、0a1b1 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cos ab ca1b1 xa1b ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1| ab | | c |mxm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即余弦值为a1b1 m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载错因 ：审题不清

41、；没有看清“x 轴正方向”,并不为x 轴精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载正解 ：取 x 轴正方向的任一向量cx、0、0,设所求夹角为,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ab ca1b1、 a2b2 、 a3b3 x、0、0 a1b1 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 cosabc a1b1 xa1b1 ,即为所求精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| ab | | c |mxm 例 4 在 abc中,已知ab 2、4、0、bc 1、3、0,就 abc

42、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：ba2、4、0、 bc1、3、0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cosba、 bcbabc2122=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 abc 135°| ba | bc |25102精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 例 5 已知空间三点a0、2、3、b 2、1、6、c1、 1、5 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求以向量ab、 ac 为一组邻边的平行四边形的面积s；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如向量 a 分别与向

43、量ab、 ac 垂直,且 | a | 3 ,求向量 a 的坐标精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析 ：ab2、1、3、 ac1、3、2、cosbacab| abac1| ac |2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 bac 60°,s| ab | ac | sin 6073精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 a x、y、z,就 aab2xy3z0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aacx3y2z0、 | a |3x 2y2z 23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得 x y z 1 或 x y z 1, a 1、1、

44、1或 a 1, 1, 1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 例 6 已知正方体ac1 的棱长为 a , e 为 cc1 的中点, o 为对角线bd1 的中点,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求异面直线cc1 和bd1 的距离精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：以 d 为原点,da、 dc 、 dd1 所在的直线分别为x 轴, y 轴. z 轴建立空间直角坐标系,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 aa、0、0、ba、 a、0、c 0、 a、0d 1c1a1b1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载eb1 a、 a、 a、 a1 a、0、 a、 d 0、0、0 ,odc设 e x、 y、 z ,ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 e 在平面a1 db 上,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a1 ea1da1b ,即 xa、 y、 za a、0、a0、 a、 a ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xaaya