2022年2022年高中数学不等式典型例题解析

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载概念.方法.题型.易误点及应试技巧总结不等式一不等式的性质 ：1同向不等式可以相加； 异向不等式可以相减 ：如 abc、 d,就a cb d（如 ab、 cd ,就 acbd ）,但异向不等式不行以相加；同向不等式不行以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,但不能相除； 异向不等式可精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以相除 ,但不能相乘：如 ab0、 cd0 ,就 acbd （如 ab0、0cd ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n就 ab ）； cd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3左右同正不等

2、式：两边可以同时乘方或开方：如 abn an b ；0 ,就 abn 或精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4如 ab0 , ab ,就 11 ；如 abab0 , ab ,就 11 ；如ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222（1）对于实数 a、 b、 c 中,给出以下命题：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 如a2b、 就acbc； 如acbc、 就ab ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 如ab0、 就a 2babb 2 ； 如a ab0、就 11 ；ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 如ab0、 就a； 如abb0、就

3、 ab ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 如ca b0、 就acab； 如ab、 11 ,就 a cbab0、 b0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中正确的命题为 （答：） ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）已知1xy1 ,1xy3 ,就 3xy 的取值范畴为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）已知 ab c ,且 abc0、 就（答： 13xyc 的取值范畴为 a7 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二不等式大小比较的常用方法：（答：2、1）2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1作差：作差后

4、通过分解因式.配方等手段判定差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7查找中间量或放缩法；8图象法；其中比较法（作差.作商）为最基本的方法；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）设 a0且a1、 t0 ,比较1 loga2tt和 log a1 的大小2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答：当a1 时, 1 logtt1log（ t1 时取等号） ；当 0a1 时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 logtlo

5、gt1 （ taa221时取等号）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aa22（2）设 a2 ,1pa, qa22 a24 a 2 ,试比较p、 q 的大小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答： pq ）；（3）比较 1+log x 3 与 2 log x2 x0且x1) 的大小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答：当0x1或 x4时,1+log3x 3 2log x 2 ；当1x4时,1+log3x 3 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2log x 2 ；当 x4 时, 1+ logx33 2log x 2 ）精品学习资料精选学习资料 -

6、 - - 欢迎下载三利用重要不等式求函数最值时,你为否留意到： “一正二定三相等,和定积最大,积定和最小 ”这 17 字方针； 如（ 1） 以下命题中正确选项精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. yx1 xx2的最小值为 23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b . yx22的最小值为 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c . y23 x4 x x0 的最大值为 243精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d. y23x4 x x0 的最小值为 243（答： c）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） 如 x2 y1 ,就 2x

7、4y 的最小值为 （答： 22 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3） 正数 x、 y 满意 x2 y1,就 1x1 的最小值为 y（答： 322 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 常用不等式 有：（1）a 2b22abab 22依据目标不等式左右11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的运算结构选用 ；（2）a.b.cr,a2b 2c2ababbcca（当且仅当 abc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载时,取等号）；（ 3）如 ab0、 m0 ,就 bbm （糖水的浓度问题） ；如aam精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

8、下载假如正数 a . b 满意 aba b3 ,就 ab 的取值范畴为 （答： 9、）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载五证明不等式的方法：比较法.分析法.综合法和放缩法比较法的步骤为：作差（商）后通过分解因式. 配方.通分等手段变形判定符号或与1 的大小,然后作出结论； .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载常用的放缩技巧有：1111111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn1nn1n 2nn1n1n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载111k1kkk1k1k2kk1k精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如（ 1） 已知

9、 ab c ,求证：a 2bb 2cc 2 aab 2bc 2ca2；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2已知 a、 b、 cr ,求证：a 2 b 2b 2 c2c2 a 2abc abc ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）已知a、b、 x、 yr,且 11 、 xy ,求证：xy；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abxayb4如a.b.c为不全相等的正数,求证：abbcca精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lglglg ab 222lcg ；lglg精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（5）已知a、b、cr ,求证：a2

10、b 2b 2c2c2 a2abc abc ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6 如 nn *,求证： n121n1n21n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7 已知 | a | | b | ,求证： | a | b | a | b | ；| ab | ab |精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（8）求证： 11112 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2232n2六简洁的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤为：（1）分解成如干个一次因式的积, 并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上, 从最大根的右上方依次

11、通过每一点画曲线；并留意 奇穿过精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载偶弹回 ；（ 3）依据曲线显现f x的符号变化规律,写出不等式的解集；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）解不等式 x1x2 20 ；（答： x | x1 或 x2 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）不等式 x2x22x30 的解集为 （答： x | x3 或 x1 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）设函数f x.g x的定义域都为 r,且f x0的解集为 x |1x2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载g x0 的解集为,就不等式f xg

12、x0 的解集为 （答： 、12、 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4）要使满意关于 x 的不等式2 x 29xa0 （解集非空） 的每一个 x 的值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载至少满意不等式 x2 .4 x30和x26 x80 中的一个,就实数 a 的取值范畴为（答： 7、 81 ）8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载七分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路为先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式, 并使每一个因式中最高次项的系数为正,最终用标根法求解； 解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母； 如精品学习资

13、料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）解不等式5xx22 x31（答： 1、12、3 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2 ） 关于 x 的 不 等 式 axb0 的 解 集 为1、 , 就 关 于 x 的不 等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载axbx20 的解集为 （答： 、12、 ）.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载八肯定值不等式的解法：1分段争论法（ 最终结果应取各段的并集）： 如解不等式 | 23 x |2| x1 |42精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（

14、2）利用肯定值的定义；（ 3）数形结合； 如解不等式 | x | x（ 4）两边平方： 如1|3（答： xr ）；（答： 、12、 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如不等式 | 3x2 | | 2xa | 对 xr恒成立,就实数 a 的取值范畴为 ；（答： 4 ）3九含参不等式的解法 ：求解的通法为“定义域为前提,函数增减性为基础,分类争论为关键”留意解完之后要写上： “综上,原不等式的解集为 ” ；留意：按参数争论, 最终应按参数取值分别说明其解集； 但如按未知数争论, 最终应求并集. 如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（1）如 loga31 ,就 a 的取值

15、范畴为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答： a1 或02a）；3ax 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）解不等式ax1xar精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答：a或 x0 ）0 时, x | x0 ；a0时, x | x1 或 x0 ；a a0 时, x | 1ax0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载提示：（ 1） 解不等式为求不等式的解集,最终务必有集合的形式表示；（ 2）不等式解集的端点值往往为不等式对应方程的根或不等式有意义范畴的端点值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如关于 x 的不等式axb0的解集为 、

16、1,就不等式x2axb0 的解集为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 （答：（ 1、2）十一含肯定值不等式的性质：a.b 同号或有 0| ab | | a | b |a.b 异号或有 0| ab | | a | b | a | b | | ab | ；| a | b | | ab | .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如设 fxx2x13 ,实数 a 满意 | xa |1 ,求证： |f xf a |2| a |1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载十二不等式的恒成立 、 能成立 、 恰成立等问题 ：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分

17、别变量法”转化为最值问题,也可抓住宅给不等式的结构特点,利用数形结合法）1). 恒成立问题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如不等式 fx如不等式 fxa 在区间 d 上恒成立 、 就等价于在区间 d 上b 在区间 d 上恒成立 、 就等价于在区间 d 上fx minafx maxb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如（ 1） 设实数x、 y 满意 x2 y121 ,当xyc0 时, c 的取值范畴为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答：21、）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（

18、2）不等式 x4x3a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范畴 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答： a1 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3） 如不等式 2x1范畴 m x21 对满意 m2 的全部 m 都成立,就 x 的取值7131（答：（、）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载221 n 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4）如不等式 值范畴为 1 n a2对于任意正整数 n 恒成立,就实数 a 的取n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答： 2、 3 ）；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（5）如不等式取值范畴 .x22mx2m10 对 0x1的全部实数 x 都成立,求 m 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2). 能成立问题如在区间d 上存在实数x 使不等式fx（答： m1 ）2a 成立 、 就等价于在区间d 上精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx maxa ；如在区间 d 上存