离散性随机变量的均值(教学设计)

1、( ) ( )( )( )231 离散型随机变量的均值宁波北仑明港高级中学 柳勋一、教学内容解析离散型随机变量的均值是随机变量及其分布第三节第一小节的内容，本节课是第一课时. 本节课主要的学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的概念，引导学生通过实际问题建立取有限值的离散型随机变量均值的概念，然后推导出离散型随机变量均值的线性性质E aX +b =aE X +b以及离散型随机变量服从两点分布的期望E X =P和服从二项分布期望E X =nP取有限值的离散型随机变量的均值是在学生学习完离散型随机变量及其分布列的概念基础上，进一步研究离散型随机变量取值特征的一个方面 .学习本节课的内容既是随

2、机变量分布的内容的深化，又是后续内容离散型随机变量方差的基础，所以学好本节课是进一步学习离散型随机变量取值特征的其它方面的基础 .离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字 特征，是从一个侧面刻画随机变量取值的特点.在实际问题中，离散型随机变量的均值具有广泛的应用性 .因此我以为本节 课的重点是：取有限值的离散型随机变量均值的概念.二、教学目标设置：依据普通高中数学课程标准（实验）对本节课的要求，并考虑到学生的 实际和学习能力，特将本节课的教学目标设定为：1.通过实际问题，使学生体会离散型随机变量均值的概念，理解离散型随机变量均值的线性性质，会计算简单的离散型随机变量的均

3、值，并能解决一些简 单的实际问题.2.通过离散型随机变量均值概念的探究形成，经历建构数学概念这一过程，第 1 页i( )使学生学会概括、抽象数学问题的方法，通过简单的应用，培养学生的数学应 用意识.重点：离散性随机变量的均值概念以及求法难点：对离散型随机变量的均值的理解，并能解决简单的实际问题。 三、学生学情分析本节课之前，学生已有平均值、概率、离散型随机变量及其分布列，二项分布及其应用等基础知识，具备了学习本节知识的知识储备 .本节课是一节概念新授课，教材从学生熟悉的平均值出发，从身边的实际问题中抽象出了取有限值的离散型随机变量均值的概念，这需要一定的概括和抽象能力 .鉴于学生的概括、抽象能

4、力不是太强，因此学生对概念的形成和理解会有一定的困难 .基于以上认识，我以为本节课的教学难点是：离散型随机变量均值概念的形成和理解。 四、课堂策略分析：本节课从总体上讲是一节概念教学课 .在教学活动中，学生是一个积极的探索者，教师的作用是要创设一种学生能够主动探究的情境，帮助学生形成科学的数学概念。基于这种考虑，结合本节课知识的逻辑关系，我设计了以下的学 习顺序：温故知新 引入新课问题引导 讲授新课小试牛刀例题讲解 巩固新知学以致用 提升自我课堂小结，巩固反思五、教学过程：（一）、温故知新 引入新课：1、分布列:设离散型随机变量 X 可能取得值为 x ，x ，x1 2 3，X取每一个值 x （

5、i=1，2，）的概率为P X =x =Pi i，则称表第 2 页LXPx1P1x2P2xiPi为随机变量的概率分布，简称的分布列2、离散型随机变量的性质：（1）P ³0, i =1,2,3 L i；（2）P +P +L + p = 1 2 i1（二）、问题引导 讲授新课：教师：对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的 方差。我们能否用一些量来刻画随机变量的这些数字

6、特征？问题 1：如果你期中考试各门成绩为：90、81、79、69、85、91；那你的平均 成绩是多少？学生答：（90+81+79+69+85+91）÷6=82.5教师：得数是各门学科的平均数，也就是我们平常所说的算术平均数，若有n 个数据求平均数，则有x =x +x +L +x 1 2nn；问题 2：你的期中数学考试成绩为 80，平时表现成绩为 70，学校规定：在你学分记录表中，该学期的数学成绩中考试成绩占 70%、平时成绩占 30%，你最终 的数学成绩为多少？学生答：80×70%+70×30%=77教师：77 这个得数也是一种平均数，只是在计算平均数时，我们根据

7、每个数据所占的比重不同在它的前面所乘的系数也不同，这样得到的平均数我们叫做加权平均数。一般地，若有 n 个数据x , x , , x 1 2求他们的加权平均数，则有：第 3 页， ()3 213 2 13 2 1x =a x +a x +L +a x a +a +L+a = 1 1 2 2 n n 1 2 n1教师：权：称棰，权衡轻重的数值；权数是起权衡轻重作用的数值；加权平均：计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的 重要性不同，分别给予不同的权数。练习：某商场要将单价分别为 18 元/kg、24 元/kg、36 元/kg 的 3 种糖果按 3： 2：1 的比例混合销售，如何对

8、混合糖果定价才合理？学生答：3 2 1 x =18 ´ +24 ´ +36 ´ =6 6 623问题 我们换个角度来看待这个问题，如果我们把混合糖果搅拌充分均匀，从中随机选取一颗，记 X 为这颗糖果所属种类的单价（元/kg），你能写出 X 的分 布列吗？学生：也就是说这个糖果是 18 元/kg 的概率为 ，为 24 元/kg 的概率为 ，为6636 元/kg 的概率为 ，那：设混合糖果中各糖果的单价为随机变量 X，那么6的取值可能是： 18、24 、36；取到各个值的概率分别为： 、 、 ；相当于6 6 6知道了该离散型随机变量 X 的分布列：教师：在这里我们发现

9、糖果X 18 2436的合理价格合理价格 =18×+24× +36× ，在分布 6 6 6P362616列中也有所体现，其实就是18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)，可以说我们所得到的合理价格应该 就是 X 取值的一个加权平均数，也称之为离散性随机变量的均值。教师：如果你买了 1kg 这种混合糖果，你要付多少钱？学生：23 元；教师：而你买的糖果的实际价值刚好是 23 元吗？学生： 不一定，看运气；教师：买的糖果的实际价值其实相当于做了一次抽样第 4 页1 1 2 2 n n问题：如果你知道了一个离散型随机

10、变量的分布列：XPx1p1x2p2xnpn该随机变量的平均取值应该怎样计算？学生答：x p +x p +x p教师：我们称上式计算所得的加权平均数叫做离散型随机变量 X 的均值或者数学期望，简称期望，记为：EX= x p +x p +x p1 1 2 2 n n它反映了取值的平均水平。注意：该平均数与以往的平均数有哪里不同？它是加权平均。根据什么来确定 权数？所取值的概率。思考:若布列为Y =aX +b(a、b 是常数)，X 是随机变量，则 Y 也是随机变量，它们的分XYPx1ax +b1p1x2ax +b2p2xnax +bnpn于是EY =( ax +b ) p +( ax +b ) p

11、+ +( ax +b ) p +1 1 2 2 n n由此，我们得到了期望的一个性质:（三）、小试牛刀（基础训练） 1、随机变量 X 的分布列是E ( aX +b ) =aEX +bXP30.550.370.2（1）则 E(X)=第 5 页（2）若 Y=2X+1，则 E(Y)=2、随机变量 X 的分布列是XP4a60.18b100.2E(X)=7，则 a= b=（四）、例题讲解 巩固新知：例 1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，罚不中得 0 分已知某运 动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球 1 次的得分 X 的均值是多少？小结：两点分布变式、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分

12、，罚不中得 0 分已知某 运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球 3 次；（1） 求他得到的分数 X 的分布列；（2） 求 X 的期望。小结：二项分布基础训练：一袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中有放回的取 5 次，则取到红球次数的数学期望是 （用数字作答）（五）、学以致用 提升自我1.一次英语单元测验由 20 个选择题构成，每个选择题有 4 个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得 5 分，不作出选择或选错不得分，满分 100 分，学生甲选对任一题的概率为 0.9，学生乙则在测验中对每题都从 4 个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中

13、的成 绩的期望。2 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为 0.25, 有大洪水的概率为第 6 页0. 01该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失 60 000 元，遇 到小洪水时要损失 10000 元为保护设备，有以下 3 种方案：方案 1：运走设备，搬运费为 3 800 元方案 2：建保护围墙，建设费为 2 000 元但围墙只能防小洪水 方案 3：不采取措施，希望不发生洪水试比较哪一种方案好解：用 X 、X 和 X 分别表示三种方案的损失1 2 3采用第 1 种方案，无论有无洪水，都损失 3 800 元，即X = 3 800 .1采用第 2 种方案，遇到大洪水时，损失 2 00

14、0 + 60 000=62 000 元；没 有大洪水时，损失 2 000 元，即同样，采用第 3 种方案，有于是，EX 3 800 ,1EX 62 000×P (X = 62 000 ) + 2 00000×P (X = 2 000 )2 2 2= 62019×0. 01 + 2019×(1-0.01) = 2 600 ,EX = 60000×P (X = 60000) + 10 000×P(X =10 000 ) + 0×P (X =0) 3 3 3 3= 60 000×0.01 + 10000×0.2

15、5=3100 .采取方案 2 的平均损失最小，所以可以选择方案 2 .值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机 的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的第 7 页( )( )( ) ( )( ) ( )（六）、课堂小结，巩固反思：1、一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布为XPx1p1x2p2xnpn则均值（或数学期望）：EX =x p + x p + +x p +1 1 2 2 n n ，反 映了随机变量取值的平均

16、水平；2、若Y =aX +b ，则 EY =aEX +b3、若 X 服从两点分布，则E X =P4、若X:B（n,p）（二项分布），则E X =nP六、课例的点评本节课教师能合理组织学生自主学习、合作探究，对学生的即时评价具有发展性和激励性，做到重组教材，力求让学生经历探究学习的全过程。主要的学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的概念，引导学生通过实际问题建立取有限值的离散型随机变量均值的概念，然后推导出离散型随机变量均值的线性性质 E aX +b =aE X +b 以及离散型随机变量服从两点分布的期望E X =P 和服从二项分布期望 E X =nP 。学生能够自学的内容，教师让学生自学；学生能够自己表达的，教师鼓励学生去表达；学生自己能做的，教师放手让学生去做。本节课能够有效地组织和引导学生开展以探究为特征的研究性学习，环环相扣，使接受与探究相辅相成，学生的学习境