9知识讲解_常用逻辑用语全章复习与巩固

1、常用逻辑用语全章复习与巩固【学习目标】1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词或”、且”、非”的含义2了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相 互关系3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定【知识网络】（1, I:全称命题iI含有量词的命颠|一） ,存在性命题面常逻辑用语LffiI充分条件充分必要条件I必要条件一【要点梳理】要点一：命题（1） 命题的概念：可以真假的语句叫做命题.一般可以用小写英文字母表示.其中判 断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.（2）全称量词与全称命题.如

2、“所有全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题 . 符号表示为 x M ， p（x）3）存在量词与存在性命题M ，q(x) .存在量词：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词 .如“有一个”， “存在一个”, 至少有一个” ，“有的” , “有些”等 .存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题 . 符号表示为要点二：基本逻辑联结词基本逻辑联结词有 “或”、“且”、非”.1） p q ：用“且”把命题p 和 q 联结起来，得到的新命题，读作p且q ”相当于集合中的交集 .p 和 q 联结起来，得到的新命题，读作p或q ”相

3、当（2） p q ：用“或”把命题 于集合中的并集 .p ”或的否定”，相当（ 3） p ：对命题 p 加以否定，得到的新命题，读作“非 于集合中的补集 .要点三：充分条件、必要条件、充要条件对于“若p则q”形式的命题： 若p q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若p q，但q p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； 若既有p q，又有q p，记作p q，则p是q的充分必要条件（充要条件）判断命题充要条件的三种方法（ 1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原 命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断即

4、利用A B 与B A ； BA与 A B ； A B 与BA的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法（3）利用集合间的包含关系判断，比如A可判断为A B；A=B可判断为A B，且B A ，即 A B.如图：“A u B ”BxA”x A是x B的充分不必要条件 .A B”x A是x B的充分必要条件(1)在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断(2)充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据“当且仅当” “有且仅有” “必须且只须” “等价于”"反过来也成立”等均为充要条件的同义词语要点

5、四：四种命题及相互关系如果用p和q分别表示原命题的条件和结论,q分别表示p和q的否定，则命题的四种形式为:原命题：若p则q;逆命题：若q则否命题：若 p则 q; 逆否命题：若q则 p.四种命题的关系逆命题 若q则p互“否逆否命题若q则p原命题逆命题逆否命题它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另依据和途径除、之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系要点五：命题真假的判断方法(1) 对于一般的命题，结合所学知识经过推理论证或举反例来判断;(2) 对于含有逻辑联结词的命题的真假判断，可参考下表(真值表) 命题的真假判断(利用

6、真值表)：pq非pp或qp且 q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假(3)对于“若p，则q ”型的命题，因为原命题与逆否命题同真或同假，故可以利用 其逆否命题的真假来判断.要点诠释： 当p、q同时为假时，“ p或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真” ； 当p、q同时为真时，“ p且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假” ； “ p ”与p的真假相反 要点六：量词与全称命题、特称命题全称量词与存在量词(1) 全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为 所有”、任意”、每一个”等，通常用符号 “”表示，读作 对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题

7、“对 M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“x M , p(x) ”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题(2) 存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为 有一个”，存在一个”， “至少有一个”，有点”，有些”等，通常用符号“ ”表示，读作 存在”。含有存在量词的命题，叫做特称命题。特称命题“存在 M中的一个x，使p(x)成立”可表示为“x M , p(x) ”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题对含有一个量词的命题进行否定(1) 对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p： x M , p(x)，他的否定p : x M , p(x)。全称命题的否定是特称命题。(2

8、) 对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p: x M , p(x)，他的否定p :x M , p(x)。特称命题的否定是全称命题。要点诠释：(1)命题的否定与命题的否命题是不同的命题的否定只对命题的结论进行否定(否定一次)，而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定(否定二次)(2) 一些常见的词的否定：正面词等于大于小于是都是宀曰定是至少一个至多一个否定词不等于不大 于不小于不是不都是疋不疋一个也没有至少两个【典型例题】类型一：命题的四种形式例1.写出命题"已知 a, b是实数，若ab=0,贝U a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。【思路点拨】找准条

9、件和结论，根据定义写出命题，再利用知识进行判断【解析】逆命题：已知 a,b是实数，若a=0或b=0,则ab=0,真命题;否命题：已知a,b是实数，若abz 0，贝U a 0且b丰0，真命题；逆否命题：已知 a,b是实数，若az 0且b丰0,贝U abz0，真命题。【总结升华】1. “已知a, b是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；2. 互为逆否命题的两个命题同真假；3. 注意区分命题的否定和否命题.举一反三：【变式1】"已知a b、c、d是实数，若a c, b d,则a b cd ”，写出下 面相应的命题，并判断真假.上述命题的逆命题为： ,；上述命题的否命题为： ,；上述命

10、题的否定为：,.【答案】逆命题：已知a、b、c、d是实数，若a b c d ，则a c, b d ；假命题。 否命题：已知a、b、c、d是实数，若a c或b d，则a b c d ；假命题。 命题的否定：已知 a b、c、d是实数，若a c, b d，则a b c d .假命题。【变式2】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。(1) 若 q<1，则方程x2+2x+q=0有实根；(2) 若 X2+y2=0,则 x,y 全为零。【答案】(1) 逆命题：若方程 x2+2x+q=0有实根，则q<1，为假命题；否命题：若q > 1，则方程x2+2x+q=0无实根，假命题

11、； 逆否命题：若方程 x2+2x+q=0无实根，则q1，真命题。(2) 逆命题：若x,y全为零，则x2+y2=o,真命题；否命题：若x2+y2z 0,则x,y不全为零，真命题；逆否命题：若x,y不全为零，则x2+y20，真命题。【高清课堂：常用逻辑用语综合395487例1】例2.写出下列命题的否命题：(1) 若abc=O，贝U a, b，c中至少有一个为 0;(2) 若 x2+y2=o,则 x, y 全是 0.【解析】(1) 若abc 0,则a, b, c都不为0;(2) 若x2 y20,则x, y不都为0.【总结升华】注意否命题的结构和含有逻辑量词的命题的否定举一反三：【变式】写出下列命题的

12、逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。(1) 若q<1，则方程x2+2x+q=0有实根；(2) 若x2+y2=0,则x,y全为零。【答案】(1) 逆命题：若方程 x2+2x+q=0有实根，则q<1，为假命题；否命题：若q > 1，则方程x2+2x+q=0无实根，假命题；逆否命题：若方程 x2+2x+q=0无实根，则q1，真命题。(2) 逆命题：若x,y全为零，则x2+y2=0,真命题；否命题：若x2+y2 0,则x,y不全为零，真命题；逆否命题：若x,y不全为零，则x2+y20，真命题。类型二：充分、必要条件，充要条件的判断例3.填空(在“充分而不必要条件”“必要而不充分条

13、件”“充要条件” “既不充分也不必要条件”中选一种)。件;2(1)已知：p : m 0 ； q :方程xm 0有实根.贝U p是q的(2)已知：p : | x 1| 4 ； q : x25x6.则 p是 q的条件.【思路点拨】运用二次方程有无实根，解绝对值不等式及一元二次不等式进行判断【解析】(1)方法一：定义法t m 0 方程x2 x m 0有实根，且方程x2 x m 0有实根0 1 4m 0所以p是q的充分而不必要条件。方法二：从集合的观点入手14A m | m 02B m |方程x x m 0有实根 m | mp: | x 1| 45 x 3; q: x25x 69x 5x 602r1_

14、i*-52 3-52 3因为A u B，所以p是q的充分而不必要条件q的充分不必要条(2)x 3.由图知：q p但p ? q ,故q是p的充分不必要条件，故 p是p与 q关系【总结升华】1.处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论;2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特别是举一反三:【变式1】指出下列各组命题中，A是B的什么条件(1)A:p 2, p R; B：方程 x2pxp 30有实根;(2)A:2x 31; B：(3)A:圆x2 y2 r2与直线axby c2 20相切；B： c (a2 2b )r .直线ax by c 0与圆x2 y2 r2相切圆(0 ,0

15、)到直线的距离d r,【答案】(1)必要非充分条件. p 2方程x2 px0有实根124( p3)0 A p| pp| p2，即 x AxB .所以A是B的必要非充分条件.(2)必要非充分条件 2x 3所以A推不出B,但B可以推出 故A是B的必要非充分条件.2xA,(3)充要条件即;a2 b2rc2 (a2 b2)r2.所以A是B的充要条件【高清课堂：常用逻辑用语综合 395487例2】【变式2】设a R,则a>1是a 11的( )(A)充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C)充要条件(D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据幕函数x 1的性质，a>1时a 11成立；但当a

16、0时a 11也成立,设a R,贝V a>1是a 1 1的充分不必要条件.“m/ 3 是 “a【变式3】(2015 北京)设a, 3是两个不同的平面，m是直线且m?/ 3 的 (A .充分而不必要条件B 必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为是两个不同的平面，m是直线且m?.若“m / ”则平面可能相交也可能平行，不能推出 /，反过来若/,m，则有m /，则“m /”是“ /”的必要而不充分条件类型三：命题真假的判断例4.已知下列各组命题，写出满足条件的新的形式命题，并判断真假(1) p: x 2是方程x2 5x 6 0的根，q : x 5是方程x2

17、 5x 6 0的根; p或q,(2) p :3 , q :是有理数；p且q,(3) p :若 x 2，则 x N 或 x 0 ;非 p【解析】(1) p或q: x 2或x 5是方程x2 5x 60的根，真命题；(2) p且q :是大于3的有理数，假命题；(3) 非p：若x 2，则x N且x 0，假命题；【总结升华】1. 判断复合命题的真假的步骤： 确定复合命题的构成形式； 判断其中简单命题 p和q的真假； 根据规定(或真假表)判断复合命题的真假2条件“ X N或X 0 ”是“或”的关系，否定时要注意举一反三：【变式1】若命题P： x AUB，则命题“非 卩”是()A. x A且 x B B .

18、 x A或 x B C . x AI B D . x AI B 【答案】A ;【解析】因为命题 p可陈述为：x属于集合A或x属于集合B, 非p : x即不属于 集合A且也不属于集合 B,即非p : x A且x B，故选A.【高清课堂：常用逻辑用语综合 395487例3】【变式2】例4若命题pV q是真命题，？p是真命题，则()(A) p和q都是真命题(B) p和q都是假命题(C) p是真命题，q是假命题(D) p是假命题，q是真命题【答案】D【变式3】满足“p或q”为真，“非p”为真的是 (填序号)(1) p：在 ABC中，若cos2A= cos2B,则A= B; q: y = sinx在第一

19、象限是增函数(2) p： a b 2 , ab(a, b R) ； q:不等式 x x 的解集为 ，022x2 y2(3) p:圆x 1 (y 2)21的面积被直线x 1平分；q :椭圆1的一条43准线方程是x 4.【答案】；【解析】由已知条件，知命题p假、命题q真选项(1)中，命题p真而命题q假，排除；选项中命题p假、命题q真；选项中，命题p和命题q都为真，排除；故填(2).类型四：全称命题与存在性命题真假的判断例5.判断下列命题的真假：(1) x N, x41 ； (2) Xo 乙 x；1.【解析】(1) 由于o N，当x 0时，x41不成立，故为假命题；(2) 由于1 Z，当x 1时能使

20、x31,所以(2)为真命题.【总结升华】1.要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；要判断全称命题是假命题， 只要能举出集合 M中的一个x Xo，使p(Xo) 不成立即可；2. 要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个 x 沧，使P(X。)成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【变式1】命题?x 0 , + ), x3 + x为”的否定是()A . ?x( x, 0), x3+ xv 0B . ?x (0), x3 + x0C. ?XoO,+*), xo3 + XoV 0D . ?XoO,+*), xo3 + xo 0【答案】C【解析】命题?xqo, + x), x3+ x%”是一个全称命题.其否