习题册部分题目解答或提示

1、习题册部分题目解答或提示第一章、概率论的基本概念内容提示：1掌握事件的关系及运算2理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等3理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算1掌握事件的关系及运算：重点：和、积、补事件（逆事件）的表示、运算1.1.1 以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为：（ D ）。 A）甲种产品滞销，乙种产品畅销； B）甲乙产品均畅销；C）甲种产品滞销； D）甲产品滞销或乙种产品畅销.1.1.2 设,是三个事件，则表示（ C ）。 A） ,都发生；

2、B） ,都不发生；C） ,至少有一个发生； D） ,不多于一个发生提示：以上主要是关于事件关系的理解，以及事件运算的表示，尤其是德摩根定律的应用2理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式特例：差事件概率计算转化为包含事件的概率计算特别提示：很多题型都使用到了，这个是一般公式1.1.3 对于任意事件，有（ C ）。A）； B）；C）； D）。 1.1.2设，。在下列三种情况下求的值：1）； 2）； 3）。解：因 1) ；2）；3）。重点：加法公式、乘法公式、条件概率计算的综合使用1.1.6已知，则=  1 / 18 。1.3.4 设事件,则；

3、1.1.3假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。解：设=甲河流泛滥，=乙河流泛滥，由题意，该地区遭受水灾可表示为，于是所求概率为：(1) (2)应用：根的概率计算1.3.3 若，则方程有实根的概率是 4/5 ；特例：放回与不放回试验结果相同的理解1.1.4 已知5个人进行不放回抽签测试，袋中5道试题（3道易题，2道难题），问第3个人抽中易题的概率是( A ) 。 A） ； B

4、）； C）； D）.1.2.5 某人射击时，中靶的概率为3/4，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为( C )A ) B) × C) ×3/4 D) 3不可能事件、必然事件、对立事件、相互独立事件、互不相容事件概念的理解1.3.6 辨析题：判断下列命题是否为真，若不为真，请举一反例：1）若，则为不可能事件；2）若，则为必然事件；3）若互不相容，则。 解：反例：向区间上随机投点，则，事件：，.则1）、2）、3）反例依次为事件、和。1.1.6 设，则下列结论正确的有（ A ）。A）相互独立； B）互不相容；C）； D）。1.2.2 设则有（ D ） A) 互不相容； B

5、) 相互独立；C) 或； D) 。 1.2.3 设和互为对立事件，则下列不正确的结论为( B ) A)； B)和独立； C)； D)。1.2.4 设事件是两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论正确的是（ D ） A）互不相容； B）与相容；C）； D）。1.2.6 如果，则下列结论不正确的有（ D ）A）； B）；C）相容； D）互不相容。1.3.5设互不相容，且，则下列结论正确的有（ C ）。A）； B）；C）； D）.4重点：掌握概率的全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式1.1.5有三个形状相同的箱子,在第一个箱中有两个正品,一个次品;在第二个箱中有三个正品,一个次品;在第三个箱中有两

6、个正品,两个次品.现从任何一个箱子中,任取一件产品,求取到正品的概率。解: 设Bi=从第i个箱子中取到产品(i=1,2,3)，A=取得正品。由题意知=B1+B2+B3 ，B1,B2,B3是两两互不相容的事件。 P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3， P(A|B1)=2/3, P(A|B2)=3/4, P(A|B3)=2/4=1/2 由全概率公式得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.64 1.1.6已知商场某产品由三个厂家提供，产品次品率分别为、，销售份额分别占、，现消费者因为产品问题提出索赔，但由于保存不善标志缺失，如果你是商场负

7、责人，想将这笔索赔转嫁给厂家，如何分摊最合理？解：设表示产品为不合格品,表示产品是由第个厂家提供的, 由题可得:， 由全概率公式： 由贝叶斯公式: ；.由上可见，比较合理的分配比例应为：，即 .1.2.6 三个箱子，第一个箱子中有3个黑球一个白球，第二个箱子中有2个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球2个白球，求：（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率是多少？ （2）已知取出的球是白球，此球属于第三个箱子的概率是多少？解：设事件表示“取出一球为白球”，表示“取到第只箱子”，则。 由全概率公式得：（1） 由贝叶斯公式得：（2）1.3.3玻璃杯成箱出售，每箱只。已知任

8、取一箱，箱中、只残次品的概率相应为、和，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。解：设事件表示“顾客买下该箱”，表示“箱中恰好有件次品”，则，。 1）由全概率公式得：； 2）由贝叶斯公式：。第二章、随机变量及其分布内容提示：1理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率2理解离散型随机变量及其概率分布的概念及性质，掌握01分布、二项分布、泊松（Poisson）分布3理解连续型随机变量及其概率密度的概念及性质，掌握

9、均匀分布、正态分布、指数分布。4会求随机变量函数的分布 (分布函数法和单调函数下的公式法)1理解随机变量的概念，理解分布函数（离散-分布律、连续-概率密度）的性质2.1.2常数b（ B ）时，为离散型随机变量的概率分布。 A）2 B）1 C）1/2 D）3提示：利用=1，且，利用前后项彼此相消即可得到结果2.2.2已知随机变量的分布函数的是 则 0.5 ； 1/ ； 0.5 。提示：利用分布函数性质：计算。2.1.4 设和分别为随机变量的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A）a3/5，b2/5 B) a2/3，b2/3 C）a1/2，b3/2 D）a1

10、/2，b3/2提示：利用分布函数的性质求解，注意，而即寻找满足a-b=1的组合即可，显然只有A。2常用经典6个分布（01分布、二项分布、泊松（Poisson）分布；均匀分布、正态分布、指数分布）的分布（离散-分布律、连续-概率密度）及其性质 2.1二项分布、泊松分布2.3.5、设X服从二项分布，其分布律为，若不是整数，则取何值时最大？（ D ）。 A） B） C） D）提示：这里由于关于k不是一般函数，因此利用求导等方法求解会存在较大问题，因此这里使用最大值比两边值大的性质求解（这个是高中数列的相关知识点），即：，将上述通项代入这两个不等式，求解出k的约束范围即可得出答案！2.2.2 已知其中

11、，则（ D ） A） B） C）1 D）1提示：这里利用级数，注意下标是从零开始才有这结论，而题目中是从1开始，因此在计算时采用添加k=0的项，然后再减去这项的方式求解，具体：1=2.2.1设随机变量的分布律为为常数，则常数 。提示：1）直接结合泊松分布分布律，依据形式上对应相等求解； 2）注意利用泰勒展开式：求解该题！2.2均匀分布2.1.4设在（0, 5）上服从均匀分布，则方程有实根的概率为 0.6 。2.2.4设随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程有实根的概率是 0.8 。提示：1）直接利用第一章几何分布模型绘图求解，但注意实际有效区域； 2）结合均匀分布密度计算概率：

12、显然方程有解则：，而的概率密度为：，因此方程有实根的概率实则为计算：=0.82.3重点：正态分布：密度函数、对称性、3准则、随机变量函数分布2.1.6若，则。2.2.5设, ，则（ B ）A） B) C） D）2.1.7若，则概率PX= 1/2 。2.1.5设随机变量,且，则（ B ） A) 0 B) C) D) 提示：结合正态分布的性质，尤其注意其对称性的使用！3.2.4设随机变量与相互独立，则下列结论正确的是（ B ）。A. B. C. D. 提示：这里主要是考察对称性，首先计算Z=X+Y与Z=X-Y的分布，如可知Z=X+YN(1,2),利用类似上述几题的思想则可知小于等于1时概率为1/2

13、.同样很多题目也是这样的思想求解！2.3.4设随机变量X服从正态分布，则随的增大，概率应（ C ）。 A）单调增大 B）单调减少 C）保持不变 D）增减不定提示：3准则的理解2.3.1 设随机变量X的概率密度为，且，是的分布函数，则对任意实数，有（ B ） A） B） C） D) 提示：可以结合正态分布来理解这道题！2.2.5设随机变量的概率密度为，则2.3.5设随机变量服从（0，2）上的均匀分布则随机变量在（0，4）内的概率密度为。提示：课件里面有证明过这样的同样结论，查询一下！2.3.5 设为正态随机变量，且，又，求。解：由 3随机变量函数的分布 (分布函数法和单调函数下的公式法)2.3.

14、3设随机变量X服从指数分布，则对随机变量的分布函数，下列那一个结论正确（ D ）。A) 是连续函数 B) 至少有两个间断点C) 是阶梯函数 D) 恰好有一个间断点提示：这里你结合第三章最后一节最小值函数的分布求解这题，利用最小值分布可知，的分布函数为，注意由于指数分布为连续的分布，不存在间断点，而另一个量2在这里表示这个随机变量取值只有一个，即分布律为，因此可以计算其分布函数，显然在2点处为间断点，因此Y的分布函数也只有一个间断点。 3.1 离散型2.1.1设离散型随机变量X的分布律为 1 1 2 P 0.2 0.5 0.3 求：1）的分布函数2）； 3）；4）的分布律。 解：1）由分布函数定

15、义， 当时，0 当时，PX=-1=0.2 当时，PX1PX=10.7 当时，PX=1PX1PX21故的分布函数为2）3）4）的分布律为 1 3 5 P 0.2 0.5 0.3 3.12 连续型2.1.2设随机变量的概率密度为，求：1）系数；2)落在(0,1/2)内的概率；3）的分布函数；4）的概率密度。解：1）由概率密度的性质，即，解得2）3）由分布函数定义， 当时， 当时 当时故X的分布函数为： 4）函数的反函数为，其导数为恒大于零，则的概率密度为2.2.3设随机变量的概率密度为，求：（1）常数的值；（2）的分布函数；（3）。解：（1），（2） （3）2.2.4设随机变量X的概率密度为，求Y

16、=3X+1的概率密度。解：方法一：定义法 ，（） 故方法二：公式法函数在内可导，且导数，其反函数，则Y=3X+1的概率密度为 2.2.2设连续型随机变量的分布函数为：求： 1）系数；2）概率密度; 3) ；4）的概率密度。解：1）与2） =又 ，故概率密度为：3）4）函数的反函数为，其导数为，恒大于零，故的概率密度为第三章、多维随机变量及其分布内容提示：1理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度及其性质，掌握二维随机变量的边缘分布（离散型下边缘分布律、连续型下边缘密度的计算）2理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的判别方法，理解随机变量的不相关性与独

17、立性的关系3会根据两个离散型随机变量的联合分布律求其函数的分布律1理解随机变量的概念，理解分布函数（离散-分布律、连续-概率密度）的性质3.2.3设二维随机变量和的联合概率密度分别为和，令，要使是某个二维随机变量的概率密度，则、应满足条件（ D ）。A. B. 且C. 且 D. 且，提示：注意利用概率密度整个区域积分等于1，同时结合概率密度必须非负的特性求解该题！3.1.1设的概率密度为 则 6 ，提示：整个概率密度区域上积分为1可求得！3.1.3、设的分布律为 YX 0 1 0 0.1 b 1 a 0.4已知，则a = 0.3 , b = 0.2 3.1.3设为二维随机变量，且与相互独立，、

18、分别表示与的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度为（ B ）。 A B. C. D. 提示：可以参照第一章的独立性、条件概率来理解条件概率密度2掌握随机变量相互独立的判别方法3.1.2 如果的分布律为 YX 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 a b当a和b取何值时，X与Y相互独立？解：， 故而 当与相互独立时，解得 ， 3.2.3二维随机变量的分布律为 YX 0 100.4a1b0.1已知随机事件与相互独立，则下列结论正确的是（ B ）。 Aa = 0.2, b = 0.3 B. a = 0.4, b = 0.1 C. a = 0.3, b = 0.2 D. a = 0.1, b = 0.43.1.5、设随机变量与相互独立，下表列出了二维随机变量的分布律及关于与关于的边缘分布律中的部分数值，试