导数的应用分析研究应用数学专业

1、导数的应用内容摘要：在新课程标准中，导数不仅是高中数学教学中的重点和难点，同时其本身已经成为解决数学问题的重要工具。本文从三个例题入手，研究了导数在讨论函数单调性，求函数的最值以及求曲线的切线议程三个方面的应用。关键词：导数 函数 单调性 最值 切线方程在近几年的数学高考中，对导数的考查正在逐步加强，导数是微积分中的基础概念中的一个重要分支，其实质就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。在新课程标准中，导数不仅是高中数学教学中的重点和难点，同时其本身已经成为解决数学问题的重要工具。不论是在研究函数的性质，还是证明不等式，以及判断高次方程根的个数和求曲线上某点切线方程等

2、问题，导数都发挥着非常重要的作用，也体现出其优越性；不仅如此，导数还与经济和物理等学科之间也有很大的联系。一、研究函数的性质1讨论函数的单调性1.1已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax2+1 ，讨论函数 f(x) 的单调性。分析：参数 a 的取值会影响 f ´(x) 的符号，所以应对参数 a 进行分类讨论。解：f(x) 的定义域为（0，+），则f ´(x)=（a+1）/x+2ax=（2ax2+a+1）/x。（1）当a0时，f ´(x)0，故 f(x)在（0，+）单调递增；（2）当 a-1时，f ´(x) 0，故 f(x) 在（0，+）单调递减；（3

3、）当 -1<a<0 时，令 f ´(x)=0 ，解得 x= 则当x(0, )时，f ´x)>0；当x(,+)时，f ´(x)<0。故 f(x) 在 (0, ) 单调递增，在(, +) 单调递减。1.2讨论和研究函数的单调性和单调区间，就是解 f ´( x )>0 或 f ´( x )<0 ，这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间。一般对于可导函数而言，其解题步骤如下：首先求f( x )的 定 义 域 同，然后求出 f ´( x )；最后解不等式f ´( x )>0 或

4、f ´( x )<0，这样就可以得到在单调区间内的单调性。2求函数的极值和最值2.1已知函数y=f(x)=lnx/x。（1）求y=f(x) 的最大值；（2）设实数 a>0 ，求函数 F(x)=af(x) 在 a,2a上的最小值。分析：最值是所有极值和端点值中最大和最小值，求最值须先求极值。解 （1）假设 f ´(x)=0 ，可得x=e。当x(0,e) 时，f´(x)>0 ，那么f(x) 在 (0,e) 上为增函数；当x(e,+) 时，f ´(x)<0 ，那么f(x) 在 (e,+) 上为减函数。因此fmax(x)=f(e)=1/e

5、。（2）a>0 ，由（1）知：F(x) 在 (0,e) 上单调递增，在 (e,+) 上单调递减， F(x) 在a,2a上的最小值为 minF(a),F(2a)；F(a)-F(2a)=1/2lna/2，当 0<a2 时，F(a)-F(2a)0,Fmin(x)= F(a)=lna；当 2<a 时，F(a)-F(2a)>0 ，Fmin(x)=F(2a)=1/2ln2/a。2.1利用导数求函数在定义域范围内的最值时，一般是先利用函数的导数求得极值，再通过解不等式得到最大值或最小值。二、求曲线的切线2.1求曲线y=x3+3x2-5过点M（1，-1）的切线方程。解析：由y=x3+3

6、x2-5可得y=3x2+6x。设切点为P（x0，y0），则y ´x=x0=3x02+6x0，那么曲线在点P处的切线方程为：y-y0=（3x02+6x0）（x-x0）。切线过点M（1，-1），则-1-y0=（3x02+6x0）（1-x0），得y0=3x03+3x02-6x0-1，而点P（x0，y0）在曲线上，那么y0=x03+3x02-5，x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1，得x03-3x0+2=0，即（x0-1）2（x0+2）=0，x0=1或x0=-2，则切点为P（1，-1）或P（-2，-1）。故所求的切线方程为9x-y-10=0或y=-1。2.2求高次函数曲线上某

7、点的切线方程，利用导数方便得多。一般可以采用先求出曲线上某点的导数，得到该点处切线的斜率后，再根据由点斜式方程写出切线方程。若曲线上点x0处的导数不存在，由切线定义可知切线方程为x=x0。但要注意地是曲线在某点处的切线是指切点在该点处的切线，曲线过某点的切线还可能存在切点不在该点处的另一条切线，这里一定要看清楚题意，否则容易出错。三、结束语 在新课程改革的背景下，导数在高中数学的学习和应用中占据着越来越重要的地位和比重，但作为研究函数的重要工具，不仅仅可用于研究函数的单调性、极值和最值，求曲线的切线方程，对于证明不等式恒成立，判断高次方程根的个数，也是一种简单明了的方法和途径。因此为了培养学生在学习和应用导数的思维能力，要求教师首先要深刻体会教材，深度挖掘教材，将导数与其他学科和生生活实际进行合理地穿插与渗透，让学生在熟练掌握导数应运方法的同时，逐步提高学生的数学素养。参考文献1 朱秀芝.方程与不等式思想在导数中的应用J.新课程学习（学术教育）,2010,(10):5. 2 李玉欣.导数