(完整word版)上海高考数学知识点整理(全),推荐文档

1、1高考临近给你提个醒集合与简易逻辑1.区分集合中元素的形式:x|y f(x)y|y f(x)(x,y)|y f(x)x| f(x) 0函数的定义域函数的值域函数图象上的点集方程的根(零点)例 i 集合2 研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性。例 4 .已知集合A x , xy, lg(xy)，集合B 0 , | x |, y，且A B，则x y3.集合的性质：1任何一个集合P都是它本身的子集，记为P P。2空集是任何集合P的子集，记为P。3空集是任何非空集合P的真子集，记为P。注意：若条件为A B，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。对于含有n个元素的有限集合M

2、，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为：2n、2n1、2n1、2n2。4.研究集合之间的关系， 当判断不清时，建议通过“具体化”的思想进行研究。例 2 集合(x, y) y x2, x R，(x,y) yx21,x例 3 集合a 1,2，集合Na 2,3R，则例 5 .集合A x | ax22x 10，如果A， 实数a的取值集合的运算：A BAB C A B C；CUAI B(CuA)U(CuB)、CUAUB(CuA) I (CUB)。ABAABBCuBCuAA CuB例 6 .满足条件1,2A 1,2,3,4,5的集合A共有_个。例 7 .已知M2x x 2k 1 ,k N,N

3、x x 4k 1,k N，则M5.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。2 2例 8 .设函数fx 4x 2 p 2 x 2p p 1在区间1,1上至少存在一个实数C，使3c 0,求实数p的取值范围命题是表达判断的语句。判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题。 命题的四种形式及其内在联系：逆否命题：如果 ，那么 ；命题“如果 ，那么 ”的否定是“如果 ，那么 ”；否命题是“如果 ，那么 ”。*例 10 .“若a和b都是偶数，则a b是偶数”的否命题是7.常见结论的否定形式:原结论是都是定p或qp且q大于小于否定形式不是不都是不一定p且qp或q不大于不小于原结论至少一个至多一个至

4、少n个至多n个对所有x都成立对任何x不成立否定形式一个也没有至少两个至多n 1个至少n 1个存在某x不成立存在某x成立&充要条件:条件结论推导关系判断结果是的充分条件是 的必要条件且是的充要条件在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性：6.原命题:如果，那么逆命题:如果，那么；否命题:如果,那么；等价命题： 对于甲、 乙两个命题， 如果从命题甲可以推出命题乙， 同时从命题乙也可以推出命题 甲，既“甲 乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题。互为逆否命题一定是等价命题， 当某个命题直接考虑有困难时，9. “sin sin”是“但等价命题不一定是互为逆否命题。可通过它的逆否命题来考虑。”的条

5、件。注意命题“如果，那么”的否定与它的否命题的区别:否定是4首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果。5不等式1.基本性质: :(注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算)a b且b cac；推论：i.a b a cb c；ia b且cd a cb d；ac bcc0a bac bc 0 c0；ac bc c0推论：i.a b 0, c d0 ac bd；ia b且a、1b同号 -a1 b；ii .a 0 b a01；iii a b 0,0 a b宀a .b；a b0,m 0ab m；a m0ba b0ab；0b2.解不等式：(解集必须写成集合或区间的形式) 一元二次或一元高次不

6、等式以及分式不等式的解题步骤：i. 分解因式找到零点；ii 画数轴标根画波浪线；i根据不等号 ，确定解集；、，、* 、 *t_* 分解因式所得到的每一个因式必须为x 的一次式；ii每个因式中x的系数必须为正。关键2绝对值不等式 去绝对值:i.x a x a 或a(a 0)；ii.x a a x a(a 0)；说a ba2b2；iv.f x g x (g x 0) f x g x或f x g x；v.f x g x g x f x g x；借助函数单调性 .3幕、指、对不等式去掉幕、指、对符号解不等式：解对数不等式时，应注意些什么问题？(化成同底、利用单调性、注意同解变形)4解含参数的不等式时，

7、定义域是前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键。而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结：综上所述L5对于不等式恒成立问题，常用“函数思想”、“分离变量思想”以及“图象思想”。2例 1.已知不等式(a 2)x2(a2)x40对一切x R恒成立，求a的取值范围 _3.基本不等式：a,b R，则a2b22ab，当且仅当a b时，等号成立。a,b R，则a b 2 Jab，当且仅当a b时，等号成立。62y 1，则2x4y的最小值是1 1例 5 .正数x、y满足x 2y 2，贝U的最小值为_x y4.不等式的证明：1比较法：作差T因式分解或配方T与“0”比较大小TL2综合法：由因导

8、果。3分析法：执果索因；基本步骤：要证L即证L即证L。4反证法：正难则反。最值法：a f xmax，则a f (x)恒成立；a f xmin，则a f (x)恒成立。函数1九个基本函数必须熟练掌握：强调函数图象.和性质正比例函数，反比例函数，一次函数， 二次函数， 幕、指、对函数，三角函数，反三角函数。2反函数：当且仅当函数是一一对应函数时才具有反函数。1求反函数的步骤掌握了吗？i.解方程，用y表示x ;ii.交换x与y，写成反函数的形式；iii.注明反函数的定义域。2你还记得反函数的四个性质吗？i.互换性；ii.对称性；iii.单调一致性；iv.还原性。例 1.函数y f x过点1,1,贝U

9、 f 4 x的反函数的图象一定经过点 _定单调。你能写出一个具体的函数吗?例如：分段函数：f x综上，若a,b R，则a2b2(a b)222ab,当且仅当a b时，等号成立。*若a,b，则a2b22一ab了 ，当且仅当a b时，等号成立。a b已知正数函数4x0,当且仅当0,当且仅当b b 满足 abab11，即 xx11，即 xx1 时,等号成立。1 时,等号成立则 abab 的取值范围是1)的最小值为若原函数y f (x)在定义域上单调,则一定存在反函数; 但一个函数存在反函数，则此函数不-等。x73.函数的要素：定义域、值域、对应法则定义域：i.给出函数解析式，求函数的定义域(即求使函

10、数解析式有意义的X的范围)(1)yf(x)0f(x)0；(2)y黑Q(x) 0；y2nP(x)P(x)0；ylogQS P(x) 0,P(x)1,Q(x)0；ytgP(x)P(x)k,k Z；2yctgP(x) P(x) k ,kZ；yarcsin P(x)1 P( x) 1；(8)yarccosP(x)1 P(x)1；ii.使实际问题有意义的自变量的范围。AC例 2锐角ABC中，BC 1,B 2A,则的值等于，AC的取值范围为cos Aiii.求复合函数的定义域：若f x的定义域为a,b，贝yf g x的定义域由不等式a g x b解出；若f g x的定义域为a,b，贝Uf x的定义域相当于

11、x a,b时g x的值域；Jx(4 x)例 3 函数f(x)的定义域为ig(x 3)-1例 4 .若函数y f x的定义域为，2，则函数f log2x的定义域为22例 5.若函数f x21的定义域为2,1，则函数f x的定义域为 _值域：函数的值域(或最值)有哪几种常用解题方法？i.二次函数型或可化为二次函数型；i.单调性；i.基本不等式；iv.换元法；v.数形结合;2例 6 .函数y 2 sin x 3cosx 1的值域为_2例 7设x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则 旦 鱼一的取值范围是db229例 8 .函数y sin x的值域为_1 sin x例 9 .函数

12、y 2x 2log35 x的值域为_ 3函数的基本性质：1奇偶性：i.定义判断奇偶性的步骤： 定义域D是否关于原点对称；对于任意x D，判断f( x)与f (x)的关系:若f( x) f (x),也即f( x) f (x)0 y f (x),x D为偶函数8若f( x) f(x),也即f( x) f(x) 0 y f(x),x D为奇函数ii图象判断奇偶性：函数图象关于原点对称奇函数； 函数图象关于y轴对称偶函数;iii.判断函数的奇偶性时，注意到定义域关于原点对称了吗？iv.如果奇函数y f (x)在x 0处有定义，则f(0)0。vi.如果两个函数都是非零函数(定义域相交非空)，则有:奇+奇

13、 奇；奇+偶 非奇非偶；偶 +偶 偶；奇 奇 偶;单调性：设任意x1,x2D,且x1x2,则f (x1) f (x2)无单调性f(xi)f(x2)减函数f(xi)f(x2)0；f (xi)f(X2)增函数f(XJf(X2)0；xx2x1x2在比较f(xj与f(X2)大小时，常用“作差法”，比较f(Xi) f(X2)与0的大小。i.奇函数的图象在y轴两侧的单调性一致；偶函数的图象在y轴两侧的单调性相反。i.互为反函数的单调性一致。i.增函数+增函数增函数；减函数+减函数减函数。V.复合函数单调性由“同增异减”判定。2例 10 .函数y log1x 2x的单调递增区间为 _2V.注意函数“单调性”

14、、“奇偶性”的逆用(即如何体现函数的“奇偶性”、“单调性”)例 11 .已知奇函数f X是定义在2,2上的减函数，若f m 1 f 2m 10，求实数m的取值范围_3最大值和最小值：参见函数的值域当X取X1,X2L ,Xn的中位数时，函数y |x X1| |x X2| L |x Xn|取最小值4函数的零点： 对于函数y f(x)(x D)，如果存在实数c(c D)，当x c时，f (c) 0,那么就把x c叫做函数y f(x)(x D)的零点。注：零点是数；用二分法求零点的理论依据是：函数f x在闭区间a,b上连续；f(a) f(b) 0那么，一定存在c (a,b)，使得f (c)0。(反之，

15、未必)以下性质不是.函数的基本性质v.一个函数既是奇函数又是偶函数,则该函数必为:f (x)0,x D(其中定义域D关于原点对称)奇偶 奇；偶偶 偶。95周期性：对于函数y f(x) x D，如果存在一个非零常数t，使得对于任意x D时，恒有f(x t)f (x)成立，那么函数y f(x) x D叫做周期函数，非零常数t叫做该函数的周期。10i.任意x D,f xf x，则T 2ai.任意x D,f x2aiii 任意x D,f x a|a b|例 12 定义在R上的偶函数f x满足f Xf x，且在3, 2上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，贝U f sin与f cos的大小关系为* :厅

16、匕v.右y f x图像有两条对称轴b(a b)，则y f x必是周期函数，且一周期为T2a b。*厅匕v.右y f x图像有两个对称中心A a,0、B b,0(a b)，则yf X是周期函数，且一周期为T 2a b。*vi.如果函数y f x的图像有一个对称中心A a,0和一条对称轴xb)，则函数y f x必是周期函数，且一周期为T 4a b。例 13 .已知定义在R上的函数f是以2为周期的奇函数，则方程f x2,2上至少个实数根。对称性:i.点x, y关于y轴的对称点为x, y；函数yf x关于y轴的对称曲线方程为ii.点x, y关于x轴的对称点为x, y；函数y f x关于x轴的对称曲线方

17、程为iii.点x, y关于原点的对称点为x, y；函数y f x关于原点的对称曲线方程为iv.两函数yv.函数f x满足f ab af b x的图像关于直线x -a对称。2a bf b x，则函数的图象关于直线x对称。2例 14 .二次函数f (X)2axbx满足f 5 x f x 3，且方程f(x) x有等根，则f(x)例 15 .己知函数f x，若y2x 3f (x 1)的图像是G，它关于直线y x对称图像是C2C2关于原点对称的图像为C3，则C3对应的函数解析式是2例 16 .函数y x x与函数y g x的图象关于点2,3对称，则g x1112ax bvi.形如y(c 0 , ad b

18、c)的图像是双曲线，对称中心是点dexd，-，两条渐近线分别c c例 17 .已知函数图象C1与C2:y x a 1ax a21关于直线y x对称，且图象Ci关于点2, 3对称，则a4.函数图象变换:平移变换：i.函数yf (x)的图象ii.函数yf (x)的图象伸缩变换:i.函数yf (x)的图象ii.函数yf (x)的图象对称变换:i.函数yf (x)的图象ii.函数yf (x)的图象iii.函数yf (x)的图象iv.函数yf (x)的图象V.函数yf (x)的图象左加右减I上加下减例 18 要得到位而得到。例 19 .将函数象关于直线y 函数y f (xA 函数y f (x)a)的图象

19、;b的图象;1沿轴方向伸缩为原来亠 A 函数y f(k x)的图象;沿y轴方向伸缩为原来的凶倍函数丫kf(x)的图象;关于y轴对称卜函数y f(x)的图象;关于x轴对称 A函数y f(x)的图象;关于原点对称 A函数y f( x)的图象;x0 时，图象不变；然后再关于 y 轴对称 函数y:(x)0时图象不变；然后再关于x轴对称函数ylg 3 x的图像，只需作y lg x关于_ 由对称的图像,f (|x|)图象;| f(x) |图象;再向_ 移3个单K a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图象如果与原图x对称，那么(A)a 1,b 0;(B)1,b R; (C)a 2,b 0;(D

20、)a 0,b R;5.常见的抽象函数模型:正比例函数模型：f xkx , k 0133146 三个二次(哪三个二次)的关系以及应用掌握了吗？1在研究三个二次时，你注意到二次项系数非零了吗？2如何利用二次函数来研究一元二次方程、一元二次不等式的问题。3一元二次函数的研究强调数形结合，那么数形结合该从哪些方面去研究？(开口、对称轴、定义域以及偏移度)4特别提醒：二次方程ax2bx c 0的两根即为不等式ax2bx c 0 ()解集的端点值，也 是二次函数f(x) ax2bxc (a 0)图象与x轴交点的横坐标。7 研究函数问题准备好“数形结合”这个工具了吗？&研究函数的性质注意在定义域内进

21、行了吗？9 解对数函数问题时注意到真数以及底数的限制了吗？10 指数运算法则：(a 0,b 0, m R,n R)-mnm n1.a a a；n.(am)n(an)mm na；nnnm.(a b) a b；11 对数运算法则：lOgaM lOgaNloga(MN)；logaMlogaNMloga；alogabb；lOgablogcb.；logamb0-logab；logcam三角1 三角比的定义你还记得吗？2 三角公式你记住了吗？ 同角三角比的关系：商数关系、倒数关系、平方关系；2诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。3你能用“小三角形”进行同角三角比的转换吗？3三角化简，强调哪两点？ 切、割化弦

22、； 化繁为简。4.三角条件求值你注意到两个关系了吗？(角的关系、名的关系)2fxf xf xx -f xyf xf y；f -yf y幕函数模型:指数函数模型：f x ax-x y f x f y；f x yf y对数函数模型：f X logaxxyf xf y；f仝f xf y。y三角函数模型：f x tan xf x f y Xy1 fx fy15例如：；2;2L316关系为_5. 在三角中，你知道“1”等于什么吗？21 sin2cos2,2 2sectancsccot2tan cottan4sin cos0。26.重要公式：sin21 cos22coscos212；sin1 cos2ta

23、n a sinbcos.a2b2sin;21 cossin例 3 .当函数y 2cosx3si nx取取大值时，ta nx7你还记得在弧度制下弧长公式以及扇形的面积公式吗？你注意到了扇形的弧长与周长的区别了吗？(1rad57.3)121弧长公式：I r；周长公式：c l 2r； 面积公式：S1r2-l r；22例 4已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积 _& 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 的 各 种 表 达 形 式 你 还 记 得 吗 ？ 会 用 它 们 解 斜 三 角 形 吗 ？ 如 何 实 现 边角互化?正弦定理：abc2Rsin Asin B

24、sin C2 2 2余弦定理：a2b2c22bc cosA-cos A -c-a2bc例 1 .已知tan,tan5-，则tan -444例 2 .已知为锐角，sin x,cosy,cos3，则5y关于x的函数171sin C11面积公式：Sab一sin Aca sin B；222大边对大角：a bABsin Asin B；锐角ABC中：若a2b2c2，则ABA -Bsin A cos B;22钝角ABC中：若a2b2c2，则ABA -B sin A cos B;222直角ABC中：若a2b2c2，则ABA -Bsin A cos B；22例 5.在ABC中，若si nA1，则cosA(注意几

25、解)3181在ABC中，若cos A，则si nA（注意几解）3-*9 .三角形与向量综合的有关结论： AB AC在ABC中，给出AD，等于已知AD是ABC中BC边的中线;2例 6.O是ABC所在平面内一点，且满足OB OC OB OC 2OA，贝U ABC的形状为例 7 .若D为ABC边BC的中点，ABC所在平面内一点P，满足PA BP CP 0，设AP=1，则 _PD10.你能迅速画出三角函数（正弦、余弦、正切）的图象吗？你知道三角函数线吗? 能写出它们的单调区间及其取最值时x的集合吗？（别忘了.k Z）；能给出三角函数的对称轴、对称点吗？）B、y Atan（ x ） B的最小正周期会求吗

26、？有关函数周期的定义还记得吗？周期函数有何性质?（回归思想： 设、化、范围，回到三角范围求解）14.你能熟练的画出反三角函数：y arcsinx、y arccosx、y arctanx的图象吗?并结合图象，你能说明反三角函数的性质吗？15在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面要求： 先求出某一个三角函数值； 再判定角的范围。16.三角不等式或三角方程的通解一般式你注明k Z”了吗？17. 在用反三角表示直线的倾斜角、两直线的夹角、异面直线所成角、线面角、二面角、向量夹角 时，是否注意_ 2 _ 2在ABC中，给出OA OBOC2，O是ABC在ABC中，给出OA OB OCO是ABC的重心；（重

27、心：三边中线的交点）在ABC中，给出OA OB OB OCOCOAO是ABC的垂心；（垂心：高的交点）在ABC中，给出 opOAAB1-77AC,ABACAP所在直线经过ABC的内心;例 8 .若O是ABC的外心，且OA OB CO0,则角C _11.会用五点法画函数y Asin（ x）B”的草图吗？哪五点?会根据图象求B的值吗?12.形如y Asin( x13反三角的处理思想是什么?19到它们的范围？直线的倾斜角：0,;两直线的夹角：0,;异面直线所成角:2面角：0,;向量夹角：0,;数列：1 数列的本质是什么？(定义在正整数集或其子集上的函数)。2 等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？

28、等比数列的通项公式与指数函数有什么关系？3等差数列的求和公式有几个？等比数列的求和公式应注意什么？4设Sn是数列an的前n项和，则“an是等差数列”的充要条件是“SnAn2Bn，其中公 差d 2A”。设Sn是数列an的前n项和，则“an是非常数等比数列”的充要条件是“SnAqnA(A 0), 其中公比是q”。5常数列：ana (nN)a.是公差d 0的等差数列；非零常数列既是等差数列，又是等比数列；既是等差数列又是等比数列的数列必为非零常数列6若an是等差数列，则ban是等比数列(b 0)；若an是等比数列，则|gban是等差数列；7对于等差、等比数列，你是否掌握了类比思想？&等差数列

29、、等比数列有哪些重要性质？你注意到它们的性质的关键在于下标以及结构特征了吗?等差数列等比数列从第二项起，后一项减前一项的差是冋一个从第二项起, 后项与前一项的比是冋一疋常数，则该数列为等差数列。非零常数， 则该数列为等比数列。义1.anan 1d (n2,n N )an(n2,n N,q 0)1.-q3n 1通项1(n公式an d(n 1)d (nN )anaN )刖nS佝 an)nn n atn21n(n 1)d2natq 1项和Sna1(1 qn)a1anqq 1公式2An Bn (nN)1q1 qSn 1通项公式an与刖n项和公式Sn之间的关系：anSnSn 1n 2, n N1.ana

30、k(n k) d(n,k N)1 anqn k(n ,kN )ak2.2an 1anan 2(nN )性2.an 1anan2(nN ,an 10)0,;线面角：0,-2 220质3 .若i j k l 2p,贝U：ajaaka,2ap(a1an) n (a?an 1) nSn_2- 2-3.若i j k l 2p,贝V：a,ajaka,包)24若k1,k2,k3是公差为k的等差数列，贝9： ak1,ak2,ak3是公差为k d的等差数列。4若k1,k2,k3是公差为k的等差数列，则：ak1,ak2,ak3是公比为qk的等比数列。5.an,bn分别是公差为d1,d2的等差数列，、是常数，则：a

31、nbn是公差为d1d2的等差数列。5.an,bn分别是公比为q,q2的等比数列，、是非零常数，则： anbn是公比为q1q2的等比数列；an是公比为q1的等比数列。bnq2例 1 已知an是等比数列，且an的前n项和Sn3nr，则r _例 2 .在等比数列an中，a3a8124,a4ai512，公比q是整数，则aio _9无论是在等差数列还是在等比数列中，共有五个关键量：ai、an、Sn、n、d或q,如果已知其中三个量，则可由an及Sn的公式，求出其余两个量（知三求二）；10求数列通项公式有哪几种典型类型？anan 1d(n2,n N)或nq(n 2,nan 1N）型（定义等差或等比数列利用公

32、式） 已知an 1anf (n)或an 1g(n )(n N)型/ 田、【，工rt P-田 r, _工rr、（累计求和或累计求积） 已知an时减去q）Er zrr-、t . Lan 1p anq（p 1）型（寺式左右两边同1 p 已知和Sn，求项an,则:anS1n11（是否注意到“n 2”？）SnSn 1n2 .5利用迭代、递推的方法6数学归纳法证明 （用数学归纳法证明问题的关键是什么？.是否具有从特殊到一般的思维模式）213通过判断“等差等比”型错位相减法。4通项或表达式为分式时，常用裂项相消求和法。常用裂项方法：_1_ 丄(丄)(m n)(k m)(k n) m n k n k m5倒序

33、相加法，或倒序相乘法，强调配对思想。6对于数表型问题，找规律，再操作。7对于奇偶项的不同，分类讨论，分别求和。(注意项数、公差、公比的变化) 例 10 .12xx2，贝y f 1 f 2 f 3 f 41 x13.你会根据数列项的关系来研究“数列和的最值”以及“数列积的最值”吗?3 .数列an满足N，则an4 .数列an满足aian3an 12,n 2,N，则an5.数列an满足则an6 .数列an满足1a122n 5，则an11 .求数列an的最大、最小项的方法:注意点:函数思想(特别是，禾U用数列的单调性)作差比较anan 1(an)maxanan7 .数列8.an9.ananan1；(a

34、n)min1an的通项公式为的通项公式为an的通项公式为anan9nanan2n2156n 110n12 .求数列前n项和Sn有哪几种典型类型? 通过判断“等差或等比数列”通过判断“等差等比”型anan29n3，则an的最大项为则an的最大项为，贝y an的最大项为利用求和公式求解。分组拆项求和。例 11 .函数22例 12 .等差数列an中，a125,S9S7，问该数列中多少项和最大？并求此最大值。23例 13 .若an是等差数列，首项ai0,a2003a20040,a2003a20040,则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是14. 数列换元应注意哪两个原则？（最小下标原则以及下标一致原则

35、）15. 极限有哪几种典型类型？分别如何处理？不存在16.极限的运算性质有哪些?极限的四则运算应满足：项数有限且每一项都有极限若每期存入本金p元，每期利率为r，则n期后本利和为：Snp 1 r p 1 2rp 1 nr；分期付款复利问题：若贷款p元，采用分期等额还贷款，从借款日算起，一期后为第一次还款日，如此下去，分n次还清，如果每期利率为足：x 1复数1.你还记得复数是怎样定义的吗?虚数单位i:四次一循环.i;21;.i;1; (kZ)注：易知（1 i）22i；lim c c（ c 为常数） ；nlimn0(a0):lim qnlimnan2bn c dnen flimnbn-,|a| a-

36、,|a| b1a|b|b|1b，a如果：lim anA,lim bnnn则：lim (annbn)lim(annbn)咗 A(B 0)lim(an)k(liman)knnAkk为有限数；18.19.lim qn0_? （q上述q与等比数列的公比有什么区别吗?无穷等比数列的1）;若nim qn存在，则q满足什么条件？（q“各项和”就是“所有项和”，也就是数列和的极限。它的前提是等比数列的公比q满足：q1且q0,则a11 q*20 .存款单利问题：（零存整取储蓄 （单利） 本利和计算模型）r（按复利），那么每期等额还贷款x元应满o24(12i)22ik；(12ki)2k2k(1 i)(2)kik复

37、数的代数形式：形如a bi（a,b R）的数叫做复数，记为:z a bi (a,b R)。252.a叫做复数z的实部，记为：Rez a；b叫做复数z的虚部，记为：Imz b,注意：复数的虚部是一个实数 注：虚数不能比较大小；能比较大小的复数是实数Zia bi,Z2a bi (a,b R),则称Zi、注：实数a的共轭复数就是本身，即z R Im z 0 z z数的分类：复数 z=a+bi（a,bR)解复数问题的指导思想是什么?z20a a (aZ2为共轭复数，记为:R);z是纯虚数有理数整数 实数无理数纯虚数：a 0 且 b 虚数北非纯虚数：z aZiZ2，或Z2z。RezIm z正整数0负整数

38、分数0,即 z bi(b 0)bi(a 0 且 b 0)z20（根据复数相等的充要条件， 将复数问题转化为实数问题求解）设Zia bi,Z2c di(a,b,c,dR),则Ziza c 且 b d（把复数问题转化.为实数问题）3 复数的性质有哪些?共轭的性质：i.ziz2ziZ2；ii.ZiZ2认(f)zZ2iv.(z)模的性质：i.iv.ziz2ziz2；Zi|Zi|nr-r ；i.zZ2IZ2|ZiZ2；ii.2v.ZiZ22ZiZ2znz22ZiVi.|Zi| |Z2| | Z2| | | |Z2|mnm n/ n、mn m/ m、ni .zzZ；ii.(Z )z(Z )；幕的运算法则：

39、 （注：n、m 为整数）2V.(i i) 2i(i i)2n(2i)n；(i i)22ivi.Z2iii.(ZiZ2)n(Zi)n(Z2)n；(i i)2n( 2i)n；i ,i的本质：方程x3i的三个根是 i 和】-i，其中2i,2i叫做立方虚根。的运算满足三次一循环:3ki；3k i3k 2iii；i4.你还记得实系数一元二次方程的求根公式吗？ “共轭虚根定理”的前提是什么，结论是什么?2627实系数兀二次方程:ax2bx c 0(a,b,cR,a 0)b24ac有两个实数根:Xl,X2ii当b24ac有一对共轭虚根:X1, Xb :4ac b i；无论0还是0，韦达定理都成立:注意：（1

40、）XiXi实系数一二次方程ax2bx c 0（ a, b, cX2X2R,a0）中，以下公式和定理适用.：求根公式；利用判别式判断根的情况与个数；韦达定理；共轭虚根定理（即虚根成对出现）（2 ）虚系数一元二次方程中：仅韦达定理 可用；（3）已知x2是一元二次方程ax2bx c 0(a, b,c R,a 0)的两根，则i.若|X1X2| p(p 0)，则(X10X2)2或04x2(x12 2X2)pii.若|X1| X2| p(p 0)，则2X102X2矩阵1.矩阵：由m n个数aj(i 1,2,3,形数表叫做矩阵，记为：Aa11a21a12a22a13a23am1am2am322|X2| pa

41、ij|Xi|X2|p2 |X1|2 X X22.元素：矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，记为1,2,3,a1n已乃，简记为:amnaij。n）按顺序排成的m行、n列矩Aaj mn，读做：矩阵A.ij3.单位矩阵：主对角线上元素均为1,其余元素均为0的方矩阵，叫做单位矩阵，记为例如：2阶单位矩阵:10；3阶单位矩阵：014.负矩阵：将矩阵Aaijn中每一个元素aj变为其相反数aj,所得的矩阵称为矩阵A的负矩阵，记为：Aaij5.零矩阵：所有的元素都为0的矩阵，称为零矩阵。28i9都相等，即ajbj时，则称这两个矩阵相等，记做:Cjajbij，所得到的矩阵C Cjmn称为矩阵注：矩阵相等、矩阵加减运

42、算，前提条件是两矩阵的行数与列数相同。矩阵变换：要“左乘”变换矩阵1两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵； 若AB 0，一般不能推出3若AB AC,即使A是非零矩阵，也不一定有B C: 矩阵乘法不满足交换律,般不相等。6 相等矩阵：若两个矩阵是同类型，即A ajB bj，当且仅当它们对应位置的元素矩阵加法运算律:交换律：ABBA结合律：（A B）A (B C)；8 .数与矩阵相乘：设k为任意实数，将矩阵Aajmn的所有元素都与相乘得到的矩阵ka-ika-2kai3Lka-nka2ika22ka23Lka2nMMMka0Mkamikam2kam3Lkamn叫做矩阵A与实数k的乘积矩阵，记作：Aaij

43、m n。注：实数与矩阵的乘法运算律：如果B是两个同类矩阵,n是任意实数, 那么:实数关于矩阵加法的分配律:m( AB) mA mB；矩阵关于实数加法的分配律:(mn) A mA nA；实数关于实数与矩阵乘法的结合律:(mn)A m(nA)；9.矩阵的乘积：当且仅当矩阵A aijn的列数n与矩阵Bhj的行数P相等时，定义矩阵qC Cijmq的任意一个元素Cj3i1bijai2b2jai3b3jainbpj,则称矩阵C是矩阵A与矩阵B的乘积，记作:C AB。注：两个矩阵进行乘法运算， 必须是左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数,其核心为:“左行乘右列”。7.矩阵的和（差）：两个同类型矩阵Aaj mnb

44、j m n对应位置上的元素相加（减），设B的和，记做：CA 0或者B即AB与BA30行列式一a1bi1 .二阶行列式：，其展开式为：a-ib2a2b1。a2b2i9aii9I2ai3a2ia22a23a3ia32a33aiiai2ai3a2ia22a23a3ia32a33a22a23a2ia23a2ia22aiiai2ai3a32a33a3ia33a3ia32a2ia23aiiai3aiiai3ai2a22a32a3ia33a3ia33a2ia232 设二兀一次方程组：aixbyCi，其中ai、a2、bi、b?是未知数x、y的系数，且不全为a2x b2y c2i、当D 0时，方程组有唯一解:i

45、i、当D 0,且Dx、Dy不全为零时，方程组无解;iii、当DDxDy0时，方程组有无穷多组解。D 0方程组有无穷解或无解（只需知道即可）1余子式：把三阶行列式中某元素aij所在的行和列划去后所得的二阶行列式叫做该元素aij的余子式，记做：Mj（本质：还是行列式）。aj的代数余子式。三阶行列式可以按任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和;按任意一列展开成该列元素与其对应的代数余子式的乘积之和;aiiai22 3aiiai2；代数余子式为i M23a3ia32a3ia32例如：a23的余子式为：M23零，Ci、C2是常数项，设Daibia2b2，DxCi，DyC2b，aiG,则方程

46、组可整理为:a,c,D xDxD yDy注意：利用三阶行列式解线性方程组时:D 0方程组有唯一解;3把九个数排成三行三列的方阵称为三阶行列式，记做:aiiai29I3a2ia22a23a3ia32a33按行列展开为:aiia,2933a21a32ai3a3iai2a23313822931a23a329IIa33ai2a2i。 代数余子式：把某元素aij的余子式M耳添上相应的符号ii j，得到Mj,叫做该元素三阶行列式可以例如:32向量1 向量的本质是什么？ 即有大小又有方向的量；向量平移具有坐标不变性 ，可别忘了啊！2.向量的性质有哪些？1相等向量：大小相等，方向相同的两个向量叫做相等向量，记

47、为：（与起点，终点的位置无关）；2互为负向量：大小相等，方向相反的两个向量叫做互为负向量。a的负向量：a；a （ a） 0;3平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。（平行向量与大小无关）若a,b都是非零向量，则a/b a kb（k R）；（向量平行即共线）4零向量：大小为零的向量叫做零向量，记为：0。（零向量方向任意）注：00,00,0任意向量，0任意向量；5单位向量：大小为1”的向量叫做单位向量。单位向量方向不确定；单位向量不唯一；单位向量之间不一定相等；若a0是非零向量a的单位向量，则：a0则ABC的面积公式SABC位置向量：起点在原点的向量叫做位置向量 坐标与终点的点坐标位置向

48、量与向量终点一对应位置向量的向量对应xiX2X3i9判断向量垂直的依据：a判断向量平行的依据：（非零向量）方法一：存在常数k，使得a kba/b且k0时，a与b同向;k 0时,a与b反向。3.coscos向量a在向量b方向上的投影:cos你掌握了“数与向量相乘”，“向量的数量积”a b的运算了吗?数与向量乘积:a=ka（结果为向量）运算律：当R时，i、iii、向量的数量积:rrab同向反向a/b。 （投影有正负）注：若ka 0，则(m n)a ma na；m(na) (mn)a n(ma)cosii、m(ab) mamb；0,（结果为实数）344向量的运算与实数运算有区别：等式两边能同时约去一

49、个向量吗？；向量满足的乘法结合律吗?（即a （b c） （a b） c）。切记向量不能相除。4 线段的定比分点公式记住了吗？的取值与定比分点P和RP2的位置有何关系？i、中点公式以及重心公式你还记得吗？ii、在利用定比分点解题时，你注意到1了吗？5 平面向量分解定理：如果&、ez是同一平面内的两个不平行的向量，那么对于这个平面内的任意向量a,有且只有一对实数1、2，满足a1e2e。6 函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系！例 1.按向量a把点2, 3平移到1, 2，则按向量a把点7,2平移到点 _例 2.函数y sin 2x的图象按向量a平移，得到函数的解析式是y cos2x 1，

50、则a _7.向量坐标:平面向量空间 向量（理）*x, y R+zkRax,yxiyjax,y,zxiyjx, y,zaJx22ya1若ax1iy1j；bx?i y2j若axyj乐；* bx2iY2jz2k则：abx1x2则：4aby1y2Z1Z2r若ax,y，则:ax, y若ax, y, z,则：a性质：a b，f1!b a(a b) c a c*-r*b cm(a b)r rrr(ma) b a (mb)一2亠2一2 - 12a b(a b)a 2a b b一 一arccostt 0a bcostt 0a b2 arccost t 035右 a x, y , k R右 a x,y,z , k

51、 R贝 H ka_贝 H ka kx, ky,kz数与向量相乘,结果仍为向量若 a X1, y1, b X2,y2右 a乂仆, , b则 a 与 b 的数量积为：则 a 与 b 的数量积为：、Ml-a bX1X2y1ya b向量与向量的数量积为实数右aX1,y1,bX2,y2右aX1, y1, zb X2, y2,Z2则a与b的夹角的余弦为：0,则a与b的夹角的余弦为：0,COSa bcosa bX1X2y1y2乙 Z2ab|a|b J/2 2 1 2 2 2y1Z1寸 X2y2Z2X1,y1, bX2,y2若 a乂仆, , bX2,y2,z2bX1X2, y1y2则 a-i-bbX1X2,

52、y1y2 ab右 a则 aa向量的加，减运算的最终结果仍为向量若非零向量4ax1iyij:；X1,y1R非零向量bx2iy2j;X2, y2R则：a/bakbXikx2.;yiky2abab0 x1x2yy0非零向量a Xii yij；洛，力，乙R非零向量b x2i y2j z2k；x2,y2,z2R则:a kb _X1X2y2z0零向量：0 0_零向量：00,0,0若a x, y,若a x, y, z,则与a同方向的单位向量ao为:已知：R(xi,yi),卩2&22),已知：P(Xi,yi,P3(X3,y3)，且PRP3P2,1F3(X3,y3,Z3)，且RF3F3F2,1则与a同方

53、向的单位向量aoa。36XiX2则X31，中点：(Xi X2yiy2)yiy222y31重心：(x1x2x3y1y2y3)3,3X1X2X3-1则yy2中点：八X2y1y2Z1z2)y31222z Z2Z31重心：X1X2X3y1y2y3Z1Z2Z3、(-,- ,- - )333（理）&空间向量在立体几何中的应用1异面两条直线AB、CD所成的角 ：2空间直线I与平面 所成线面角的大小:面角为 ，直线I的一个方向向量为d，平面 的一个法向量为n，贝U sin 设P为平面 外一点，H是点P在平面 上的射影，设A为平面 内任意一点，n为平面 的_r一个非零法向量，则点P到平面的距离为PA n

54、+n。urn r直线1的方向向量是d，平面的法向量是n则I /d nirinirnnirnn平面 的法向量是n,，平面的方向量是则/m /n2, n2立体几何1 立体几何的三个公理及其推论你还记得吗？你能画出图形并写成数学语言吗？公理（一）：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 公理（二）：如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线。 公理（三）：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论 1 ：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论 2:经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论 3:经过两条平行直线，有且

55、只有一个平面。公理（四）：平行于同一直线的两条直线互相平行。2.立体几何中的判定定理、性质定理你了解吗？3.线、线关系：共面平行相交异面（当直线I与平面相交且不垂直时）设I与所成的线二面角：设二面角的两个半平面所在的平面2的法向量分别为n1、n2，二面角的大小为(0的范围由图象确定。)，则 I cos，且371证明两直线是异面直线思想方法：反证法； 异面直线所成角的范围：（0,；23异面直线所成角的求解思想方法：i平移 相交 放入三角形中利用余弦定理求解；（理）ii 建立空间直角坐标系利用向量夹角公式加以求解。例 1 正四棱锥P ABCD的所有棱长相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所

56、成角的余弦值为 例 2在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是侧棱DD,的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱ABi上的一点，贝U OP与AM所成角的大小为 _线在面内直线与它在平面内的射影所成的角叫做“线面角”； 线面角的取值范围：0,;2 线面角的求解思想：关键找出线在平面内的射影。例 3 在正三棱柱ABC A1B1C1中，已知AB 1,D在BB1上，BD 1,则AD与平面AA1C1C所成的角为_5面、面关系：1 IJ相交1由一条直线和这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;2二面角的取值范围：0 ,;3二面角的求解思想：i找出或作出二面角（关键要找到面的垂线）i建立坐标系，用向

57、量求解。例 4 正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，对角线BD1则二面角C1BD1B1的大小为_例 5从点P出发引三条射线PA、PB、PC,每两条的夹角都是600，则二面角B PA C的余弦值为_6 常见的多面体有哪些？（请试着自己画出它们的图像）1正三棱锥：底面是正三角形；顶点在底面上的射影是底面的中心。2正四面体：所有的棱都相等，所有的面都是正三角形；V314线、面关系:线在面外线、面平行线、面相交8，且BD1与侧面BB1C1C所成角为300,38侧棱与底面所成角的大小为：arccos；侧面与底面所成角的大小为：arccoL；3339每组对边所成角的大小为：一。23正四棱锥：底面是正方形

58、，侧面是等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面的中心。4正六棱锥：底面是正六边形，侧面是等腰三角形； 顶点在底面上的 射影是底面的中心。5平行六面体：所有的面都是平行四边形。6正四棱柱：底面是正方形；侧棱垂直底面。7正方体：所有的面都是正方形。8长方体：所有的面都是矩形；长方体的体对角线的平方等于经过同一顶点的三条棱的平方和，即： 如果长方体的一条体对角线与经过同一顶点的三条棱所成的角分别为：2 2 2cos 1 cos 2 cos 31.圆锥：将直角三角形ABC（及其内部）绕其一条 直角边 体叫做圆锥。圆锥过顶点的截面是一个等腰三角形，当这个截面同时过圆锥的轴时，截面就成了轴截面。在所有过圆锥

59、顶点的截面中，面积最大的不一定是轴截面，设圆锥的母线是12截面等腰三角形的顶角为，0，则截面面积为 丄|2Sin,2012当090时，面积最大的截面就是轴截面，最大截面面积为：一I sin21-”；柱体的体积公式为底面积乘以高，不可以乘39 球：将圆心为0的半圆（及其内部）绕其直径AB所在的直线旋转一周, 记做：球0。4已知球的半径为r，则球的表面积为：S 4 r2；球的体积为V3经线：球面上从北极到南极的半个大圆。纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆。1、2、3，则:圆柱：将矩形ABCD（及其内部）绕其一条边AB所在直线旋转一周l，轴截面的顶角为900时,面积最大的截面不是轴截面而是过

60、的截面，最大截面面积为2丄|27 锥体的体积公式不要忘了系数&注意区分表面积与侧面积。db2ah11J -I亠-_ J 讣,所形成的几何体叫做圆柱。uAB所在直线旋转一周，所形成的几何F40经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与00经线及地轴确定的半平面所成的二面角的度数。纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。上的所有点,0。41球面距离： 在联结球面上两点的路径中， 通过该两点的大圆劣弧最短， 该弧的长度称为球面上两点 间的球面距离。10 球面上两点A、B间距离的求法：计算线段AB的长；计算球心角AOB的弧度数； 用弧长公式计算劣弧AB的长。直线1 直线的倾斜角与斜率k的关系：0, ）,k R当倾斜角2时，的正