(完整word版)三角函数公式全集合

1、三角函数 1.诱导公式 sin(-a) = - sin(a) cos(-a) = cos(a) sin( n /2 - a) =cos(a) cos( n /2 - a) =si n(a) sin( n /2 + a) =cos(a) cos( n /2 + a) =-sin(a) sin( n - a)= sin (a) cos( n - a)= -cos(a) sin( n + a)= -sin(a) cos( n + a)= -cos(a) 2. 两角和与差的三角函数 sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos( a )sin(b) cos(a + b) = cos(

2、a)cos(b) - sin( a)s in(b) sin(a - b) = sin( a)cos(b) - cos(a)s in(b) cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin( a)s in(b) ta n(a + b) = ta n(a) + tan (b) / 1 - tan (a)ta n(b) tan (a - b) = ta n(a) - tan (b) / 1 + tan( a)ta n( b) 3. 和差化积公式 sin (a) + sin(b) = 2si n(a + b)/2cos(a - b)/2 sin (a) - sin(b) = 2si n(

3、a - b)/2cos(a + b)/2 cos(a) + cos(b) = 2cos(a + b)/2cos(a - b)/2 cos(a) - cos(b) = - 2sin(a + b)/2sin(a - b)/2 4. 积化和差公式 sin (a)si n(b) = - 1/2cos(a + b) - cos(a - b) cos(a)cos(b) = 1/2cos(a + b) + cos(a -b) sin( a)cos(b) = 1/2s in (a + b) + sin (a - b) 5. 二倍角公式 sin( 2a) = 2sin( a)cos(a) 2 2 2 2 cos

4、 2a = cos a - sin a = 2cos a - 1= 1 - 2sin a 6. 半角公式 2 sin a = (1 - cos 2a ) / 2 2 cos a = (1 + cos 2a ) / 2 tan a = 1 cos 2a /sin 2a = sin 2a / 1 + cos 2a 7. 万能公式 sin (a) = 2ta n( a/2) / 1+ta n2(a/2) cos(a) = 1-tan2(a/2) / 1+tan2(a/2) tan(a) = 2ta n(a/2) / 1-ta n2(a/2) 三角函数公式 CM至三角函数是数学中属于初等函数中的超越函

5、数的一类函数。它们的本质是 任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。 通常的三角函数是在平面直 角坐标系中定义的。其定义城为整个实数城。另一种定义是在直角三角形中，但 并不完全。现代数学把它们描述成无穷敖列的极限和微分方程的解， 将其定义扩 展到复数系。 目录 公式分类 同角三角函数的基本关系 平常针对不同条件的常用的两个公式 一个 特殊公式 坡度公式 锐角三角函数公式 二倍角公式 三倍角公式三倍角公式半角公式万能公式 其他四倍角公式五倍角公式 六倍角公式七倍角公式 八倍角公式九倍角公式十倍角公式 N倍角公式 半角公式 两角和公式 三角和公式和差化积 积化和差双曲函数三角函数的诱导公式（

6、六公式） 万能公式其它公式 内容规律公式分类 同角三角函数的基本关系 平常针对不同条件的常用的两个 公式 一个特殊公式坡度公式 锐角三角函数公式 二倍角公式 三倍角公式三倍角公式半角公式 万能公式其他 四倍角公式五倍角公式六倍角公式七倍角公式八倍角公式九倍角公式十 倍角公式N倍角公式半角公式两角和公式三角和公式和差化积积化和差 双曲函数 三角函数的诱导公式（六公式） 万能公式其它公式内容规律 展开 E3编辑本段公式分类 同角三角函数的基本关系 倒数关系： tan a cot o=1 sin a esc a=1 cos a sec a=1 商的关系： sin o/cos a=tan a=sec

7、acsc a 平方关系： sin1 a+cos2 ai 1+tan2 asec1 a 1+cdt a=csc2a 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin1 u+toss a=1 tan a *cat a=i 一个特殊公式 (sina+sin 0 * (sina-sin 0) =sin (a+ 0) *sin (a- 证明：(sina+sin 0) * ( sina-sin 0) =2 sin( 0+a)/2 cos(a- 0/2 *2 cos( 0a)/2 sin(a- 0)/2 =sin (a+0 *sin (a- 0) 坡度公式 我们通常把坡面的铅直高度h与水平高度I的比叫做坡度(也叫坡

8、比)，用 字母i表示， 即i=h / I, 坡度的一般形式写成I : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平 面的夹角记作 a(叫做坡角)，那么i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦：sin a=Z a的对边/ / a的斜边 余弦：cos 0=Z a的邻边/ / a的斜边 正切：tan a=Z a的对边/ / a的邻边 余切：cot 0=Z a的邻边/ / a的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA cosA 余弦 1 cos2a=cosa a-sin1 a 2 cos2a问a 3 cos2a=2tos* a-i 即 cos2a 护 a-gms a =2cosa a 4 =

9、 J-2sina a 正切 tan2A= (2tanA ) / (1-tan2(A) 三倍角公式 sin 3A = 3 sin A-4sin3 A COE3A = 4cos3- 3c0sA 三倍角公式 sin3 a=4sin a sin( n3+ a)sin( 43- a cos3 o=4cosacos( n3+ a)cos( 43- a tan3a = tan a tan( V3+a) tan( n3-a) 三倍角公式推导 si n(3a) =sin( a+2a) =sin 2acosa+cos2as ina =2si na(1-si na)+(1-2si na)si na =3si na-

10、4si nWa cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-s in 2as ina =(2cosa-1)cosa-2(1-cosAa)cosa =4cosA3a-3cosa si n3a=3si na-4si nA3a =4si na(3/4-si na) =4sina( A3/2)-Sina =4sina(sin60 -sina) =4sina(sin60 +sina)(sin60 -sina) =4si na*2si n (60+a)/2cos(60 。-a)/2*2s in (60 。-a)/2cos(60 。-a)/2 =4sinasin(60 +a)sin(60 -a)

11、 cos3a=4cosA3a-3cosa =4cosa(cosa-3/4) =4cosacosa-(辺/2)八2 =4cosa(cosa-cos30 ) =4cosa(cosa+cos30 )(cosa-cos30 ) =4cosa*2cos(a+30 /2cos(a-30 )/2*-2sin(a+30 /2sin(a-30 )/2 =-4cosasin(a+30 )sin(a-30 ) =-4cosasin90。-(60 0-a)sin-90 +(60 +a) =-4cosacos(60 -a)-cos(60 +a) =4cosacos(60 -a)cos(60 +a) 上述两式相比可得 t

12、an3a=tanatan(60 -a)tan(60 +a) 现列出公式如下： sin2 a=2sin acos a tan2 a=2tan a(1-tan a ) cos2 a=cos asin a=2cos a1=1-2sin a 可别轻视这些字符，它们在数学学习中会起到重要作用， 包括在一些图像问 题和函数问题中 三倍角公式 sin3 a=3sin a4sin a=4sin a sin( n3+ sin( 43- a) cos3 a=4cosa3cos a=4cos a cos( n3+ a)cos( n3- c) tan3 a=tan( M*(-3+tan( a)A2)/(-1+3*ta

13、n( c)A2)=tan a tan( n3+a) tan( n3-a) 半角公式 sinA2( C2)=(1-cos ”/2 cosA2( C2)=(1+cos o)/2 tanA2( C2)=(1-cos o)/(1+cos a) tan( C2)=Sin C(1+COS O)=(1-COS /sin a 万能公式 sin a=2tan( 02)/1+tan( a/2) cos a=1-tan( /2)/1+ta门八2( a2) tan a=2tan( 02)/1-tan&s( o/2) 其他 sin a+sin( a+2nn)+sin( a+2n2/n)+sin( a+2n3/n

14、)+ . +sin a+2 n(n-1)/n二 0 cos a+cos( a+2nn)+cos( a+2 n2/n)+cos( a+2n3/n)+ . +cos a+2 n(n-1)/n二 0以及 sinA2( a+si门八2( a d3)+si门八2( a+2M3)=3/2 ta nAta nBta n(A+B)+ta nA+ta nB-ta n(A+B)=0 四倍角公式 sin 4A=-4*(cosA*si nA*(2*si nAA2-1) cos4A=1+(-8*cosAA2+8*cosAA4) ta n4 A=(4*ta nA-4*ta nAA3)/(1-6*ta nAA2+ta nA

15、A4) 五倍角公式 sin 5A=16si nAA5-20si nAA3+5si nA cos5A=16cosAA5-20cosAA3+5cosA tan 5A=ta nA*(5-10*ta nAA2+ta nAA4)/(1-10*ta nAA2+5*ta nAA4) 六倍角公式 sin 6A=2*(cosA*si nA*(2*si nA+1)*(2*si nA-1)*(-3+4*si nAA2) cos6A=(-1+2*cosA)*(16*cosAA4-16*cosAA2+1) tan 6A=(-6*ta nA+20*ta nAA3-6*ta nAA5)/(-1+15*ta nA-15*ta

16、 nAA4+ta nAA6) 七倍角公式 sin 7A=-(si nA*(56*si nAA2-112*si nAA4-7+64*si nAA6) cos7A=(cosA*(56*cosAA2-112*cosAA4+64*cosAA6-7) tan 7A=ta nA*(-7+35*ta nAA2-21*ta nAA4+ta nAA6)/(-1+21*ta nAA2-35*ta nAA4+7* tan AA6) 八倍角公式 sin 8A=-8*(cosA*si nA*(2*si nAA2-1)*(-8*si nAA2+8*si nAA4+1) cos8A=1+(160*cosAA4-256*co

17、sAA6+128*cosAA8-32*cosAA2) tan 8A=-8*ta nA*(-1+7*ta nAA2-7*ta nAA4+ta nAA6)/(1-28*ta nAA2+70*ta nAA4-28 *ta nAW+ta nA8) 九倍角公式 si n9A=(si nA*(-3+4*si nAT)*(64*si nAW-96*si nAM+36*si nAT-3) cos9A=(cosA*(-3+4*cosAA2)*(64*cosAA6-96*cosAA4+36*cosAA2-3) tan 9A=ta nA*(9-84*ta nAA2+126*ta nAA4-36*ta nAA6+ta

18、 nAA8)/(1-36*ta nAA2+126 *ta nAA4-84*ta nAA6+9*ta nAA8) 十倍角公式 si n10A = 2*(cosA*si nA*(4*si nAA2+2*si nA-1)*(4*si nAA2-2*si nA-1)*(-20*si nAA2+5+16 *si nAA4) cos10A = (-1+2*cosAA2)*(256*cosAA8-512*cosAA6+304*cosAA4-48*cosAA2+1) tanlOA = -2*ta nA*(5-60*ta nAA2+126*ta nAA4-60*ta nAA6+5*ta nAA8)/(-1+45

19、*ta nAA2-210 *ta nAA4+210*ta nAA6-45*ta nAA8+ta nAA10) N倍角公式 根据棣美弗定理，(cos(+ i sin 常门=cos(n 0)+ i sin(n 0 为方便描述，令 sin 0=s, cos 0=c 考虑n为正整数的情形： cos(n 0+ i sin(n 0) = (c+ i s)An = C(n,0)*cAn + C(n,2)*cA(n-2)*(i sF2 + C( n,4)*cA( n- 4)*(i sF4 + . +C( n,1)*cA( n-1)*(i sl + C(n ,3)*CA( n-3)*(i sF3 + C( n,

20、5)*cA( n-5)*(i sF5 + . = 比较两边的实 部与虚部 实部：cos(n 0=C(n,0)*cAn + C(n,2)*cA(n-2)*(i sF2 + C( n,4)*cA( n-4)*(i sF4 + . i* (虚部)：i*sin(n 0=C(n,1)*cA(n-1)*(i sl + C(n,3)*cA(n-3)*(i sF3 + C(n ,5)*cA( n-5)*(i s)A5 + . 对所有的自然数n： 1. cos(n 0 : 公式中出现的s都是偶次方，而sA2=1-cA2(平方关系)，因此全部都可以改 成以c(也就是cos 0表示。 2. sin(n 0 : (1

21、) 当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而cA2=1-sA2(平方关系), 因此全部都可以改成以s(也 就是sin 0表示。 (2) 当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而cA2=1-sA2(平方关系), 因此即使再怎么换成s，都至少会剩c(也就是cos 0的一次方无法消掉。 (例.cA3=c*cA2=c*(1-sA2) ，cA5=c*(cA2)A2=c*(1-sA2)A2) 半角公式 tan( A/2)=(1-cosA)/si nA=si nA/(1+cosA) si nA2(a/2)=(1-cos(a)/2 cosA2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan( a/2)=(1-c

22、os(a)/si n(a)=si n( a)/(1+cos(a) an(A72)三 (1 -ccsA)72 cos(A/ 2) = (1 +COJA)/ 2 tan (A f 2) ：= ! - cos A) / (1 + c*sA) 吨=JR cosAy(lcosA) 半角公式 两角和公式 三鬲箴认齣禹知矗扎 sim J /#I = sin 亿艸“ 008.4sin# 11) = Jun/ + sin . * r. t；m r I hm H LLIDI . I n)I - 17 ton .4 lan B 两角和公式 cos( a =cos ocos f-sin ain B cos( a -=

23、cos ocos 供sin ain - sin( a -=sin ocos 供cos oin - sin( a B=sin oos -cos asin - tan( o+-=(tan a+tan -/(1-tan Oan - tan( a -=(tan atan -/(1+tan aan - cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 三角和公式 sin( a+-+Y=s in a cos - s Ycos a s in -cos 7+cos a cos - si n ys in a si n

24、-si n 丫 cos( a+-+Y=cos acos-is Y cos asin -sin YS in a cos - si n ysi n asin -cos 丫 tan( a+-+Y=(tan a+tan -+tan 苹tan atan -tan Y/(1-tan atan -tan -tan ytan 丫 tan a 和差化积 sin (+sin =2sin( (+ )/2 cos( (- )/2 j- .止m. N 4,址 軽 T . r, ： I寻凰 4 =出 谄他 I mi r J H 勺 峠 T T .n 11 A ii lihH Irak H - IHCM. E1 Ah H

25、tJu. J Ini A* 1 G J 阳 * 和差化积公式 sin 0-sin =2cos( (+ )/2 sin( (- )/2 cos (cos =2cos( (+ )/2cos( ( )/2 cos (-cos 忻-2sin( (+ )/2sin( (- )/2 tan A+ta nB=si n(A+B)/cosAcosB=ta n(A+B)(1-ta nAta nB) tan A-ta nB=si n(A-B)/cosAcosB=ta n(A-B)(1+ta nAta nB) 积化和差 sin osin f=-cos( a -cos(a /2 cos ocos 3=cos( a+ +

26、COS( a /2 sin ocos f=sin( a 3+sin( a/2 cos osin 3=sin( a f)-sin( a /2 双曲函数 sh a = eAa-eA(-a)/2 ch a = eAa+eA(-a)/2 th a = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 设O为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin (2k n o) =sin o co (2k n o) =co o ta (2k n o) =ta o co (2k n o) =cot o 公式 ；二： 设O为任意角，T+O的三角函数值与O的三角函数值之间的关系： sin (n+ a = -sin

27、 o cos ( n+ a = -cos o tan ( n+ a = tan o cot ( n+ a = cot o 公式三： 任意角o与-o的三角函数值之间的关系： sin (- o) = -sin o cos (- o) = cos o ta n (- o) = -ta n o cot (- o) = -cot o 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 n o与o的三角函数值之间的关系: sin ( n a =sin o co ( n a =-co o ta ( n a =-ta o co ( n a =-co o 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2 n o与o的三角函数值之间的关

28、系: sin (2 n o) = -sin o cos (2 n o) = cos o ta n (2n o) = -ta n o cot (2 n o) = -cot o 公式六： n2 o及 3 n2 o与 o的三角函数值之间的关系： sin (n2+ a) =cos a co (n2+ a) =-sin a ta (n2+ a) -cot a cot (n2+ a) =-tan a sin (n2- a) =cos a co (n2- a) =sin a ta (n2- a) =cot a cot (n2- a) =tan a sin (3n2+ a =-cos a co (3n2+ a

29、 =sin a ta (3n2+ a =-cot a cot (3n2+ a =-ta n a sin (3n2 =-cos a co (3n2 =-sin a ta (3n2 =cot a co (3n2 =tan a (以上k Z) A sin(衣+ ()+ B sin( wt+ 妨= v(A+2ABcos( & 切 -sin wt + arcsin (A sin (+B sin / +2ABcos( (- ) 、表示根号，包括 . 中的内容 三角函数的诱导公式(六公式) 公式一： sin(- a = -sin a cos(- a = : os a ta n (- a=-t an

30、a 公式二： sin( V2- a cos a cos( n2- a sin a 公式三： sin( n2+ a cos a cos( n2 a -sin a 公式四： sin( n a =sin a cos( n a -cos a 公式五： sin( n a -sin a cos( n a -cos a 公式六： tanA= si nA/cosA tan ( n2+ a) = cot a tan (M2 a) =cot a tan ( n a) = tan a ta n ( a) =ta n avAA2 +BA2 诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 万能公式 sinasina = 2

31、sti7i(i/ 2) cosacosa = (t - sansan1 1 (a / 2)/(l (a /2) tafia *tafia * 2) 万能公式 sin a=2tan( a2)/1+(tan( 2) cos a=1-(tan( a2)/1+(tan( 2) tan a=2tan( a2)/1-(tan( a2) 其中tone bla xcoslfl-e),其ptac -aib 1= sin(a / 2)+cos (a / 2) 2 1-sina = h 冋 0 f2)-cos(a/ 2)J2 三角函数其它公式 (1) (sin aA2+(cos aA2=1 (平方和公式) (2)

32、1+(tan a)A2=(sec ”八2 (3) 1+(cot a)A2=(csc c)A2 证明下面两式，只需将一式,左右同除(sin a)A2，第二个除(cos ”八2即可 (4) 对于任意非直角三角形，总有 ta nA+ta nB+ta nC二ta nAta nBta nC 证： A+B=T-C tan(A+B)二tan( nC) (ta nA+ta nB)/(1-ta nAta nB)=(ta n nta nC)/(1+ta n nanC) 整理可得 ta nA+ta nB+ta nC二ta nAta nBta nC 得证 同样可以得证，当x+y+z=nnn Z)时，该关系式也成立 由

33、 tanA+tanB+tanC二tanAtanBtanC 可得出以下结论 (5) cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6) cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7) (cosA)A2+(cosB)A2+(cosC)A2=1-2cosAcosBcosC (8) (si nAF2+(si nBF2+(si nCF2=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/s in(a) 其它公式 sec(a) = 1/cos(a) (seca)A2+(csca)A2=(seca)A2(c

34、scaF2 幕级数展开式sin x = x-xA3/3!+xA5/5!- +(-1)A(k-1)*(xA(2k-1)/(2k-1)!+ x cos x = 1-xA2/2!+xA4/4!- +(-1)k*(xA(2k)/(2k)!+ x R arcs in x = x + 1/2*乂八3/3 + 1*3/(2*4)*乂八5/5 + (|x|1) arccos x = n- ( x + 1/2*xA3/3 + 1*3/(2*4)*xA5/5 + )(|x|1) arcta n x = x - xA3/3 + xA5/5 - 无限公式 sin x=x(1-xA2/ /2)(1-xA2/4 cosx

35、=(1-4xA2/ n2)(1-4xA2/9 ta nx=8x1/( /2-4xA2)+1/(9 secx=4 ni/( n2-4xA2)-1/(9 (sin x)x=cosx/2cosx/4cosx/8 (1/4)tan n4+(1/8)tan d8+(1/16)tan d16+ =1/ n arctan x = x - xA3/3 + xA5/5 - . (x 1) 和自变量数列求和有关的公式 sin x+s in 2x+s in 3x+ . +s inn x=si n(n x/2)si n( n+1)x/2)/si n( x/2) cosx+cos2x+cos3x+ . +cos nx=cos( (n+1)x/2)s in(n x/2)/s in(x/2) tan(n+1)x/2)=(s in x