不定积分的基本公式和运算法则直接积分法

1、复习1原函数的 定义。2不定积分的定 义。3 不定积分的性 质。4不定积分的几何 意义。时间：2021.03.09创作：欧阳法引入在不定积分的定义、性质以 及基本公式的基础上，我们进一步来讨论 不定积分的计算问题，不定积分的计算方 法主要有三种：直接积分法、换元积分法 和分部积分法。讲授新课第二节 不定积分的基本公式和运算直接积分法一基本积分公式由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下:翩公式微分公式积分公式(kx)r = kd(kx) = kdxJEkx+C(_o)(异)J= xdx2|皿=丄疋+cJ2wXd(-丄) =dxAA'c

2、lx = - + CJ XX(In |x|Y =d(ln|.v|) = J.r丄 dx = In |a| + C严 a十1严1d() = xadxQ + lt va+, xadx-+C(g-1)©yad(ex) = cx dxj e= er+C(yIn ad( “) - axdxIn af 八/.V-4-C(sin x)f = cos xd(sinx) = cosAzZrJ cosxdx = sinx + C(-cosx)r = sinxd(-cosx) = sin.xzZx-1sin 皿= -cosx + C(tan x)r = sec2 xdxd(tanx) = sec2xJxJ

3、 dx = sec2 xdx = tan x+C cos x-01(-COlxX =csc2xd(-cotx) = csc皿(b:= csc.vJa = -cot.v + CJ siir a-2(secA)r = secxtan.vd(sec x) = sec x tan xdxJ sec x tan xdx = secx + C3(-cscxy=csc.vco(.vd(-cscx)二csc.Tcotxd*j cscxcotxdx = - cscx + C4(arctan x)f = d(arctan x) = J1 + x/.vf !T- dx = circ tanx + CJ +x25(a

4、rcsin_Ld(arcsin a) =亠 +/v!dx = arcsin x + CJl + F以上十五个公式咼求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。求函数的不定积分的方法叫积分法。例1求下列不定积分.(1)9"(2) xdxJ x2dx =-2+1-2 + 1x325J Xyfxdx _ f -V 2 dx = -=-A-2此例表明，对某些分式或根式函数求 不定积分时，可先把它们化为x°的形式， 然后应用麻函数的积分公式求积分。二不定积分的基本运算法则法则1两个函数代数和的积分，等 于各函数积分的代数和，即法则1对于有限多个函数的

5、和也成立 的.法则2 被积函数中不为零的常数因 子可提到积分号外，即J kfZx = Zr j f(x)dx( k H 0 )例2求W +解 J (2x3 + 10 )dx _ 2 J X/ + J dx J e'dxx4 +x-ex + C=2注其中每一项的不定积分虽然都应 当有一个积分常数，但是这里并不需要在 每一项后面加上一个积分常数，因为任意 常数之和还是任意常数，所以这里只把它 的和C写在末尾，以后仿此。注检验解放的结果是否正确，只把 结果求导，看它的导数是否等于被积函数 就行了。 如上例由于 （-x4+x-ex+C）f,2二2x' + l-於，所以结果是正确的。三直

6、接积分法在求积分的问题中，可以直接按基本 积分公式和两个基本性质求出结果（如上 例）但有时，被积函数常需要经过适当的 恒等变形（包括代数和三角的恒等变形） 再利用积分的性质和公式求出结果，这样 的积分方法叫直接积分法。例3求下列不定积分.（1）"石+叫一却厶（2）解：（1 ）首先把被积函数(yfx + l)(x 化为和式,然后再逐项积分J(>/7+l)( 乂一 ( (x>Jx + 乂 1 2 - 1 , -=X2 + x2 x 2x2 +C52。注：（1）求函数的不定积分时积分 常数C不能丢掉，否则就会出现概念性的 错误。（2）等式右端的每个不定积分都有 一个积分常数，因

7、为有限个任意常数的代 数和仍是一个常数，所以只要在结果中写 一个积分常数C即可。(3)检验积分计算是否正确，只需 对积分结果求导，看它是否等于被积函 数。若相等，积分结果是正确的，否则是 错误的。=x-2arctanx + C上例的解题思路是设法化被积函数为 和式，然后再逐项积分，是一种重要的解 题方法，须掌握。练习1 匕,2lr-3x+21nlxl-+C答案12丫 ，2 arctan X + C-x3-x + arctanx+C34求下列不定积分.（1 ）sin2 dx2解:()|tan2X6Zv = |(sec2 xlxsin2 dx = f-C°S X/,v = x sinx

8、+ C2 J 2 2 2上例的解题思路也是设法化被积函数 为和式，然后再逐项积分，不过它实现化 和是利用三角式的恒等变换。练习1 gxdx 2 E2汕3r cos2xdxJ cosx-sinx(x + sin x) + C答案 1 -cotx-x+C 2 23 sinx-cosx+C例 5 设广Gin' %) = cos2 x ,求/(X)解:由于八sin2 x) = cos2 x = 1 - sin2 x所以广= 17,故知/（X）是I"的原函数，因此/'(X)= (1 xlx = x 2- + C小结基本积分公式，不定积分的性 质，直接积分法。练习求下列不定积分.

9、) J(l-2sinx + )tZvf( J cos* x sin xf/ 23 w時一177：(5)炒6 )"|csc(csa-cotxyZr (&)cos2x f dx sin xf(cos- + sin-)/Z1()9 ) J 2 2JWiM,)Ie (3 _7fT7Wx岌案 1 x+2cosx+21nlxl+Ctanx-cotx+C,广 + 2/ + In 丨 /1+C32,42arcsin/-3arctan/+C?-+x7 +C-X3 -x + C5 山6 7,63,7 -cotx+cscx+C 3 -cotx-2 + C，9t-cost + C ,1() tanx2x + C )2arcsinx+Clll + ln