第13章压杆稳定

1、工程力学电子教案工程力学电子教案第十三章第十三章 压杆稳定压杆稳定工程力学电子教案工程力学电子教案 但如杆长为1m，则不到30N的压力，杆就会突然产生显著的弯曲变形而失去工作能力。 一根宽30mm，厚5mm的矩形截面松木杆，对其施加轴向压力，设材料的抗压强度为40MPa， 则当杆很短（如h=30mm），将杆压坏的压力为：NAFc600003.0005.010406 工程力学电子教案工程力学电子教案 横截面和材料相同的压杆，由于杆的长度不同，其抵抗外力的性质将发生根本的改变。 粗短的压杆是强度问题，细长的压杆是稳定问题。 细长压杆之所以丧失工作能力，是由于其轴线不能维持原有直线形状的平衡状态所致

2、，这种现象称为丧失稳定，简称失稳。工程力学电子教案工程力学电子教案 工程中，许多受压构件需要考虑其稳定性，例如：千斤顶顶杆，托架中的压杆，无缝钢管穿孔机顶杆，采矿工程中的钻杆等，在轴向压力较大时，就可能丧失稳定而突然破坏，造成严重事故。 截面窄而高的梁，受外压的薄壁容器，都可能发生失稳现象。工程力学电子教案工程力学电子教案（1）杆本身不可能绝对地直；（2）杆的材质不可能绝对地均匀；（3）轴向压力不可能与杆轴线绝对重合。 压杆是在压缩与弯曲组合变形的状态下工作的。F 压杆受压力时弯曲的原因在于：这些因素使压杆在外加压应力下除了发生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲变形。工程力学电子教案工程力学电子

3、教案可以用下列模型来说明稳定问题的关键： 在杆上施加一竖向力 F ，再施加一横向力 Q，使杆发生转动。如果 F 不大，杆能保持平衡，且撤去 Q 后，杆将恢复到其原来的直线状态。但当 F 大过一个临界值时，撤去 Q ，杆不再能恢复到原来的状态。前者称为稳定平衡，后者称为不稳定平衡。这个从稳定平衡转变到不稳定平衡的压力临界值称为临界力，用 表示。而 只与系统本身的性质 l 、EI 有关。 可见，研究压杆稳定的关键就是寻找 。crFcrFcrF工程力学电子教案工程力学电子教案F轴压轴压F（较小）（较小）压弯压弯F（较小）（较小）恢复恢复直线平衡直线平衡曲线平衡曲线平衡直线平衡直线平衡QF（特殊值）（

4、特殊值）压弯压弯失稳失稳曲线平衡曲线平衡曲线平衡曲线平衡F（特殊值）（特殊值）保持常态、稳定保持常态、稳定失去常态、失稳失去常态、失稳QQ Q工程力学电子教案工程力学电子教案13-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公细长中心受压直杆临界力的欧拉公式式 本节以两端球形铰支(简称两端铰支)的细长中心受压杆件(图a)为例，按照对于理想中心压杆来说临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力这一概念，来导出求临界力的欧拉(L.Euler)公式。(a)工程力学电子教案工程力学电子教案 在图a 所示微弯状态下，两端铰支压杆任意 x 截面的挠度(侧向位移)为 w，该截面上的弯矩为M(x)=Fcrw (图b)。杆的挠

5、曲线近似微分方程为 (a) crwFxMwEI (b)工程力学电子教案工程力学电子教案令 ，将挠曲线近似微分方程(a)改写成该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为02 wkw(b)kxBkxAwcossin(c)2crFkEI 将边界条件 x=0，w=0 代入式(c)得 B=0。 利用边界条件 x=l， w=0得到0sinklA工程力学电子教案工程力学电子教案注意到已有 B=0，故上式中的 A 不可能等于零，否则将有w 0 而压杆不能保持微弯临界状态。由此可知，欲使(c)成立，则必须 sinkl=0 。满足此条件的 kl 为，2 ,0kl或即，2 0crlEIF 由于 意味着临界力 Fcr 0

6、，也就是杆根本未受轴向压力，这不是真实情况。在 kl0 的解中，最小解相应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。0crlEIF工程力学电子教案工程力学电子教案由 k l 有从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：22crlEIF 此时杆的挠曲线方程可取 k l ，代入式(c)得到为：xlAwsincrlEIF22crlEIF亦即I 是横截面最小形心主惯性矩工程力学电子教案工程力学电子教案13注意到当 x=l/2 时 w= ，故有 A= 。从而挠曲线方程为lxwsin可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。但是 是一个无法确定的值。即不论 为任何微小值，上述平衡都可以维持，好象压杆受 作用时

7、可以在微弯状态下处于“随遇而安”的平衡状态。事实上这种平衡状态是不成立的。 值无法确定的原因是推导采用了挠曲线近似微分方程。如果采用挠曲线精确微分方程，则可以解出 的关系。crF工程力学电子教案工程力学电子教案几种理想支端约束条件下的细长压杆 当这些压杆都是等截面杆,且均由同一材料制成时,其临界荷载 Fcr的计算公式可统一写为lABFcrlFcrvlABFcrlAByxFcr13-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧 . 拉公式 压杆的长度系数工程力学电子教案工程力学电子教案式中 称为长度系数,随杆端约束情况而异；l 则称为相当长度，即相当于两端球形铰支压杆的长度。如下各图所示。22cr)(l

8、EIFylABFcrlAByxFcr122crlEIFy7 . 0)7 . 0(22crlEIFy工程力学电子教案工程力学电子教案lABFcrlFcrv5 . 0)5 . 0(22crlEIFy2)2(22crlEIFy 从上述分析可知,中心受压直杆的临界力 Fcr 与杆端的约束情况有关，杆端的约束越强，临界力越大。工程力学电子教案工程力学电子教案 如下图所示两端固定但上端可有水平位移的等截面中心受压直杆，其长度为 l，横截面对z轴的惯性矩为I。推导其临界力Fcr的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。lABFcr思考题思考题8-1工程力学电子教案工程力学电子教案最后得kl = 挠曲线近似微分方程

9、挠曲线方程eMvFxMcr)(ezMvFxMIE cr)(22crlEIFy)/cos(1 2lxvAByxFcrFcrMeMe思思8-1参考答案参考答案工程力学电子教案工程力学电子教案思考题思考题8-2lABFcrI2IIl/4l/2l/4推导如图变截面压杆临界力Fcr的欧拉公式。工程力学电子教案工程力学电子教案思考题思考题8-2参考答案参考答案ABFcrCDE在临界力作用下，此杆可在微弯状态下维持平衡，其挠曲线由AD、DE、EB三段组成。由挠曲线光滑连续条件可知：在相邻两段挠曲线的交界点，挠度相等，转角亦相等。此外中点C处的切线应与x轴平行。分段列挠曲线近似微分方程，最后求解得到vFxMc

10、r)(22cr1.68lEIFy工程力学电子教案工程力学电子教案 粗短的压杆是强度问题，细长的压杆是稳定问题。如何判断粗短、细长杆呢？ 1 临界应力和柔度临界应力和柔度 临界力 作用下压杆横截面上的平均压应力称为压杆临界应力 。crFcr 从前面的推导可以看到，求压杆临界荷载的欧拉公式 只适用于压杆失稳时仍在线弹性范围内工作的情况。crcrFA工程力学电子教案工程力学电子教案 因此，可以把临界状态下按直杆算得的横截面上的正应力 cr 不超过材料的比例极限 p 作为欧拉公式适用范围的判断条件，即 引入 Fcr 的表达式，有（1）pcrAlEIAFcr22cr)(（2）式中 I/A 是一个只与截面

11、形状及尺寸有关的量，通常把它的方根用 i 表示，即工程力学电子教案工程力学电子教案称为截面惯性半径，其量纲为长度的一次方。则（2）式可表示为（3）2222222cr)()(EilElEiIiA为压杆的柔度，亦称长细比。是一个无量纲的量。它反映杆端约束情况、杆长、截面形状和尺寸等因素对临界力的综合影响。 越大，杆越细长， 越小。所以 是压杆稳定计算中的一个重要参数。 其中licrF工程力学电子教案工程力学电子教案上式表明，如果压杆的柔度 大于或等于只与材料性质有关的一个量那么欧拉公式适用。 对于Q235钢，如取E=2.06105 MPa，比例极限p=200 MPa, 则p=100。PE2将式（3

12、）代入式（1），则有p22crE或PPE2工程力学电子教案工程力学电子教案细长压杆临界应力 cr 随柔度 的变化情况，以及欧拉公式的适用范围如图：pp欧拉公式可用双曲线cr22crE2 2 压杆的临界应力总图压杆的临界应力总图工程力学电子教案工程力学电子教案 我国钢结构设计规范中对于由Q235钢制成的压杆，根据试验资料规定，对于 c ，而不是 p的压杆才能用欧拉公式求临界应力，而)57. 0(s2cE 该规范还规定,对于c的钢压杆，临界应力的计算式采用抛物线型的半经验公式)/(1 2cscr对于Q235钢制成的压杆， = 0.43。工程力学电子教案工程力学电子教案临界应力总图（ ）0.57sc

13、p双曲线抛物线crs22rcE)/(1 2cscrcr关系曲线工程力学电子教案工程力学电子教案小结：小结：（1） 能应用欧拉公式求临界应力的压杆称为大柔度压杆或细长压杆 。 （2） 只能用经验公式求临界应力的压杆称为中柔度压杆。 （3）临界应力接近材料屈服强度的压杆称为小柔度压杆或短杆，这时杆的破坏是强度问题而不再是稳定性问题。 pp 工程力学电子教案工程力学电子教案 要保证压杆在荷载作用下不致失稳且有一定的安全储备，其条件是式中的 为稳定的安全系数。stnFFcr相应地有stcrn或st式中 是稳定容许应力，是随压杆柔度变化的一个量。stnst材料钢木材铸铁nst1.83.02.53.54.

14、55.5工程力学电子教案工程力学电子教案 在有些工程计算中，更把稳定容许应力 通过一个随压杆柔度 变化的稳定系数 f () 与杆材料的强度容许应力 加以联系，即 f)(st 有时压杆的局部截面有削弱，例如杆上开有小孔或沟槽。由于压杆临界力是从整个压杆的弯曲变形来考虑的，局部截面削弱对的影响很小。所以在稳定计算中一般可不考虑局部截面削弱情况，但有时需对削弱截面进行强度校核。st的关系可查相应设计规范得到。工程力学电子教案工程力学电子教案例11-2 有一一端固定，另一端球形铰支的空心圆截面钢压杆。已知：l =5 m, D =100 mm, d =50 mm, E=2.0105 MPa, p=200 MPa, s=240 MPa, =2.5。求容许轴向压力F。lAByx Fstn工程力学电子教案工程力学电子教案（1）计算压杆的柔度，判明欧拉公式是否可用惯性半径查得一端固定一端铰支压杆的长度系数为= 0.7解：4422 (-)/64 (-)/4ID dAD dAIi/则/125l i对于Q235钢制作的压杆， c时可用欧拉公式求临界力。工程力学电子教案工程力学电子教案现而有c，故欧拉公式可用。（2）求临界力Fcr，再根据给定的稳定系数nst，求容许压力F120)57. 0/(s2cE此压杆横截面对于形心轴的惯性矩为4-644m104.