[研究生入学考试]第二讲行列式的计算ppt课件

1、第二讲第二讲 行列式计算实例行列式计算实例一、几个特殊行列式一、几个特殊行列式二、数字行列式二、数字行列式三、高阶行列式三、高阶行列式四、关于代数余子式的计算四、关于代数余子式的计算五、笼统型行列式五、笼统型行列式六、含参数行列式六、含参数行列式一、几个特殊行列式一、几个特殊行列式例例1 上、下三角形行列式上、下三角形行列式111211122221221211221122000000nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaDaaaaaaa aaa例例2 ,(),.1111212122122121113212121110000000000100nnnnnnn nnnnnn nnnnnnaaaaa

2、aaaDaaaaaaaa aaa 例例3 Vandermonde行列式行列式(,)()121232222123111112311111nnnnnnnnijj i nV xxxxxxxxxxxxxxxxx 例例4 分块行列式分块行列式1111111111110000( 1)nmnnnmmmmm nmnmmmmmnm nnmnm nmmmnnnm naaccaaccACDbbOBbbAOAACBCAOAAABOBC 二、数字行列式二、数字行列式防止分数运算防止分数运算化繁就简化繁就简以以 1 化化 0例例5 152325213125294325 12332515232515221112131292

3、4 21532510294294325ccc 例例6102 101 302198 202 603302 301 90112323110114 202313012cccc 1100114 20023130012 110011114 20034 2313002112 1111111004 234 23132112 1001001004 674 678006794121101 例例72 34 53 4564 5655 276 2143234 5119145651311rrrr 312422345048001 1451311rrrr 1420963048001 1451311rr 9634801 14

4、5 21292434001165cc 21224344 72288165cc 三、高阶行列式三、高阶行列式例例81111111111111111aabb 1234001 11100111 1rrrraaabbb 121341110011001 11101100110011111 1001 1rarrrbrraaababbb 432211000110011000rraaba bb 例例9 利用利用Vandermonde行列式行列式32231111 11322312222232231332233223144444aa ba bbaa ba bbaa ba bbaa ba bb32311123111

5、232222333332221234233332333323444234441111iirabbbaaabbbaaaa a a abbbaaabbbaaa 0,1,2,3,4iai 33333333312412341234141234,jij iijbbbbbba a a a Va a a aaaaaaa 例例10 利用利用Vandermonde行列式行列式12222122221212111,nnnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxx 1212222121111111211211111,nnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxDxxxxxxxx 记记按最后一列展开按最后一列展开,

6、那么有那么有1111( 1)nn nnDxD 由由Vandermonde行列式知行列式知1212222121111111112112111121111121111121111()()()()()()()(nnnnijj i nnnnnnnnnnnnnnnnnijj i nnnnnnijj i nnnxxxxxxxxDxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1111)()( 1)nijj i nn nnnxxxDx 比较两式比较两式xn+1n-1项的系数项的系数, 有有11().nijkj i nkDxxx 例例11 非零元较少，降阶非零元较少，降阶00000 0000 a b

7、abbba1 11110000( 1)( 1)0 000 000 ( 1) nnnnna bbababbabab 按按第第一一列列展展开开例例12 行和相等行和相等a bbb abb ba 12111ncccanb bbanb abanb ba 111111 canbbbabanbba2 13 11nr rr rr r ()11bbabanbab 001(1)().nanbab例例13 求列和求列和12311100002200000nnnn ncccnnnnnn 1223101000022000001 1(1)21(1)(1)( 1)( 2)()( )!22nn nn nnn 按按第第 列列展

8、展开开0 1 111 2 001 0 301 0 0 n例例14 箭头形箭头形(爪形爪形)221 1102 31 1 00!1 0 101 0 01nccnnn 1221 1 112 301 00!00 1000 01nnicccinn 21!.nini 012110221100,00000nnniijijiinnabbbcac baaacaaca 爪形行列式的通用公式爪形行列式的通用公式例例15 可化为爪形可化为爪形123123123123nnnnxaaaaxaaaaxaaaax2111231122113311000000nrrnrrnnxaaaaxxaaxxaaxxa 312112233(

9、)11100()10101001iiinnnncxaiiiaaxaxaxaxaxaxa 123212233110100()00100001nniniiinnnccciiiaaaaxaxaxaxaxa 11() 1nniiiiiiiaxaxa 例例16 加边法加边法12111111,0111inaaDaa 1211110 11101110111naaDa 21111211111001 001 00nrrrrnaaa 2111211111110010101001nncanncaiiaaaa 121112111111010000100001nnkknnccciiaaaaa 1111nniikkaa

10、例例17 逐行相减逐行相减1231223133311111nnnnnnnnnnnnnnnn 1210000223133311111rrnnnnnnnnnnnnnn 1223100002100033311111rrrrnnnnnnnnnnnn 122311000011000111001111 0nnrrrrrrnnnnn 1( 1).nn 例例18 递推公式递推公式12211000010000000001nnnnxxxDxaaaaax 11122111001000000100( 1)000001001nnnnnxxxxaxxaaaaxx 按按第第 列列展展开开1111( 1)( 1)nnnnnn

11、xDaxDa 1nnnDxDa 21()nnnx xDaa 221nnnx Dxaa 2321()nnnnxxDaxaa32321nnnnx Dx axaa 2322321nnnnnxDxax axaa 232321211nnnnnxxxax axaaaax 12121nnnnnxa xx axaa 例例19 三对角行列式三对角行列式1112111nnnnnD 按第按第1列展开列展开122233232411111111nnnnnnnn 123324111111nnnnnD 33241111111nnnnnD 11112nnDD 11nD 按第按第1列展开列展开12()nnDD 112nnnDD

12、D11212()nnnnnnDDDDDD 223()nnDD 221()nDD 2121()nnnDDDD 221()()1nDD 22nn 22222n 1nnnDD 12()nnnD 212nnnD 2112()nnnnD 32113nnnnD 12211nnnnnDD 1221()nnnn 1221nnnnn (1) ,nnn 例例20四、关于代数余子式的计算四、关于代数余子式的计算1112210122341223 求求4142434441424344(1)223;(2)2234.AAAAAAAA解解 (1)4142434422318.AAAAD (2)414243442234AAAA

13、31413242334334440a Aa Aa Aa A例例21111236111222122 3D 求求12122223242,.SAASAA解解 (1)21222324123635DAAAASS 又又3121322233233424212223241222220a Aa Aa Aa AAAAASS 解方程组解方程组121212351,1.20SSSSSS 例例221112210122341223D 求求31323334.SAAAA解解 将将D的第的第3行元素用行元素用 S 的各系数交换的各系数交换, 得得11112211011223111D 31323334AAAAS 5. 例例2330

14、40222207005322D 求求41424344.SMMMM 解解41424344.SAAAA 将将D的第的第 4 行元素用行元素用 S 的各系数交换的各系数交换, 得得13040222201117001D 28.S 五、笼统型行列式五、笼统型行列式未给出详细的元素未给出详细的元素, 只需阶数及其他相关信息只需阶数及其他相关信息, 其计算能够涉及如矩阵的恒等变形其计算能够涉及如矩阵的恒等变形, 行列式的性质行列式的性质, 或特征值、类似矩阵等或特征值、类似矩阵等.21,1 2A E为为 2 阶单位矩阵阶单位矩阵, 矩阵矩阵 B 满足满足 BA = B+ 2E, 那么那么|B| = .例例24 (2006) 设矩阵设矩阵解解111122()22()2()4 ()4 ()1148.1 1BABEBABEB AEEBAEBAEAEAE 123123123,24,39B 例例25 (2005)解解32123232321,3,5cccc 32123233,3,2cc 1223123123,2,22,22.A 解解例例26 (2004)*2(2)ABABAEAE BAE1*1(2) ()BAEA AAAAAA *1*ABAEAA