同济-高等数学-第三版(82) 第二节 偏导数

1、 一元函数一元函数 y = f( x )的导数就是用自变量增量的导数就是用自变量增量 x 去去度量函数增量度量函数增量 y ，以刻划函数变化的快慢程度，即，以刻划函数变化的快慢程度，即 这种通过变化率来研究函数的这种通过变化率来研究函数的方法具有一般性，用变化率来讨方法具有一般性，用变化率来讨论多元函数的性质就产生多元论多元函数的性质就产生多元函数偏导数的概念。函数偏导数的概念。 00 xxyyffxxxxxx dlimlim.d 设有二元函数设有二元函数 z = f( x , ,y ),( x , ,y )Df ，考察其在一考察其在一点点 P0( x 0, ,y0 )处的变化率问题。处的变化

2、率问题。 多元多元函数由于函数由于自变量个数自变量个数的增加，使得函数的增量及相应变的增加，使得函数的增量及相应变化率形式呈现出多样性。其中，可化率形式呈现出多样性。其中，可以有一个自变量发生改变而其余自以有一个自变量发生改变而其余自变量不变的情形，也可有多个自变变量不变的情形，也可有多个自变量同时发生改变的情形。对于不同量同时发生改变的情形。对于不同的自变量的变化形式就有相应不同的自变量的变化形式就有相应不同的变化率的形式。的变化率的形式。 x: : x 0 x 0 + x，y: : y = y0 . . 此时函数此时函数 z = f( x , ,y )在点在点 P0( x0 , ,y0 )

3、处的增量称为处的增量称为关于关于 x 的偏增量，其形式及对应变化率记号为的偏增量，其形式及对应变化率记号为 z x = f( x 0 + x, ,y0 )- - f( x 0 , ,y0 )， .xzxxOyz zfx y , x x: : x = x 0，y: : y = y0 + y . . 此时函数此时函数 z = f( x , ,y )在点在点 P0( x0 , ,y0 )处的增量称为处的增量称为关于关于 y 的偏增量，其形式及对应变化率记号为的偏增量，其形式及对应变化率记号为 z y = f( x 0 , ,y0 + y )- - f( x 0 , ,y0 )， .yzyyOxz z

4、fx y , y x: : x = x 0 + x，y: : y = y0 + y . . 此时函数此时函数 z = f( x , ,y )在点在点 P0( x0 , ,y0 )处的增量称为处的增量称为全增量，其形式及对应变化率记号为全增量，其形式及对应变化率记号为 z = f( x 0 + x , ,y0 + y )- - f( x 0 , ,y0 )， 0 .zP PyOxz zfx y ,( x 0 + x, ,y 0 + y ) 设函数设函数 z = f( x , ,y )在点在点 P0( x0 , ,y0 )的某一邻域内有的某一邻域内有定义，当定义，当 y 固定在固定在 y0 而而

5、x 在在 x 0 处有增量处有增量 x 时，时，相应地相应地函数有增量函数有增量 z x = f( x 0 + x, ,y0 )- - f( x 0 , ,y0 )，如果以下如果以下极限存在极限存在 则称此极限则称此极限为函数为函数 z = f( x , ,y )在点在点 P0( x0 , ,y0 )处对处对 x 的偏导数，的偏导数，记作记作: :即有即有 0000 0 limxffxx yxyx , , 0 00000 00 .x xx xx xxxy yy yy yfzzfxyxx , 或或 0000 00 0 limxxffxx yxyfxyx , ., 类似地，函数类似地，函数 z =

6、 f( x , ,y )在点在点 P0( x0 , ,y0 )处对处对 y 的的偏导数定义为偏导数定义为 0000 0 limyffxyyxyy , .记作记作: : 0 00000 00 .x xx xx xyyy yy yy yfzzfxyyy ,或或 偏导数定义是构造性的，这种构造性定义实际也偏导数定义是构造性的，这种构造性定义实际也给出了一种计算偏导数的方法，即通过求偏增量，算给出了一种计算偏导数的方法，即通过求偏增量，算比值，取极限三个步骤求出函数的偏导数。比值，取极限三个步骤求出函数的偏导数。 偏导数所描述的仅仅是函数变化的局部变化率，偏导数所描述的仅仅是函数变化的局部变化率，即对

7、应于某一个自变量单独变化时所产生的函数变化即对应于某一个自变量单独变化时所产生的函数变化率。这一变化率通常并不对应于函数变化的实际过程率。这一变化率通常并不对应于函数变化的实际过程, ,但却可由此将函数的变化过程分解开来进行研究。但却可由此将函数的变化过程分解开来进行研究。 如果函数如果函数 z = f( x , ,y )在区域在区域 D 内的每一点内的每一点 P( x , ,y )都都有对有对 x 的偏导数，即的偏导数，即存在，则其定义了存在，则其定义了D 上的一个新的函数，即上的一个新的函数，即称此函数为称此函数为 f( x , ,y )在区域在区域 D 内内对对 x 的偏导函数。的偏导函

8、数。 同理，同理，f( x , ,y )在区域在区域 D 内内对对 y 的偏导函数定义为的偏导函数定义为 0 limxxffxx yx yfx yx, xfxxfx y, , 0 limyyffxyyxyfxyy,., 如果函数如果函数 z = f( x , ,y )在区域在区域 D 内的每一点内的每一点 P( x , ,y )都都有偏导数，则有有偏导数，则有 f x( x 0 , ,y 0 )= f x( x , ,y )x = x 0 , ,y = y 0 , , f y( x 0 , ,y 0 )= f y( x , ,y )x = x 0 , ,y = y 0 . . 此关系式实际又给

9、出了一种计算此关系式实际又给出了一种计算偏导数值的方法，即先求偏导函数，偏导数值的方法，即先求偏导函数，再通过代入点的坐标求偏导数值。再通过代入点的坐标求偏导数值。 由函数对单变量变化率的概念，易对二元函数偏导由函数对单变量变化率的概念，易对二元函数偏导数概念作一般性的推广。数概念作一般性的推广。 以三元函数为例，以三元函数为例，设有定义在某空间区域设有定义在某空间区域 上的上的三元函数三元函数 u = f( x , ,y , ,z ), ,( x , ,y , ,z ) ，则有，则有 000000 0limxffxyzxx yzuxx , 000000 0limyffxyzxyy zuyy

10、, 000000 0limzffxyzxyzzuzz ,. 根据导数的几何意义及偏导函数与偏导数值的关系根据导数的几何意义及偏导函数与偏导数值的关系考察偏导数的几何意义。考察偏导数的几何意义。 由此可见，由此可见，偏导数偏导数 f x( x 0, ,y0)可看成是一元函数可看成是一元函数 f( x, ,y0)对对 x 的导数在点的导数在点 x = x 0 处的值，即有处的值，即有 00 000 limx xxyxyffxx yx yfx yx , 0 000 limx xxffxxx yxy ,00 0 d.dx xy yfx yfxx, 同理可知有同理可知有 由此可见，由此可见，偏导数偏导数

11、 f y( x 0, ,y0 )可看成是一元函数可看成是一元函数 f( x 0, ,y)对对 x 的导数在点的导数在点 y = y 0 处处的值，即有的值，即有 00 000 limyyyyxxffx yyx yfx yy , 0 000limy yyxxffyyyy ,00 0 d.dx xy yfxyfyy, 由上分析可知由上分析可知xyOz zf x y,0 x0y 从概念上讲，偏导函数的计算是单变量求导，因而从概念上讲，偏导函数的计算是单变量求导，因而只需应用一只需应用一元函数的求导元函数的求导规则即可求出给定函数的偏导规则即可求出给定函数的偏导函数。函数。偏导数偏导数值的计算一般可先

12、求出偏导函数，再代入值的计算一般可先求出偏导函数，再代入指定点的坐标。指定点的坐标。 对二元函数，偏导数值的计算却可有三种方法对二元函数，偏导数值的计算却可有三种方法： 由偏导函数与偏导数值的关系，可先求出偏导函数，由偏导函数与偏导数值的关系，可先求出偏导函数，再代入指定点的坐标求出偏导数值。再代入指定点的坐标求出偏导数值。 由偏导数的几何意义，可先代入指定点的一个坐标，由偏导数的几何意义，可先代入指定点的一个坐标，将二元函数化为一元函数求导。将二元函数化为一元函数求导。 直接根据偏导数的定义式求导。直接根据偏导数的定义式求导。例例：设设 z = f( x ,y )= e xy sin y +

13、( x 1 )arctan试求：试求：f x( 1,1 ), f y( 1,1 ). . xy,xyxxxyfx yxyesinarctan1, exyxxyyyxxyyy211sinarctan21 e xyyxxyyyxxy1sinarctan2,exyyyxfx yyxysinarctan1, eexyxyxyxyxyxxyy221sincos21 e xyyx xxyyxy xy1sincos2.xxxyffx y111 1, exyxyyxxyyyxxy111sinarctan2,. esin044 .111 1xyyyffx y, exyxyyx xxyyxy xy111sinco

14、s2 ee 0sincos . 由偏导数的几何意义有由偏导数的几何意义有 0 00 0 00 y yxx xx xffx yx yfxyxxdddd,., xxffxx1d1 11d, exyyxxyxxy11dsinarctan1d xxxxx 1 1desin1arctan1d1 xxxxx21110arctanarctan1.421 0 00 0 00 x xyy yy yffxyx yfxyyydddd,., yyfyfy1d11 1d,xyxyxyxyy 11desinarctan1dyyyyy 1 11arctan1 1desind eeeyyyyyyyyy11dsinsincos

15、d ee 0. 由偏导数的定义有由偏导数的定义有 xxffxfx111 1lim1 11,exyyxxyxyx11sinarctan01lim1exxxxx1sin1 arctan0lim1 111 arctanlimlimarctan14xxxxxx. yyffyfy111 1lim1 11, exyxyxyxyy11sinarctan01lim1eyyyyy11asinrctan1 10lim1eeyyyyyyyy11sinsinlimlim11 eeyyyy 1sin1lim1 .例例：设：设 u = x y z，求：，求： 偏导数计算实际是单变量求导，其计算规则本偏导数计算实际是单变量

16、求导，其计算规则本质上是一元函数求导规则。因此，偏导数计算过程取决质上是一元函数求导规则。因此，偏导数计算过程取决于函数结构，求偏导数的关键是先弄清所求偏导数对指于函数结构，求偏导数的关键是先弄清所求偏导数对指定自变两而言的函数结构。定自变两而言的函数结构。 u = x y z 对自变量对自变量 x 而言是简单幂函数，而言是简单幂函数， 指数指数 y z 是是常量，常量，因此有因此有 .uuuxyy , 1zzyzyuxy xxx ; u = x y z 对自变量对自变量 y 而言是指数函数而言是指数函数 u = x v 与与幂函数幂函数 v = y z 的复合函数。因此有的复合函数。因此有

17、u = x y z 对自变量对自变量 z 而言是指数函数而言是指数函数 u = x v 与与指数函指数函数数 v = y z 的复合函数。因此有的复合函数。因此有 lnzyzuxxyyy 1lnzyzxxzy 1lnzyzxyzx ; lnzyzuxxyzzlnlnzyzxx yy lnln.zyzxyxy 多元函数的偏导数一般也还是多元函数，对多元偏多元函数的偏导数一般也还是多元函数，对多元偏导函数再求偏导数就得到高阶偏导数。导函数再求偏导数就得到高阶偏导数。 和一元函数的高阶导数不同的是，多元函数由于自和一元函数的高阶导数不同的是，多元函数由于自变量的增多，使得其高阶偏导数在变量的增多，使

18、得其高阶偏导数在形式上呈现出了多样性。这种形形式上呈现出了多样性。这种形式上的多样性使得多元偏导数式上的多样性使得多元偏导数的讨论和计算都较一元函数高的讨论和计算都较一元函数高阶导数的计算复杂了许多。阶导数的计算复杂了许多。 以二元函数为例：设以二元函数为例：设 z = f( x , ,y )在区域在区域 D 内具有偏内具有偏导数导数 fx( x , ,y ), fy( x , ,y ) 这两个偏导数通常仍是这两个偏导数通常仍是 x、y 的二元的二元函数，如果函数，如果 fx( x , ,y ), , fy( x , ,y )在在 D 内仍具有偏导数，则将其对内仍具有偏导数，则将其对 x ,

19、, y 再求偏导数，则可得再求偏导数，则可得 z = f( x , ,y )的二阶偏导数。的二阶偏导数。 2 2xxzzfx yxxx, 2 xyzzfx yyxx y, 2 2yyzzfx yyyy, 2 yxzzfx yxyy x ., 例：例：设设 z = f( x , ,y )= x y 3，求此二元函数的全部二阶偏求此二元函数的全部二阶偏导数及三阶偏导数导数及三阶偏导数 33322.zzzx y xyxx y, 33xyzyxx , 323.xyzxyyy 3220yzzxxxx , 二元函数的二阶偏导数共有四个。二元函数的二阶偏导数共有四个。 3223yzzyx yyxy, 222

20、33xyzzyy xxyx, 22236.xyzzxyyyyy 322266xyzzyxxyxy, 232236yzzyyx yyx y, 23236 .yzzyy x yyy xy 在上面的高阶偏导数的计算中出现了一个有趣的现在上面的高阶偏导数的计算中出现了一个有趣的现象，即不同次序的高阶混合偏导数是相等的。这一现象象，即不同次序的高阶混合偏导数是相等的。这一现象是偶然的，还是有着某种必然性？即不同次序的混合偏是偶然的，还是有着某种必然性？即不同次序的混合偏导数是否总是相等的？或者说，在什么条件下不同次序导数是否总是相等的？或者说，在什么条件下不同次序的混合偏导数是相等的？的混合偏导数是相等的？ 研究这一问题显然是有意义的，研究这一问题显然是有意义的，因为如果高阶混合偏导数与求导次因为如果高阶混合偏导