必修一第二章-一元二次函数、方程和不等式全章讲解训练-(含答案)(共17页)

1、第二章 一元二次函数、方程和不等式全章复习讲解 (含答案)【要点梳理】（不等式性质、解一元二次不等式、基本不等式）一、不等式1.定义 不等式：用不等号（，）表示不等关系的式子.2.不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：性质1 对称性：；性质2 传递性：；性质3 加法法则（同向不等式可加性）：；性质4 乘法法则：若，则补充：除法法则：若且，则性质5 可加法则：；性质6 可乘法则：；性质7 可乘方性：；可开方性：.要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.二、比较两代数式大小的方法作差法：1. 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.； ；

2、.作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.； ； .要点诠释：若代数式、都为负数，也可以用作商法.中间量法：若两个代数式、不容易直接判断大小，可引入第三个量分别与、作比较，若满足且，则. 第三个量就是中间量. 这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.三、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系设，判别式，按照，该函数图象(抛物线)与轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同. 如下表所示：函数的图象方程的解有两相异实根有两相等实根无实根不等式的解集不等式的解集要点诠释：（1）一元二次方程的两根是相应

3、的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.四、解一元二次不等式1. 解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： 时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；时，求根；时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.五、基本不等式1.对公式及的理解.（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”

4、的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2.由公式和可以引申出常用的常用结论（同号）；（异号）；或要点诠释： 可以变形为：，可以变形为：.六、用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.要点诠释：1基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项

5、的“和”为定值，则“积”有最大值.2利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：各项都是正数；和（或积）为定值；各项能取得相等的值.【典型例题】类型一 不等式性质例1对于实数判断以下说法的对错. （1）若，则； （2）若，则；（3）若， 则； （4）若， 则；（5）若， >， 则举一反三：【变式1】如果ab0，那么下列不等式成立的是（ ）ABa+cb+cCacbcDacbc例2、比较下列两代数式的大小：（1）与；举一反三：【变式1】比较与的大小【变式2】已知，则 _ （填） 类型二 解二次不等式例3. 解下列一元二次不等式（1）； （2）； （3）举一反三：【变式1】已知函数 解

6、不等式f(x)3.【变式2】 不等式组的解集为( )Ax|1<x<1 Bx|0<x<3 Cx|0<x<1 Dx|1<x<3【变式3】下列选项中，使不等式xx2成立的x的取值范围是( )A(，1) B(1,0) C(0,1) D(1，)例4 不等式的解集为，求关于的不等式的解集.【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.举一反三：【变式1】不等式ax2+bx+12>0的解集为x|-3<

7、x<2，则a=_, b=_.【变式2】已知关于的不等式的解集为，求的不等式的解集.【变式3】 若关于的不等式的解集为，则实数m等于 .【变式4】 已知关于x的不等式x2bxc>0的解集为x|x<1或x>2，则b2c2( )A5 B4 C1 D2例5.已知不等式ax24xa12x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。举一反三：【变式1】不等式mx2+1mx 的解集为实数集R，求实数m的取值范围【变式2】 关于x的不等式(1m)x2mxmx21对xR恒成立，则实数m的取值范围是(

8、 )A(，0) B(，0) C(，0 D(，0【变式3】如果Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是_例6解关于x的含参不等式（1）x2-(a+1)x+a<0； （2）x2-ax+1>0； （3） (ax-1)(x-2)0；举一反三：【变式1】若0t1，则不等式的解集为( )A. B.C. D.【变式2】 不等式x2ax6a2<0(a<0)的解集为( )A(，2a)(3a，) B(2a,3a) C(，3a)(2a，) D(3a，2a)【变式3】求不等式12x2axa2(aR)的解集类型三 基本不等式例1. 若,求的最小值.举一反三：【变式1】已知、都是正数，yx+xy

9、.最小值为_ 【变式2】已知，则f（x）在定义域上的最小值为（ ）ABCD【变式3】当x4时，不等式x+m恒成立，则m的取值范围是（）Am8Bm8Cm8Dm8例2已知x2，则x+的最小值为（）A B1 C2 D0举一反三：【变式1】已知，求证:【思路点拨】对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.例3已知x0，y0，x+y+=2，则x+y的最小值是（）A B1CD举一反三：【变式1】已知a0，b0，且满足aba+b+3，则a+b的最小值是（）A2B3C5D6【变式2】若,且,求的最小值 .例4“1”的代换已知 求a+b的最小值？举一反三：【变式1】设a0，b0，

10、若a+b=1，则的最小值为（）A4B8 C1D【变式2】已知x0，y0，且2xy1，则的最小值为_；【变式3】若正数x，y满足，则3x+4y的最小值是（ ）A24B28C25D26【巩固练习】1不等式ax2+5x+c0的解集为，则a，c的值为（ ）Aa=6，c=1 Ba=6，c=1 Ca=1，c=1 Da=1，c=62不等式x2axb0的解集是x|2x3，则bx2ax10的解集是（ ）A B C D3. 如果ax2bxc>0的解集为x|x<2或x>4，那么对于函数f(x)ax2bxc有( )Af(5)<f(2)<f(1) Bf(2)<f(5)<f(1)

11、 Cf(2)<f(1)<f(5) Df(1)<f(2)<f(5)4已知函数f(x)，则不等式f(x)x2的解集为( )A1,1 B2,2 C2,1 D1,25已知x0，则x+1的最小值是（ ）A4B3C2D16当x1时，f（x）x+的最大值为 7. 不等式1的解集是_ 8. 已知函数y(m24m5)x24(1m)x3对任意实数x，函数值恒大于零，则实数m的取值范围是_ 9已知m0，n0，且m+n4，则+的最小值是 10已知x3，那么函数y+x3的最小值是 ；11.解下列不等式(1)2x27x30；(2)x28x30； 12. 已知不等式x22x3<0的解集为A，不

12、等式x2x6<0的解集为B(1)求AB；(2)若不等式x2axb<0的解集为AB，求不等式ax2xb<0的解集 13. 若不等式ax2bxc>0的解集为x|3<x<4，求不等式bx22axc3b<0的解集 24. 解关于x的不等式：56x2axa2>0. 15. 解关于x的不等式x2(aa2)xa3>0(aR) 16设x，yR+，+3，求2x+y的最小值 第二章 不等式全章整理答案 【典型例题】类型一 不等式性质例1对于实数判断以下说法的对错. （1）若，则； （2）若，则； （3）若， 则； （4）若， 则； （5）若， >， 则【

13、思路点拨】本类题一般利用不等式的性质判断或者采用作差法判断，还可以利用特殊值法找反例否定.【解析】（）错误 因为的符号不定，所以无法判定和的大小.（）正确 因为， 所以0， 从而>0，所以.（）正确 因为，所以 ，又，所以，综上，.（）正确 两个负实数，绝对值大的反而小（）正确 因为 ，所以，所以 ，从而. 又因，所以举一反三：【变式1】如果ab0，那么下列不等式成立的是（B）ABa+cb+cCacbcDacbc例2、比较下列两代数式的大小：（1）与；【答案】（1）举一反三：【变式1】比较与的大小解析：当 或 即或时，此时；当时，此时 【变式2】已知，则 _ （填） 答案：类型二 解二次

14、不等式例3. 解下列一元二次不等式（1）； （2）； （3）【解析】（1）.（2） （3）.举一反三：【变式1】已知函数 解不等式f(x)3.【答案】由题意知或解得：x1.故原不等式的解集为x|x1【变式2】 不等式组的解集为(C)Ax|1<x<1 Bx|0<x<3 Cx|0<x<1 Dx|1<x<3【变式3】下列选项中，使不等式xx2成立的x的取值范围是(A)A(，1) B(1,0) C(0,1) D(1，)例4 不等式的解集为，求关于的不等式的解集.【解析】不等式的解集为.举一反三：【变式1】不等式ax2+bx+12>0的解集为x|-3

15、<x<2，则a=_, b=_.【答案】由不等式的解集为x|-3<x<2知a<0，且方程ax2+bx+12=0的两根为-3，2.由根与系数关系得解得a=-2, b=-2.【变式2】已知关于的不等式的解集为，求的不等式的解集.【答案】解集为：.【变式3】 若关于的不等式的解集为，则实数m等于 2 .【变式4】 已知关于x的不等式x2bxc>0的解集为x|x<1或x>2，则b2c2(A)A5 B4 C1 D2例5.已知不等式ax24xa12x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围【解析】取值范围是(2，)举一反三：【变式1】不等式mx2+1mx 的解

16、集为实数集R，求实数m的取值范围【解析】m|0m<4.【变式2】 关于x的不等式(1m)x2mxmx21对xR恒成立，则实数m的取值范围是(C)A(，0) B(，0) C(，0 D(，0【变式3】如果Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是_0,4)_例6解关于x的含参不等式（1）x2-(a+1)x+a<0； （2）x2-ax+1>0； （3） (ax-1)(x-2)0；【解析】(1) (x-1)(x-a)<0 当a>1时，原不等式的解集为x|1<x<a 当a<1时，原不等式的解集为x|a<x<1 当a=1时，原不等式的解集为.(2

17、) =a2-4,当>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为当=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为.当<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R.（3）当a=0时，x(-¥,2. 当a0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为当a>0时，若， 即时，；若， 即时，xR； 若， 即时，.当a<0时，则有：， .举一反三：【变式1】若0t1，则不等式的解集为(D)A. B.C. D.【变式2】 不等式x2ax6a2<0(a<0)的解集为(D)A(，2a)(3a，) B(2a,3a) C(，3a)(2a，) D(3a，2a)

18、【变式3】求不等式12x2axa2(aR)的解集【答案】当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；当a0时，不等式的解集为.类型三 基本不等式例1. 若,求的最小值.【解析】因为，由基本不等式得（当且仅当即时，取等号）故当时, 取最小值.举一反三：【变式1】已知、都是正数，yx+xy.最小值为_ 2【变式2】已知，则f（x）在定义域上的最小值为（B）ABCD【变式3】当x4时，不等式x+m恒成立，则m的取值范围是（A）Am8Bm8Cm8Dm8例2已知x2，则x+的最小值为（D）A B1 C2 D0举一反三：【变式1】已知，求证:【解析】（当且仅当即,等号成立）.例3已知

19、x0，y0，x+y+=2，则x+y的最小值是（）B B1CD举一反三：【变式1】已知a0，b0，且满足aba+b+3，则a+b的最小值是（D）A2B3C5D6【变式2】若,且,求的最小值 .【答案】,，（当且仅当即，时，等号成立（当且仅当，时，等号成立）故当，时，的最小值为64.例4“1”的代换已知 求a+b的最小值？【解答】解： ，且a0，b0；，当且仅当，即时取等号；a+b的最小值为举一反三：【变式1】设a0，b0，若a+b=1，则的最小值为（A）A4B8 C1D【变式2】已知x0，y0，且2xy1，则的最小值为_；【答案】 【变式3】若正数x，y满足，则3x+4y的最小值是（C）A24B

20、28C25D26【巩固练习】1不等式ax2+5x+c0的解集为，则a，c的值为（ B ）Aa=6，c=1 Ba=6，c=1 Ca=1，c=1 Da=1，c=62不等式x2axb0的解集是x|2x3，则bx2ax10的解集是（ C ）A B C D3. 如果ax2bxc>0的解集为x|x<2或x>4，那么对于函数f(x)ax2bxc有(C)Af(5)<f(2)<f(1) Bf(2)<f(5)<f(1) Cf(2)<f(1)<f(5) Df(1)<f(2)<f(5)4已知函数f(x)，则不等式f(x)x2的解集为(A)A1,1 B2

21、,2 C2,1 D1,25已知x0，则x+1的最小值是（B）A4B3C2D16当x1时，f（x）x+的最大值为3【解答】解：x1，x+10，（x+1）0，当，即x2时取等号，f（x）的最大值为3故答案为：37. 不等式1的解集是_答案：x4或x8. 已知函数y(m24m5)x24(1m)x3对任意实数x，函数值恒大于零，则实数m的取值范围是_答案：1m<199已知m0，n0，且m+n4，则+的最小值是1【解答】解：m0，n0，且m+n4，+1，当且仅当，即mn2时取等号，+的最小值为1故答案为：110已知x3，那么函数y+x3的最小值是2；【解答】解：依题意，已知x3，所以x30，所以y+x322，当且仅当x3，即当x4时取得等号，故答案为：211.解下列不等式(1)2x27x30；(2)x28x30；【解析】(1) .(2) 12. 已知不等式x22x3<0的解集为A，不等式x2x6<0的解集为B(1)求AB；(2)若不等式x2axb<0的解集为AB，求不等式ax2xb<0的解集答案：(1)由x22x3<0，得1<x<3，A(1,3)由x2x6<0，得3<x<2，B(3,2)，AB(1,2)(2)由题意，得，解得x2x2<0，x2x2>0，不等式x2x2>0的解集为R.13. 若不等式ax2b