将军饮马与二次函数题型

1、百度文库将军饮马与二次函数结合问题一 .解答题(共4小题)1. (2013?宝应县校级一卞H)抛物线 y=-x2+bx+c与x轴交与A (1, 0), B( 3, 0)两点，(1)求该抛物线的解析式；/(2)设(1)中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q使得 QAC的周长最小？若存在，求出/'Q点的坐标；若不存在，请说明理由.2. (2008?荔湾区一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(- 1, 0), B (3, 0)两点.(1)求b、c的值；(2) P为抛物线上的点，且满足 Sapa=8,求P点的坐标；(3)设抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上

2、是否存在点Q使彳QAC勺周长最小？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由.133. (2012?昌平区模拟)如图，已知抛物线经过点B (- 2, 3),原点。和x轴上另一点A,它的对称轴与 x轴交于点C (2, 0).(1)求此抛物线的函数关系式；(2)连接CB,在抛物线的对称轴上找一点E,使得CB=CE求点E的坐标；/(3)在(2)的条件下，连接 BE,设BE的中点为G在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得 PBG勺周长最小？若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由./4. (2015秋？怀集县期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c 经过 A (1, 0)、B (4, 0)、C (

3、0, 3)-八、(1)求抛物线的解析式；(2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形 PAOC勺周长最小？若存在，求出四边形PAOC0长的最小值；若不存在，请说明理由.2016年09月14日账号17的初中数学组卷参考答案与试题解析一 .解答题(共4小题) /1. (2013?宝应县校级一卞H)抛物线 y=-x2+bx+c与x轴交与A (1, 0), B( 3, 0)两点，(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q使得 QAC的周长最小？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)将点A点B的坐标代入可求出 b、

4、c的值，继而可得出该抛物线的解析式；(2)连接BC,则BC与对称轴的交点，即是点 Q的位置，求出直线 BC的解析式后，可得出 点Q的坐标.f - lb+e=O【解答】解(1)把A (1, 0)、B ( - 3, 0)代入抛物线解析式可得：，3b4c=0恤-2解得：c= 3故抛物线的解析式为 y= - x2 - 2x+3.(2)存在、由题意得，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接 BG则BC与抛物线对称轴的交点是 点Q的位置，设直线BC解析式为y=kx+b，把B ( - 3, 0)、C (0, 3)代入得：(一呢+b* ,b=3解得：/八、则直线BC的解析式为y=x+3,/令 Q=- 1 得

5、Q=2,/、故点Q的坐标为：(T,2).【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及了顶点坐标的求解、三角形的面积及轴对称求最短路径的知识，解答本题的关键是熟练各个知识点，注意培养自己解综合题的能力.2. (2008?荔湾区一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(- 1。0), B (3, 0)两点.(1)求b、c的值；(2) P为抛物线上的点，且满足 Sapa=8,求P点的坐标；(3)设抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q使彳QAC勺周长最小？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)二抛物线f ( - 1) 2 - b+c=OI 32+3Mc

6、-0解之，得【分析】(1)抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为 A(-1, 0), B (3, 0),求得b,c值；(2)设点P的坐标为(x, y),求得y值，分别代入从而求得点P的坐标；(3)由AC长为定值，要使 QAC勺周长最小，只需 QA+QC1小.又能求得由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得 BC的直线，从而求得点 Q的坐标.y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为 A ( - 1, 0), B (3, 0),，所求抛物线的解析式为：y=x2-2x-3;(2)设点P的坐标为(x, y),由题意，得Saabc=- X 4 X |y|=8 ,|y|=4 ,.y

7、=±4,当 y=4 时，x2 - 2x - 3=4,.x1=1+2x2=1 - 22,当 y= 4 时，x2- 2x - 3=- 4, . .x=1 当 P点的坐标分别为(1+272 ， )、Q-2后,4)、(1, -4)时，ska=8；(3)在抛物线y=x2-2x-3的对称轴上存在点 Q'使彳# QAC勺周长最小.AC长为定值，/要使 QAC勺周长最小，只需 QA+QO小. 点A关于对称轴x=1的对称点是B (3, 0),，由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点， 抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为(0, -3),设直线BC的解析式为y=kx - 3.

8、.直线 BC过点 B (3, 0) , .3k - 3=0, 1. k=1 .直线BC的解析式为y=x - 3,当 x=1 时，y= - 2.点Q的坐标为(1, 2).【点评】本题考查了二次函数的综合运用，(1)抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A (- 1, 0), B (3, 0),很容易得到b, c值；(2)设点P的坐标为(x, y),求得y值，分 别代入从而求得点 P的坐标；(3)由AC长为定值，要使 QAC勺周长最小，只需 QA+QCt 小.又能求得由几何知识可知， Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得 BC的直线，从而 求得点Q的坐标.本题有一定难度，需要考虑仔细，

9、否则漏解.3. (2012?昌平区模拟)如图，已知抛物线经过点B (- 2, 3),原点。和x轴上另一点A,它的对称轴与 x轴交于点C (2, 0).(1)求此抛物线的函数关系式；(2)连接CB,在抛物线的对称轴上找一点E,使得CB=CE求点E的坐标；/(3)在(2)的条件下，连接 BE,设BE的中点为G在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得 PBG勺周长最小？若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由./【分析】(1)根据抛物线的对称轴可得出 A点坐标，然后根据 。A、B三点坐标，用待定系 数法可求出抛物线的解析式.(2)可根据 日C的坐标，求出BC的长，然后根据 CB=CE将C点坐标向上或

10、向下平移 BC 个单位即可得出 E点坐标.(3)本题的关键是确定 P点的位置，可取 B关于抛物线对称轴的对称点D,连接DG直线DG与抛物线对称轴的交点即为所求P点的位置.可先求出直线 DG的解析式，然后联立抛物线对称轴方程即可求出 P点坐标./【解答】解：(1)由题意知：A (4, 0);设抛物线的解析式为 y=ax (x-4),已知抛物线过 B(-2、3);则有： 3=ax ( 2) X ( 2 4), 抛物线的解析式为：y=lx2-x;(2)过点 B作 BM/LMC.B点坐标为：(-2, 3), C点坐标为：(2, 0), MC=4 BM=3BC=%2 + MC 2=5, |CE|=5 ,

11、 Ei (2, 5), E2 (2, - 5);(3)存在.当Ei (2, 5)时，G (0, 4),设点B关于直线x=2的对称点为D, 其坐标为(6, 3)直线DG的解析式为：y= -x+4,当E2(2,-5)时，G (0, -1),直线DG的解析式为：y=-x-1 P2 ( 2,二)综合、存在这样的点 P,使彳PBG勺周长最小，且点 P的坐标为(2,岂)3或(2, g/3【点评】本题考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定、轴对称图形的性质等知识,(3)中能正确找出 P点位置是解题的关键.4. (2015秋？怀集县期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c 经过 A (1, 0)、B (4

12、, 0)、C (0, 3)-八、(1)求抛物线的解析式；(2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形 PAOC勺周长最小？若存在，求出四边形PAOC0长的最小值；若不存在，请说明理由.a=,于是得到抛 4【分析】(1)设交点式为y=a (x-1) (x-4),然后把C点坐标代入求出物线解析式为y=|x2 -十+3;/ /(2)先确定抛物线的对称轴为直线x=|-,连结BC交直线x=|于点P,如图，利用对称性得至I pa=pb所以PA+PC=PC+PB=BC艮据两点之间线段最短得至ijPC+PAt短，于是可判断此时四边形PAOC勺周长最小，然后计算出BC=5,再方f算OC+OA+B即可.

13、【解答】解：(1)设抛物线解析式为 y=a (x-1) (x-4), /把 C (0, 3)代入得 a? ( - 1) ? ( - 4) =3,解得 a=, / ?所以抛物线解析式为 V得(x-1) (x-4),即y)x2-mx+3;(2)存在.因为 A (1, 0)、B (4, 0),所以抛物线的对称轴为直线 x=5,2连结BC交直线x=L于点P,如图，则 PA=PB PA+PC=PC+PB=BC匕时PC+PAt短,2/所以此时四边形 PAOC勺周长最小，因为 BC= 产5/所以四边形PAOC0长的最小值为3+1+5=9.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次

14、函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时， 常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了最短路径问题.将军饮马模型及其变形(x+1) (x-2)与x轴交于A、C两点(点 A在点C一 .解答题(共2小题)1. (2015?上城区一模)设抛物线的左边)，与y轴交于点B.(1)求A B、C三点的坐标；/(2)已知点D在坐标平面内， ABD是顶角为120°的等腰三角形，求点 D的坐标;(3)

15、若点P、Q位于抛物线的对称轴上，且 PQ登，求四边形ABQ成长的最小值.3/2. (2015须阳)如图，在矩形纸片ABCM, AB=4, AD=1?将矩形纸片折叠，使点 C落在AD边上的点 M处，折痕为 PE此时PD=3.(1)求 MPW值；(2)在AB边上有一个动点 F,且不与点A, B重合.当AF等于多少时,1 4MEF的周长最小？(3)若点G, Q是AB边上的两个动点，且不与点 A, B重合，GQ=2当四边形 MEQG勺周长 最小时，求最小周长值.(计算结果保留根号)12016年05月18日账号17的初中数学组卷参考答案与试题解析一 .解答题(共2小题)1. (2015?上城区一模)设抛

16、物线丫=9(x+1) (x-2)与x轴交于A、C两点(点A在点C的左边)，与y轴交于点B.(1)求A B、C三点的坐标；(2)已知点D在坐标平面内， ABD是顶角为120°的等腰三角形，求点 D的坐标;(3)若点P、Q位于抛物线的对称轴上，且 Pq£,求四边形ABQPO长的最小值.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)令x=0,求出与y轴的坐标；令y=0,求出与x轴的坐标；(2)分三种情况讨论：当 AB为底时，若点 D在AB上方；若点D在AB下方；当AB为 腰时，A为顶点时，当 AB为腰时，A为顶点时；仔细解答即可.(3)当AP+BQ1小时，四边形 ABQP勺周长最小，根据

17、轴对称最短路径问题解答.【解答】解：(1)当x=0时，y=-心；当 y=0 时，x= - 1 或 x=2;则 A (- 1, 0), B (0,-距),C (2 - 0);(2)如图，RtABO 中，OA=1 OB=/3, .AB=2 Z ABO=30 , / BAO=60 , .ABD是顶角为120°的等腰三角形.当AB为底时，若点 D在AB上方，由/ ABOW BAD=30 , AB=2,彳导D (0,-亚)，/若点 D在 AB下方，由/ BADW DBA=30 , AB=2 彳#6(1,3当AB为腰时，A为顶点时， . Z DAB=120 , / OAB=60 , AD=AB=

18、2 点D在y轴或x轴上， /若D在y轴上，得D3 (0, 我),若D在x轴上，得D4 ( - 3,0);当AB为腰时，A为顶点时，/若点D在第三象限，/ DBO=150 , BD=Z 彳# D5 (- 1, 271);若点D在第四象限时， DB/x 轴，BD=2,彳# D6 (2, 北),，符合要求的点 D的坐标为(0,-叵,(-1, - 2"),(0,右)，(-3, 0), (-1,-332向)，(2,-丘)；(3)当AP+BQ1小时，四边形 ABQP勺周长最小,把点B向上平移退个单位后得到Bi (0, -3/3、 BBi / PQ 且 BB=PQ /四边形BBPQ是平行四边形，B

19、Q=BP, ，AP+BQ=AP+网要在直线xJ上找一点P,使得AP+BP最小,2作点Bi关于直线x=的对称点，得B2 (1,-九),23则AB就是AP+BQ勺最小值,AB=2, PQ四边形ABQP勺周长最小彳直是-1x1+2.y轴的交点、等腰三【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数与x轴的交点、与角形的性质、勾股定理等内容，存在性问题的出现使得难度增大.2. (2015须阳)如图，在矩形纸片ABCM, AB=4, AD=12,将矩形纸片折叠，使点 C落在AD边上的点M处，折痕为 PE此时PD=3./(1)求 MPW值；/(2)在AB边上有一个动点 F,且不与点A, B重合.当AF等于多

20、少时，4MEF的周长最小？(3)若点G, Q是AB边上的两个动点，且不与点 A, B重合，GQ=2当四边形 MEQG勺周长 最小时，求最小周长值.(计算结果保留根号)/H【考点】几何变换综合题.【专题】综合题；压轴题.【分析】(1)根据折叠的性质和矩形性质以得/PD=PH=3 CD=MH=,4/H=/ D=90 ,然后利 用勾股定理可计算出 MP=5(2)如图1,作点M关于AB的对称点M ,连接交AB于点F,利用两点之间线段最 短可得点F即为所求，过点 E作ENL AD 垂足为N,则AM=AB MP- PD=4,所以AM=AM=4, 再证明ME=MP=的着利用勾股定理计算出 MN=3所以NM =11,然后证明AFM s NEM , 则可利用相似比计算出 AF;(3)如图2,由(2)知点 M是点M关于AB的对称点，在 EN上截取ER=2,连接 M R交 AB于点G,再过点E作EQ/ RG 交AB于点Q,易得QE=GR而GM=GM,于是 MG+QE=MR, 利用两点之间线段最短可得此时 MG+EQM、，于是四边形 MEQG勺周长最小，在 RtAM RN 中，利用勾股