第5章 平面图形几何性质

1、一 静矩、形心及相互关系二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径三 平行移轴定理四 转轴定理五 形心主轴、形心主矩 为什么要研究平面图形的几何性质 材料力学的研究对象为杆件,杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。 杆件的承载能力,不仅与截面大小有关,而且与截面的几何形状有关。课堂小实验 相同的材料、相同的截面积,截面的几何形状不同,承载能力差异很大。研究平面图形几何性质的方法 : 化特殊为一般实际杆件的横截面平面图形的几何性质包括: 形心、静矩、惯性矩、惯性半径 、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、主惯性矩等一 静矩、形心及相互关系AyAzSdAzAySd:静矩是对某一坐标轴定义的,静矩与坐标轴有

2、关截面对某一轴的静矩等于零,则该轴必通过形心。截面对通过形心轴的静矩恒等于零。即: 0zcS0ycS: 静矩与截面尺寸、形状、轴的位置有关。: 可以为正、或负、或等于零。: mm3 、cm3 、m32211cczyAyAS3213221hahhbhbah262abhzyOC1C20cxASyzcbahbah2262babah23二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径AyAzId2AAId2PAyzAyIzdAzAyId2AIiyyAIizzAyAzId2AAId2PAyzAyIzdAzAyId21、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯矩，是对点定义的。2、任何平面图形对于通过其形心的对称轴

3、和与此对称轴垂直的轴的惯性积为零。3、对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性矩越大。: 截面形状、尺寸、轴的位置。: 惯性矩、极惯性矩和惯性半径恒为 正; 惯性积可以为正、为负、为零。: 惯性矩、极惯性矩和惯性积的单位相 同,均为mm4 、cm4 、m4 惯性半径: mm 、cm 、mhozybydydAyIAz2同理：同理：12332232222hbzhdzhzdAzIbbAybbdybyhh2222233hhyb123bh例题例题 圆截面惯性矩、极惯性矩计算圆截面惯性矩、极惯性矩计算d三 平行移轴定理 移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形

4、对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。AaIIzcz2abAIIzcyczyCzcycyzObadAczAzdAyI2ACdAay2AcdAy2AcdAya2AdAa2zcIAa2AccyAdAyAbIIycy2在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小cy 应用平行移轴定理应注意的问题 两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算。czAyS zb/2b/2h/2h/2Oyz1322hhbh122bhydyAzdAyI2222hhbdyy123bh12213bhIz

5、243bh23221bhhIIzczzc2322bhhhIIzcz262423bhhbhIzc363bhIzc9236331bhbhIx43bh 例题图示为三个等直径圆相切的组合问题,求对形心轴zc的惯性矩.O1O2O3zcO2、O3到zc轴的距离dd632331O1到zc轴的距离dd33233222422433464634642ddddddIzc64114d 四 转轴定理 所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。已知已知： Iy、Iz、Iyz、求：求： Iy1、Iz1、Iy1z1五 形心主轴、形心主矩1 主惯性轴、主惯性矩 对于任何形状的截面,总可以

6、找到一对特殊的直角坐标,使截面对于这一对坐标轴的惯性积等于零。惯性积等于零的一对坐标轴就称为该截面的主惯性轴,而截面对于主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。2 形心主惯性轴、形心主惯性矩 当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,他们就被称为该截面的形心主惯性轴。而截面对于形心主惯性轴的惯性矩就称为形心主惯性矩。(1)如果平面图形有一条对称轴,则此轴必定是形心主惯性轴,而另一条形心主惯性轴通过形心,并与此轴垂直.CCC观察法确定形心主轴的位置:(2) 如果平面图形有两条对称轴,则此两轴都为形心主惯性轴. CCCC(3)如果平面图形具有三条或更多条对称轴,那么通过证明后可以知道:过该图形形心的任何轴都是

7、形心主惯性轴,而且该平面图形对于其任一形心惯性轴的惯性矩都相等。CCCCC对于没有对称轴的截面,其形心主惯性轴的位置通过转轴定理确定。(1) 矩形截面的形心主惯性矩 123bhIz123hbIy常见截面的形心主矩:644DIIyz(2) 圆形截面的形心主惯性矩 AyAyiic则则a12cm，a22cm。42323136528421212262121262cmICZ4334036412621226cmICy 2221212211AaIIAaIIZZZZCCZz2zcz1yc1cc26cm2cm6cm2cmy1y2a2a1yc（yc）212211AAyAyA2662126562cm3在下列关于平面

8、图形的结论中，（ ）是错误的。A.图形的对称轴必定通过形心；B.图形两个对称轴的交点必为形心；D.使静矩为零的轴必为对称轴。C.图形对对称轴的静矩为零；D在平面图形的几何性质中，（ ）的值可正、可负、也可为零。A.静矩和惯性矩；B.极惯性矩和惯性矩；C.惯性矩和惯性积；D.静矩和惯性积。D 图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成和两部分，在以下各式中，（ ）一定成立。0;.0;.CCCCZZZZIIBIIAZC。AADISC.0;.CCZZC 图a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面积。设它们对对称轴x的惯性矩分别为 对对称轴y的惯性矩分别为 ，则（ ）。axIbxIayIbyIo

9、xy)(aoxy)(b。，；，；，；，babababababababaIIIIDIIIICIIIIBIIIIAxxyyxxyyxxyyxxyy.C图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（ ）。，；，；，；，yxyxyxyxII.II.II.II.yxyxyxyxSSDSSCSSBSSAxyD 任意图形的面积为A，x0轴通过形心C， x1 轴和x0轴平行，并相距a，已知图形对x1 轴的惯性矩是I1，则对x0 轴的惯性矩为（ ）。；AaDAaCAaBA1x021x021x0 x0II.II.II.0I.Ca1x0 xB 设图示截面对y轴和x轴的惯性矩分别为Iy、Ix，则二者的大小关系是（ ）。不确定。；.DIICIIBIIAxyxyxyyRRR2OxB 图示任意形状截面，若Oxy轴为一对主形心轴，则（ ）不是一对主轴。；yxODyxOCxyOBOxyA1311211.1O2OO3O1yyx1xCA. 形心轴； B. 主轴