高中数学必修2-3第二章2.4正态分布（精编版）

1、2 4正态分布1. 问题导航(1) 什么是正态曲线和正态分布？(2) 正态曲线有什么特点？曲线所表示的意义是什么？ (3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率？2. 例题导读请试做教材p74 练习 1 题1. 正态曲线函数 ， (x)12 e（ x ） 22 2， x (， )，其中实数和 ( 0)为参数， ， (x) 的图象为 正态分布密度曲线，简称正态曲线2. 正态分布一般地，如果对于任何实数a， b(a b)，随机变量x 满足 p(a xb)b ， (x) dx ，a则称随机变量x 服从正态分布 正态分布完全由参数 和 确定， 因此正态分布常记作 n(， 2)，如果随机变量x 服从正态分

2、布， 则记为 x n( ， 2)3. 正态曲线的性质正态曲线 ， (x) 12（ x）2e2 2，x r 有以下性质：(1) 曲线位于x 轴 上方，与x 轴 不相交；(2) 曲线是单峰的，它关于直线 x 对称；1(3) 曲线在 x 处达到峰值 ；2(4) 曲线与 x 轴之间的面积为 1 ；(5) 当 一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x 轴平移，如图；(6) 当 一定时，曲线的形状由确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图.4. 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值p( x )； p( 2 x 2)； p( 3 x 3)1判

3、断 (对的打“”，错的打“×”)(1) 函数 ， (x)中参数 ， 的意义分别是样本的均值与方差()(2) 正态曲线是单峰的，其与x 轴围成的面积是随参数， 的变化而变化的() (3)正态曲线可以关于y 轴对称 ()答案： (1)×(2) ×(3) 2. 设随机变量x n(，2)，且 p(x c) p(x c) ，则 c () a 0b c d 答案： d3. 已知随机变量x 服从正态分布n(3， 2)，则 p(x 3) ()答案： d1x24. 已知正态分布密度函数为f (x) 2 e 4 ，x (， )，则该正态分布的均值为 ，标准差为 答案： 02正态分布的

4、再认识(1) 参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数， 可以用样本的均值去估计； 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计 0， 1 的正态分布叫做标准正态分布(2) 正态分布定义中的式子实际是指随机变量x 的取值区间在 (a，b上的概率等于总体密度函数在 a， b 上的定积分值(3) 从正态曲线可以看出，对于固定的而言，随机变量在( ， )上取值的概率随着 的减小而增大这说明越小， x 取值落在区间 ( ， )的概率越大，即x 集中在 周围的概率越大对于固定的和 ，随机变量x 取值区间越大，所对应的概率就越大，即 3原则正态分布密度曲线如图是一个正态曲线，试根据该图象

5、写出其正态分布的概率密度函数的解析式， 求出总体随机变量的均值和方差1解从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x 20 对称，最大值为，211所以 20，2 22.于是 ， (x)1·e（ x 20） 24， x ( ， )，总体随机变量的期望是 20，2方差是 2 (2)2 2.利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x，另一是最值1，这两点确定以后，相应参数，便确定了，代入便可求出相应的解2析式扫一扫进入 91 导学网 正态分布密度曲线1若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为态分布的概率密度函数的解析式142.求该正解： 由于该正

6、态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即0.1由于1，得 4，22·4故该正态分布的概率密度函数的解析式是， ( x)42e 32， x ( ， )求正态分布下的概率设 x n(1，22 )， 试 求 ： (1)p( 1 x 3)； (2)p(3 x5)解因为 x n(1，22)，所以 1， 2.(1)p( 1 x 3) p(12 x1 2) p( x ) 6.(2)因为 p(3x 5) p(3 x 1)，所以 p(3 x5) p( 3x 5) p( 1 x 3)12 2 p(1 4 x1 4) p(1 2x 1 2)1 p( 2 x 2) p( x )12 1

7、 4 6) 9.2互动探究 在本例条件下，试求p(x5)解： 因为 p(x 5) p(x 3)，所以 p(x 5) 21 p( 3 x 5)1 1 p(1 4 x 1 4)121 21 p( 2 x 2)1 (1 4) 8.21x2(1) 求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的概率转化到已知区间的概率这一转化过程中体现了数形结合思想及转化化归思想的应用(2) 常用结论有对任意的a，有 p(x a) p(x a)； p(x x0)1 p(xx0)； p(a x b) p( x b) p( x a)2(1)(2015高·考山东卷 )已知某批零件的长度误差( 单位：

8、毫米 ) 服从正态分布n(0，32 )，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6) 内的概率为 ()(附：若随机变量服从正态分布n(，2) ，则 p( ) %，p( 2 2) %.)a %b %c%d %解析： 选 b.由正态分布的概率公式知p(3 3) 6，p( 6 6) 4，故 p(3 6) p（ 6 6） p（ 3 3）2错误 ! 9%，故选 b.(2)设随机变量x n(4， 2)，且 p(4 x 8)，则 p(x 0) 解析： 概率密度曲线关于直线x 4 对称，在4 右边的概率为，在0 左边的概率等于在8 右边的概率，即.答案：(3)设随机变量x n(2， 9)，若 p(x c 1)

9、p(x c1) 求 c 的值；求p( 4x 8) 解：由 x n(2 ，9)可知，密度函数曲线关于直线x 2 对称(如图所示 )， 又 p(x c 1) p( x c 1)，故有 2 (c 1) (c 1) 2，c 2. p(4 x 8)p(2 2× 3 x 2 2× 3) 4.正态分布的实际应用某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布n(70，102)，如果规定低于60分的学生为不及格学生(1) 成绩不及格的人数占多少？(2) 成绩在 80 90 之间的学生占多少？解(1) 设学生的得分情况为随机变量x， 则 x n(70， 102)，其中 70， 10.在 60 到

10、 80 之间的学生占的比为p(70 10< x 70 10) 6 %，不及格的学生所占的比为1× (1 6) 7 %. 2(2)成绩在 80 到 90 之间的学生所占的比为1× p(702× 10< x 70 2× 10) p(7010< x70 10) 21× 4 6) %. 2正态曲线的应用及求解策略：解答此类题目的关键在于将待求的问题向( ， )， ( 2， 2)， ( 3， 3)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想3 (2015 ·杭州质检 )某人

11、从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间 x(单位：分 )近似服从正态分布x n(50，102)，求他在 (30，60分内赶到火车站的概率解： x n(50， 102)， 50， 10.p(30 x 60) p(30 x50) p(50 x 60)11 2p(2 x 2) 2p( x )1 × 4 21× 6 5.2即他在 (30， 60分内赶到火车站的概率是5.数学思想正态分布中的化归与转化思想已知随机变量x 服从正态分布n(3， 1)，且 p(2 x 4) 6，则 p(x>4) () a 8b 7c. 6d 5解析 由于 x 服从正态分布n(3

12、， 1)，故正态分布曲线的对称轴为x 3.所以 p(x>4) p( x<2) ，故 p(x>4)1 p（ 2 x 4）21 62 7.答案 b感悟提高 化归与转化思想是中学数学思想中的重要思想之一，在解决正态分布的应用问题时，化归与转化思想起着不可忽视的作用本小题考查正态分布的有关知识，求解时应根据p(x>4)p(x<2) p(2 x 4)1 将问题转化1设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象， 且 f(x) ， (x)（x 10） 28，则这个正态总体的均值与标准差分别是()a 10 与 8b 10 与 2c8 与 10d 2 与 101e 8解析

13、： 选 b. 由正态密度函数的定义可知，总体的均值 10，方差 24，即 2.2.(2015 高·考湖南卷 )在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点，则落入阴影部分(曲线 c 为正态分布n(0， 1)的密度曲线 )的点的个数的估计值为()a 2 386b 2 718c3 413d 4 772答案：4设 x n(5， 1)，求 p(6<x 7)解： 由已知得 p(4< x 6) 6，p(3< x 7) 4.又 正态曲线关于直线x5 对称，p(3< x 4) p(6< x 7) 4 6 8.由对称性知p(3< x 4) p(6<x 7)，

14、所以 p(6<x 7)错误 ! 9.a. 基础达标 11设随机变量 n(2，2)，则 d() ()附：若 x n(， 2) ，则 p(<x ) 6， p( 2<x 2) 4.解析： 选 c.由 p( 1<x 1) 6，得 p(0<x 1) 3，则阴影部分的面积为3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000× 错误 ! 3 413，故选 c.3在某项测量中，测量结果x 服从正态分布n(1， 2)( 0)若 x 在(0， 1)内取值的概率为，则x 在(0， 2) 内取值的概率为 解析： 如图，易得p(0 x 1) p(1 x 2)， 故 p(0x 2) 2

15、p(0 x1) 2× .2a 1b 2d. 4解析： 选 c. n(2，2) ，d () 2.1111d ()d () × 222242.2 下列函数是正态密度函数的是()a f(x)122（x ） 2e2 2， ， ( 0)都是实数x2bf(x)2 e 21cf(x)e 22x2（ x1） 2412d f(x)e 2解析： 选 b. 对于 a ：函数的系数部分的二次根式包含，而且指数部分的符号是正的， 故 a 错误；对于b ：符合正态密度函数的解析式，其中1， 0，故 b 正确；对于c：从系数部分看 2，可是从指数部分看2，故 c 不正确；对于d ：指数部分缺少一个 负号

16、，故 d 不正确1223(2015 ·高考湖北卷 )设 x n( ，1)，y n(2，2)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是()a p(y 2) p(y 1) bp(x 2) p(x 1) c对任意正数t， p(x t) p(y t) d对任意正数t， p(xt) p(y t)解析：选 d.由图象知， 1 2，1 2，p(y 2)11p(y 1)>，故 p(y 2)<p(y 1 )， 2，2故 a 错；因为 12，所以 p(x 2)>p(x1)，故 b 错；对任意正数t， p(xt)<p(y t)，故 c 错；对任意正数t， p(xt) p(

17、y t)是正确的，故选d.4已知随机变量服从正态分布n(2， 2)，且 p( 4)，则 p(0 2) ()a cbd解析： 选 c.如图，正态分布的密度函数图象关于直线x 2 对称，所以p(2)，并且 p(0 2) p(2 4)，则 p(0 2) p( 4) p(2) .25 设随机变量服从正态分布n(， 2)，函数 f(x) x2 4x 没有零点的概率是1，则 ()a 1b 4c2d不能确定解析： 选 b. 根据题意，函数f( x) x2 4x没有零点时， 16 4 0，即 4，根2时，据正态分布密度曲线的对称性，当函数f(x) x2 4x 没有零点的概率是1 4.6 如果 n(， 2)，且

18、 p(3) p(1) 成立，则 解析： n(， 2)，故概率密度函数关于直线x 对称，又p( 1) p( 3)，从而 1 32 2，即 的值为 2.答案： 27. 在某项测量中，测量结果服从正态分布n(1， 2)( 0)若 在(0，1) 内取值的概率为，则在(2， )上取值的概率为 解析： 由正态分布的特征易得p(>2)答案：12×1 2p(0<<1)1 2×(1 .8. 为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000 名年龄在岁至19 岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重x(kg) 服从正态分布n(， 22)，且正态分布密度曲线如

19、图所示，若体重大于kg 小于等于kg 属于正常情况，则这1 000 名男生中属于正常情况的人数约为 解析： 依题意可知， 2，故p x p( x ) 6，从而属于正常情况的人数为1 000× 6 683.答案： 6839(2015 ·苏州高二检测)某个工厂的工人月收入服从正态分布n(2 500，202)，该工厂共有 1 200 名工人，试估计月收入在2 440 元以下和2 560 元以上的工人大约有多少人？解： 设该工厂工人的月收入为，则 n(2 500 ， 202)，所以 2 500 ， 20，所以月收入在区间(2 500 3× 20， 2 500 3×

20、; 20) 内取值的概率是4，该区间即 (2 440，2 560)因此月收入在2 440 元以下和2 560 元以上的工人大约有1 200× (1 4) 1 200× 6 3(人)10 (2015 ·漳州高二检测)某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短， 但交通拥挤， 所需时间 (单位为分 )服从正态分布n(50， 102 )；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布n(60，42)(1) 若只有 70 分钟可用，问应走哪条路线？ (2)若只有 65 分钟可用，又应走哪条路线？解： 由已知

21、x n(50， 102)， y n(60， 42)由正态分布的2区间性质p( 2 2) 4.然后解决问题的关键是：根据上述性质得到如下结果：对 x： 50； 10，2区间为 (30， 70)，对 y： 60； 4， 2区间为 (52，68)，要尽量保证用时在x?(30，70)， y?(52， 68)才能保证有95%以上的概率准时到达 (1)时间只有70 分钟可用，应该走第二条路线(2) 时间只有65 分钟可用，两种方案都能保证有95% 以上的概率准时到达，但是走市区平均用时比路线二少了10 分钟，应该走第一条路线b. 能力提升 1. 设随机变量x n(，2)，则随着的增大， p(|x| 3)将

22、会 () a 单调增加b单调减少c保持不变d增减不定解析： 选 c.对于服从正态分布的随机变量x，不论， 怎么变化， p(|x | 3)总等于 4.2. 设正态总体落在区间(， 1)和区间 (3， )的概率相等，落在区间( 2， 4)内的概率为 %，则该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标为() 1a (1，)b (1，2)21c(2， 1)d (1， 1)解析： 选 a. 正态总体落在区间( ， 1)和(3， )的概率相等，说明正态曲线关于x1 对称，所以 1.又在区间 ( 2， 4)内的概率为 %，1 3 2， 1 3 4， 1.f (x)1（ x 1） 2e2， xr ，2最高点的坐标为

23、1，1 2 .3. 设随机变量服从正态分布n(0， 1)，则下列结论正确的是 p(|a) p( a) p( a)(a 0)； p(|a) 2p( a) 1(a 0)； p(|a) 1 2p(a)(a 0)； p(|a) 1 p(| a)(a 0)解析： 因为 p(|a) p( a a)，所以 不正确；因为 p(| a) p( a a) p( a) p( a) p( a) p( a) p( a) (1 p( a) 2p(a) 1，所以 正确，不正确；因为 p(| a) p(| a) 1，所以 p(| a) 1 p(| a)( a 0)，所以 正确答案： 4. 设随机变量x n(1， 22)，则 y 3x 1 服从的总体分布可记为 解析： 因为 x n(1， 22)，所以 1， 2.又 y3x 1，所以 e(y) 3e(x) 13 12， d(y)9d(x) 62，所以 y n(2， 62 )答案： y n(2， 62)5. (2014 ·高考课标全国卷 )从某企业生产的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1) 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2) 由直方图可以认为，这种产品的质量指标值z 服从正态分布n(，2)，其中