2022年2022年平面向量【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载概念.方法.题型.易误点及应试技巧总结平面对量一向量有关概念 ：1向量的概念 ：既有大小又有方向的量,留意向量和数量的区分；向量常用有向线段来表示,留意 不能说向量就为有向线段,为什么？（向量可以平移） ；如：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuur已知 a（1、2）,b（ 4、2）,就把向量 ab（答：（ 3、0 ）r按向量 a （ 1、3）平移后得到的向量为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 零向量：长度为 0 的向量叫零向量,记作：0 ,留意零向量的方向为任意的；uuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abuu

2、ur3 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 ab共线的单位向量为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuur；| ab |4 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a .b 叫做平行向量,记作： a b ,规定零向量和任何向量平行；提示：相等向量肯定为共线向量,但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行为不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线、 但两条直线平行不包含两条直线重合；r平行向量无传递性 ！（由于有 0 ；uuuruuur三点 a.b.c 共线ab.ac 共

3、线；6 相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量为 a ；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rr以下命题：（ 1）如 abrr,就 ab ；（2）两个向量相等的充要条件为它们的起点相精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuuruuur同,终点相同；（ 3）如 abdc,就 abcd 为平行四边形；（4）如 abcd 为平行四边形,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuuruuurrr rrrrrr rrrr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 abdc；（5）如ab、 bc ,就 ac ；（6）如 a / b、b / c ,

4、就 a / c ；其中正确选项 （答：（4）（5）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二向量的表示方法 ：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示,如ab ,留意起点在前,终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示,如a , b , c 等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系,以与x 轴. y 轴方向相同的两个单位向量i,rrrj 为基底,就平面内的任一向量a 可表示为 axiy jx、 y,称 x、 y 为向量 a 的坐标, a x、 y 叫做向量 a 的坐标表示； 假如向量的起点在原点 ,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同；三平面对量的基本定理：假如 e1 和 e2 为同一

5、平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数1 .2 ,使 a=1 e1 2 e2；如rrrr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） 如 a1、1、b1、 1、 c1、2 ,就 c （答： 1 r3 r ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab22（ 2） 以下向量组中,能作为平面内全部向量基底的为uruururuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. e10、0、 e21、 2b. e11、2、 e25、7精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uruururuur13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c

6、. e13、5、 e26、10d. e12、3、e2、24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuur uuuruuurr uuurr（答： b）；uuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）已知rrad 、 be分别为abc 的边bc、 ac 上的中线 、且ada、 beb 、就 bc 可用向量精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a、 b 表示为 （答： 2 r4 r ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4）已知abc 中,点 d 在 bc 边上,且值为 cd2 db, cdr abs acab33,就rs 的精品学习资料精选学习资料

7、- - - 欢迎下载（答： 0）四实数与向量的积 ：实数与向量 a 的积为一个向量,记作a ,它的长度和方向规定rr如下： 1aa 、2当>0 时,a 的方向与 a 的方向相同,当<0 时,a 的rr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方向与 a 的方向相反,当0 时,a五平面对量的数量积 ：0 ,留意：a 0；uuurruuurr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 两个向量的夹角 ：对于非零向量 a , b ,作 oaa、obb ,aob0称为向量 a , b 的夹角,当 0 时, a , b 同向,当时, a , b 反向,当时, a , b 垂直；22

8、 平面对量的数量积：假如两个非零向量a , b ,它们的夹角为,我们把数量精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rr| a | b | cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积） ,记作： a . b ,即 a . b rra b cos；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规定：零向量与任一向量的数量积为0,留意数量积为一个实数,不再为一个向量；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）abc 中 , | ab |3 , | ac |4 , | bc |5 ,就 abbc （答： 9）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载r1r1rrr urrr

9、rur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）已知 a1、 b0、 cakb 、 dab , c 与 d的夹角为,就 k 等于 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22rrr rrr4（答： 1）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）已知 a2、 b5、agb3 ,就 ab 等于 （答：23 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rrrrrrrrr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4）已知a、 b 为两个非零向量,且ababr,就 a与ab 的夹角为 （答： 30o ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 b 在a 上

10、的投影 为 | b | cos,它为一个实数,但不肯定大于0；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知| a |3 , | b |5 ,且 a b12 ,就向量 a 在向量 b 上的投影为 （答：r12 ）5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 a . b 的几何意义 ：数量积 a . b 等于 a 的模 | a | 与b 在 a 上的投影的积；5 向量数量积的性质 ：设两个非零向量a , b ,其夹角为,就：rrrr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 aba .b0 ；rrr 2rrr 2rr 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a , b

11、 同向时, a . b a brr,特殊地,aa . aarr、 aarr；当 a 与b 反向精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载时, a . b a b；当为锐角时, a . b 0,且 a.b 不同向, a b0 为为锐角的必精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rrrr要非充分条件 ；当为钝角时, a . b 0,且 a.b 不反向, a b充分条件 ；0 为为钝角的必要非精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rrrr非零向量 a , b 夹角的运算公式： cosa . ba brrrr； | a . b | | a | b | ；如精品学习资料精选学习资料 -

12、 - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1） 已知 a、2 , b3、2,假如 a 与 b 的夹角为锐角,就的取值范畴为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答：4 或0 且1 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） 已知ofq 的面积为 s ,且 offq取值范畴为 1,如 1s233 ,就 of 、 fq 23夹角的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rrrr（答： 、 ）；43精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）已知acos x、sin x、 bcos y、sin

13、 y、a与b之间有关系式rrrrrrrrrrkab3 akb 、其中 k0 ,用 k 表示 ab ；求 a b 的最小值,并求此时a 与b 的夹角的大小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载六向量的运算 ：1 几何运算 ：rr（答： a bk 21 k4k0 ；最小值为1 ,60o ）2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载向量加法：利用“平行四边形法就”进行,但“平行四边形法就”只适用于不共uuurruuurruuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载线的向量,如此之外,向量加法仍可利用 “三角形法就”：设 aba、 bcb ,那么向量 ac精品学习资料精选学习资

14、料 - - - 欢迎下载r叫做 arrruuuruuuruuur与b 的和,即 ababbcac；uuurruuurrrruuuruuuruuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载向量的减法：用“三角形法就” ：设 aba、 acb、那么 ababacca ,由减向量的终点指向被减向量的终点；留意：此处减向量与被减向量的起点相同；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuuruuuruuururu（1）化简：abbccduuruuuuuruuur abcd acbd uuuruuuruuur；abaddc；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuur（答： ad

15、uuur； cbr； 0 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）如正方形 abcd 的边长为 1,uuur ruuur ruuur r aba、 bcb、 accrrr,就 | abc | （答： 22 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuuruuuruuuruuuruuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）如 o 为vabc 所在平面内一点,且满意的外形为 obocoboc2oa,就vabc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答：直角三角形） ；（ 4 ） 如 d 为abc 的 边 bc 的 中 点 ,abc 所 在 平 面

16、内 有 一 点 p , 满 足精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuuruuuruuurr,设 |uuur ap |精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pabpcp0uuur,就的值为| pd |（答： 2）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuuruuuruuurr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（5）如点 o 为abc 的外心,且rroaobco0 ,就 abc 的内角 c 为 （答： 120o ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 坐标运算 ：设 ax1、 y1 、b x2 、 y2 ,就：精品学习资料精选学习资料 - -

17、 - 欢迎下载rr向量的加减法运算 ： abx1x2 , y1y2 ；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）已知点a2、3、 b5、4, c 7、10 ,如uuuruuuruuurapabacr ,就当 时,点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p 在第一.三象限的角平分线上1 uuur（答： 1 ）；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）已知a2、3、 b1、4、 且ab2sin x、cos y , x、 y、 ,就 xy 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答：或）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuruuruuru

18、r 6 uuruu2ruur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）已知作用在点的终点坐标为a1、1的三个力 f13、4、 f22、5、 f33、1 ,就合力ff1f2f3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载实数与向量的积 ：rax1 、 y1 uuurx1 、y1；（答：（9、1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 a x1 、 y1 、 b x2 、 y2 ,就 abx2x1 、 y2y1,即一个向量的坐标等于表示这个向精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2、

19、3、 b1、5uuur1 uuuruuuruuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设,且acab , ad 3rr3ab ,就 c.d 的坐标分别为1、（答：117、9 ）；3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载平面对量数量积 ： a .bx1x2y1 y2 ；如已知向量 a （ sinx,cosx） 、b （ sinx,sinx）、c （ 1,0）；（1）如 x,3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求向量 a .c 的夹角；（2）如 x 3、 ,函数84f xa b 的最大值为1 ,求的值2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rrr2（答：115

20、0o;21 或21 ）；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载向量的模 ： | a |rrx2y2 、 a| a |2x2y2 ；如uurr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知 a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60o ,那么 | a3b | （答：13 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两点间的距离 ：如a x1、 y1、 b x2 、 y2,就 | ab |2x2x12y2y1；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图,在平面斜坐标系xoy 中,xoy60o,平面上任一点p精品学习资料精选学

21、习资料 - - - 欢迎下载uuururuurur uur关于斜坐标系的斜坐标为这样定义的： 如 opxe1ye2 ,其中 e1、 e2 分别为与 x 轴.y 轴同方向的单位向量,就p 点斜坐标为 x、 y ；（1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如点 p 的斜坐标为（ 2, 2）,求 p 到 o 的距离 po；（2）求以o 为圆心, 1 为半径的圆在斜坐标系xoy 中的方程；（答：（1）2；（2） x2y2xy10 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载七向量的运算律 ：rrrrrrrrrr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1交换律： abba ,aa

22、, a . bb . a ；rrrrrrrrrrrrrrrrrr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2结合律：abcabc、 abcabc,a. ba . ba .b；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rrrrrrrrrrrrrr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3安排律：aaa 、abab , ab . ca . cb . c ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如以下命题中：a bc a bac ；a b c a bc ； ab 2| a |2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rrrrrrr 2r 2精品学习资料精选学习资料 - -

23、 - 欢迎下载2 | a | | b | b |2 ； 如 a brrr0 ,就 a0 或 b0 ；如 a bc b、 就 ac ； aa ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22 a bbrrr 2r 2rrr 2rrr 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载r 2r ；aaa bab ； aba2abb；其中正确选项（答：）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载提示：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：对于一个向量等式,可以移项,两边平方.两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向

24、量不能相除 相约 ；（ 2）向量的“乘法”不满意结合律,即 ab .ca . bc ,为什么？rrrrrrrr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载八向量平行 共线 的充要条件 ： a / babrrab 2rr| a | b |2x1 y2y1 x2 0；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 如向量 ax、1、b4、 x ,当 x 时 a 与 b 共线且方向相同（答： 2）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rrrrrrrrrr（2）已知 a1、1、b4、 x , ua2b , v2ab ,且 u / v ,就 x （答： 4）；uuuruuuruuur

25、（3）设 pak 、12、 pb4、5、 pc10、k ,就 k 时, a、b、c 共线（答： 2 或 11）rrrrrrrr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载九 向量垂直的充要条件：uuuruuuruuuruuurabacabacabab0| ab | | ab |x1 x2y1 y20. 特殊地精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 uuuruuur uuuruuur ；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abacabacuuuruuuruuuruuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 已知 oa1、2、 ob3、 m ,如 oaob ,

26、就 m（答： 3 ）；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） 以原点 o 和 a4、2 为两个顶点作等腰直角三角形oab ,坐标为 b90,就点 b 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rrurrurur（答： 1、3或（ 3, 1） ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3） 已知 n a、 b、 向量 nm ,且 nm,就 m 的坐标为 （答： b、a或b、 a ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载十线段的定比分点 ：1定比分点的概念 ：设点 p 为直线 p1 p 2 上异于 p1 .p 2 的任意一点,如存在一个实精品学习资料精选学

27、习资料 - - - 欢迎下载uuuruuur数,使 p1ppp2 ,就叫做点 p 分有向线段以定比为的定比分点；uuuur p1p2所成的比, p 点叫做有向线段uuuurp1p2 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2的符号与分点p 的位置之间的关系 ：当 p 点在线段p1 p 2 上时>0；当 p所成的比为 1 ；如p p点在线段p1 p2 的延长线上时< 1；当 p 点在线段 p 2 p1 的延长线上时10 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如点 p 分有向线段uuuur p1p2 所成的比为,就点 p 分有向线段uuuur2 1精品学习资料精选学习

28、资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3uuur如点 p 分 ab 所成的比为4uuur,就 a 分 bp 所成的比为 （答：7 ）3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3线段的定比分点公式 ：设 p1 x1 、 y1 . p2 x2 、 y2 , p x、 y 分有向线段uuuur p1p2所成的比精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x为,就yx1x21y1y21,特殊地,当 1 时,就得到线段 p1 p 2x的中点公式yx1x2 2y1y2 ；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在使用定比分点的坐标公式时,应明确 x、 y

29、, x1、 y1 . x2 、 y2 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标；在详细运算时应依据题设条件,敏捷地确定起点,分点和终点,并依据这些点确定对应的定比；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）如 m （-3,-2）,n（ 6, -1）,且 mp1 mn,就点 p 的坐标为 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答：6、7 ）；3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） 已知aa、0、 b3、2a) ,直线 y1 axuuuuruuur,就 a 等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载与线段 ab 交于 m ,且 am2于 2mb精品学习资

30、料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答：或）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载十一平移公式 ：假如点rrp x、 y 按向量 ah、 k平移至px 、y ,就xxh ；曲yyk精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载线 f x、y0 按向量ah、 k平移得曲线f xh、yk 0 .留意：（ 1） 函数按向量平移与精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊！如rr（ 1） 按向量 a 把 2、3 平移到 1、 2 ,就按向量 a 把点 7、2 平移到点 （答：（,）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

31、迎下载（ 2） 函数 ysin 2 x 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式为ycos 2 x1,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 12.向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要留意运用；（答： 、1 ）4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rrrrrrrrrrrrr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） | a | b | | ab | | a | b | ,特殊地,当 a.b 同向或有 0| ab | | a | b |精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rrrrrrrrrrrrrrrrr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| a | b | | ab | ；当 a.b 反向或有 0rrrrrr| ab | | a | b | a | b | | ab |；当 a.b 不共线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| a | b | | ab | | a | b | 这些和实数比较类似 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3 ） 在abc 中 , 如