【精品】水火箭飞行高度的探究--陈鹏

1、水火箭飞行高度的探究山东交通学院信息工程系 作者：陈鹏、褚春亮、黄浩 指导老师：刘进庆时间：2011年2月目录1 研究背景与意义32研究内容3飞行高度计算模型建立3.1计算模型建立前提假定43.2数学推导模型建立44水火箭的制作研究 84. 1水火箭的实体制作 84.2空气阻力系数的测定 104.3空气阻力系数的求解 135考虑空气阻力的火箭飞行高度 135. 1用matlab求解的思路135.2 matlab程序及图像 146误差分析与结论总结 166. 1误差分析166.2结论166.3论题展望177附录178致谢189参考文献191研究背景与意义水火箭即水力压缩火箭是一种制作及发射相对较

2、容易的火箭。 目前国内的水火箭还停留在制作上，没有深入到用数学的方法进行严 谨的深入的探究。随着数学和物理知识的不断积累，已初步具备对水 火箭进行深入探究的基础。又逢第十二届“挑战杯”大学生课外学术 科技作品竞赛，于是怀着浓厚的兴趣对之进行深入的探究。探究水火箭的飞行高度可以极大的提高我们的动手能力、实践 能力、创新能力、以及综合运用所学知识解决实际问题的能力。同时 今后可对他人制作水火箭提供一个理论参考。2研究内容水火箭是火箭的一种，其动力来自于火箭体内的压缩空气，通过 高压不断把火箭体内的水向外喷出，火箭获得反方向的推力，在推力、 重力及空气阻力的合力作用下向前飞行。本文主要研究口制火箭，

3、在 一定条件下(自身载重、空气阻力等)发射的高度公式推导及其试验 论证。主要研究及试验内容如下：(1) 飞行高度数学计算模型建立(2) 水火箭制作研究(3) 应用matlab求解微分方程(4) 试验论证、模型修正3飞行高度计算模型建立3.1计算模型建立前提假定(1) 由于自制水火箭飞行高度较低，不考虑火箭在飞行过程中 重力加速度的变化，假定为一定值；(2) rir丁自制火箭在飞行的过程中随着简体内部的水量的不断 减少，箭体内气压不断降低，射速会不断减小，因时间紧迫先不考虑 射速变化对飞行高度的影响，只研究空气阻力的影响。即匚为恒矢量。3.2数学推导模型建立 321火箭推力公式的推导我们只在竖直

4、方向上对火箭的飞行过程做受力分析。我们设火箭飞行的某时刻火箭一水系统(以下简称系统)的 质量为加'，它相对于某一选定的惯性参考系(地球)的速度为 在t t+'t时间间隔内,有质量为am的水被以速度u相对火箭喷 射出去，此时系统则包括火箭、剩余的水以及被喷射岀去的水。在时 刻f+zv火箭相对选定的惯性系的速度为v + av,而水流相对惯 性系的速度则为v+av+m o按上述分析，在时刻r,系统的动量为pt) = myv在时刻/+at时间，系统的动量为p(z) = (m-am) v + avv+av+w在tt+at吋间间隔内，系统动量的增量为ap = pt+at)-p(t)即ap

5、= mfav+wam由上式可得动量随时间的变化率为»>dp ,dv . - dm=mudt dt dt式中d/n/df是水流质量随时间的变化率,而它又是由火箭中喷射出 来的，故有dm _ dm1dt dt于是上式可写成»*dp ,dv -dm'=mudt dt dt我们知道系统的合外力等于系统动量随时间的变化率，因此作用于系 统的合外力7： dp ,dv -dm'f =mudt dt dt即. - dm'm-r+udtdt7如即为火箭的推力。dt322火箭飞行高度的推导由(1)式我们可以知道f是系统所受的合外力，即为重力和空 气阻力，所以有&g

6、t;ydv dm' ,1q-2m =u-m g+-cpsv (2)dt dt2上式就是我们理论推导出的火箭飞行高度的微分方程。我们先不考虑空气阻力的影响，继续推导火箭的飞行高度公式 为火箭的实际制作做理论指导。我们已设定不考虑射速变化的彩响，所以7为恒矢量，在/=0时，火箭的质量为讥 速度为必，在时，火箭的质量为加速度为v,先不看空气阻力，那么对上式积分得于是有v-v（）=wlnm+ gt = un应当注意的是这里u , g是u. g的模，与火箭的飞行方向相反, 我们默认火箭的飞行方为正方向。我们设火箭的飞行高度为y,上式可写为windtdy = undt gtdt m'我们设

7、在/=0时，y=0；=/时，y = y对上式积分得于是有y = uln牛冷 m 2(3)我们令火箭起飞吋水的体积为v升、喷嘴的横截面积为$,别仏 有v = uts即vu =st带入(3)式得y = yln牛躲厂(4)s my 2由此可以看出火箭装水越多、喷口面积越小、质量比越大、喷 射时间越短飞行高度越高。但是这对塑料瓶的耐压承受力就有很大的 要求了。我们做了一次塑料瓶的耐压极限测定实验，从实验看出普通 塑料瓶的耐压极限在impa以上。这对下面的火箭设计制作有指导 意义。注意：在(4)式中我们没有考虑空气阻力。那么考虑空气阻力 如何求解呢？这就要借助计算机辅助求解了。在水火箭飞行的过程中 空气

8、阻力f=cpsv2其中。是空气密度，标准状况下约为 1.293檢/加彳；s是箭体径向迎风面积；"是火箭飞行速率；c是空 气阻力系数，这也正是我们主要的测量数据。不同的飞行器有不同的尺寸、形状，其空气阻力系数也不同。为 了验证计算的正确性，我们简易制作一个水火箭作为研究对象，并测 量其空气阻力系数c的值，最终计算出火箭的飞行高度，并用实验验 证之。4水火箭制做研究4.1火箭实体制作简易的火箭要满足两个条件才能正常起飞。一个是火箭的推力 必须满足其自身重力，这样火箭才能飞得起来。另一个是火箭的重心 必须在其压力中心之上（一般取一个箭体直径的距离），这样火箭才 能在飞起来的基础上飞的稳定。

9、如图设计图纸（三角尾翼）。（单位：cm）r13很容易算出压力中心即为红色条带处。对于重心位置可以用加水的多少以及在箭头配重的方法平衡。那么如何如何满足火箭的推力大于重力呢？回到式-dm'udt可以看出火箭的推力与射速、排除率成正比。我们设定在火箭内部装 2升的水，在1秒内全部射出（这时瓶内的压强约为4个大气压），喷 口的横截面积为s = 42;tx1062 （即直径为8加加的圆孔），那么 射速u = 39j5m/s,排除率为2kg/s,推力就是79.5n,这个推 力足以使自重3kg左右的火箭迅速起飞了。如图为火箭实体:经试射，达到预期设计指标（见附录）。4.2空气阻力系数的测定在航天航

10、空丁程中有专门的风洞实验室用于测量各种飞行器的 空气阻力系数。鉴于条件有限我们设计一个简单的方法粗略的测算 co方法如下：风洞的本质即是在地面模拟飞行器飞行时的环境特征，我们可以 把火箭横放在一个于平直路面沿箭体径向匀速运动的车上，这样火箭 和对空气就有一个不变的速度，我们把车的速度测出来、空气密度已 知、火箭的迎风面积测出来。又因为火箭可以看作是匀速直线运动, 所以它所受的空气阻力不变，我们可以用弹簧秤把它测量出來，这样 通过方程f=cpsv2就可以很容易算出cto以上是理想的状态，事实上在测量的过程中述有风以及火箭和支 架之间的摩擦力的影响。为了尽量使测量数据准确我们的解决办法如 下：1、

11、尽量在无风或微风的天气下测量，在逆风和顺风的方向同 吋测量取平均值以抵消微风的影响。2、对于摩擦力，在车速低于定值向定值加速和高于定值向定 值减速的两种情况测量取平均值以抵消摩擦力的影响。如 设定v的值为15m/s,我们可以使车的速度从12m/s加速 到15m/s测量一个数据，从18m/s减速到15m/s测量一个 数据，两个数据的平均值即为平衡摩擦力后的数值。3、多次测量取平均值。如表1为实际测量结果，汽车的速度约为48z:m/z：（单位：g）12345平条减速加速减速加速减速加速减速加速减速加速件逆风顺风逆风顺风逆风顺风逆风顺风逆风顺风均数值3552253552153732353302383

12、65248平均290285304284307294由表可知在速度为15m/s时火箭的空气阻力约为2.94n。下图是测量时的图片资料：架设火箭准备测量汽车行驶中4.3空气阻力系数的求解:因为f=lcpsv2有心2/ psv2 代入数据解得c=0.075n-s2/kg/m5考虑空气阻力的火箭飞行高度5.1用matlab求解的思路我们用数值解法。数值解法的思路是：选定自变量t区间中的一 部分，并将其离散，得到多个离散点，根据前一离散点的资料，推得 后一点的值，这就是所谓的单步方法。当所得的函数值精度满足需要 时，便成为有效数据，从而可以较精确的完成运动分析过程。但是由 于离散点众多，人工计算显然不现

13、实，此时我们想到了数值计算软件 matlab中已有的解微分方程的函数ode45(),通过编写matlab 程序可以快速计算出各点数值解。同时matlab还具有强大的的绘图 功能，我们可作岀y-t图像，从而获得各个时刻的火箭飞行高度。具 体办法可取火箭喷射飞行时间段0-is,将该时间段离散，取步长 /z=00h,共得到ioi个吋刻，通过数值解法可得到每个时刻的y 值，通过matlab还可直观绘出每一吋刻的y值。这样我们就得到了火箭的飞行高度与时间的关系。5.2 matlab程序及yt图像5.2.1无阻尼时的matlab程序及y-t图像matlab 程序：t二0:0. 01:1;u二2*0. 00

14、1/(16*pi*0 000001);m0=3;ml=m0-2*t;g=9.8;y=u. *log (mo. /(mo-2*t). *t-0. 5. *9. 8. *t. *t; plot (t, y)gridxlabel ('时间t');ylabel ('高度y');titlec无阻尼时，飞行高度与时间的关系')y-t图像:无阻尼时，飞行高度与时间的关系00.10.20.30.40.50.60.70.80.91时间t5.2.2有阻尼时的matlab程序及yt图像我们先求t=o.qls时刻的数据：因火箭的排除率为m' = m-2t , mm=2.

15、9skg、 u=40m/s9易知=027/s。这样我们连同其他数据可编入 程序。function f二naegl(t, x)u二2*0. 001/(16*pi*0 000001);m0=3;ml=m0-2*t;萨9. 8;k=0. 5*0. 075*1. 293*16*pi*0. 000001;f (1)二2*u. /ml+9. 8+k*x (1 厂2f (2)=x(l)；f=f(：);执行：t, x=ode45(©naegl, 0 1, 0. 27, 0)plot (t, x 2)gridxlabel ('时间l');ylabel ('高度y');t

16、itlec有阻尼时,飞行高度与时间的关系')y-t图像：256误差分析与结论总结6.1误差分析市y-t图像可知火箭的飞行高度在23m左右，而我们的实际试验 也是在20m左右（见附录屮火箭发射视频），但这里包括火箭在把水 喷射完后靠惯性飞行的距离，我们的理论值只是火箭在喷射完水那一 刻的火箭高度。但由于火箭空重质量较小，空气阻力较大，火箭因惯 性上升的高度不会太大。当然这里还包括箭体内部气压变化对高度的 影响与箭体和发射架之间的摩擦力的影响以及matlab程序中微分时 间的长短带来的误差。综上，我们可以认为我们的理论值和实际发射高度的偏差在误 差允许范围之内。6.2结论从图像我们可以看出

17、曲线的的斜率是不断增大的，这也印证了 火箭的速度是不断增人的；同时我们仔细对比两个图形可以发现在t 接近is时有阻尼的曲线斜率增加的相比较无阻尼的曲线斜率要稍微 缓慢些，这也说明了空气阻力在急剧增大（与速度的二次方成正比）, 从侧面验证了我们的理论分析的止确性与空气阻力系数测试的较准 确性。至此我们可以得出：水火箭在不考虑射速随气压的变化而变化 吋飞行高度的微分方程为：m旳dt=u-+m' g+-cpsv dt26.3论题展望我们在此基础上还可继续深入探索，即考虑火箭箭体内部气压 变化对高度的影响，以及以水火箭为模型继续探究在考虑随着高度的 变化导致重力加速度变化从而影响飞行高度的情况。若再考虑随着高 度的增加空气密度的变化等因素，那么就可以和航天工程衔接了。7附录图像及视频资料致谢在决定探究课题到完成论文写作实际时间不足40天，同时作