2016年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国）数学（理科）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2016年全国，理1，5分】设集合，则（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】d【解析】，故选d【点评】考察集合运算和简单不等式解法，属于必考题型，难易程度：易（2）【2016年全国，理2】设，其中，是实数，则（ ）（a）1 （b） （c） （d）2【答案】b【解析】由题意知：，故选b【点评】察复数相等条件和复数的模，属于必考题型，难易程度：易（3）【2016年全国，理3，5分】已知等差数列前9项的和为27，则（ ）（a）100

2、（b）99 （c）98 （d）97【答案】c【解析】解法一：， ，选c解法二：，即，又，解得，故选c【点评】考察等差数列的基本性质、前n项和公式和通项公式，属于必考题型，难易程度：易（4）【2016年全国，理4，5分】某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】b【解析】小明可以到达车站时长为40分钟，可以等到车的时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率是，故选b【点评】考察几何概型的概率计算，第一次考察，难易程度：易（5）【20

3、16年全国，理5，5分】已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】由题意知：，解得，解得，故选a【点评】考察双曲线的简单几何性质，属于了解层次，必考题，难易程度：易（6）【2016年全国，理6，5分】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的（如右图所示），故解得，故选a【点评】考察三视图还原，球的体积表面积计算，经常考察，难易程度：中等（7）【2016年全国，理7，5分】

4、函数在的图像大致为（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】d【解析】解法1（排除法）：为偶函数，且，故选d解法2：为偶函数，当时，作与（如图），故存在实数，使得且时，时，在上递减，在上递增，故选d【点评】本题结合导数利用函数奇偶性，综合考察函数解析式与函数图像之间的关系，常规题型， 属于必考题，难易程度：中等这类题型的最佳解法应为结合函数的性质，选取特殊点进行排除（8）【2016年全国，理8，5分】若，则（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】c【解析】解法1（特殊值法）：令，易知c正确解法2：当时，幂函数在上递增，故a选项错误；当时，越大对数函数的图像越靠近轴，当时，故d选项错误；可

5、化为，由指数函数知，当时，在上递增，故b选项错误；可化为，故选c【点评】本题综合考察幂函数、指数函数、对数函数的性质和不等式的性质，属于常考题型，难易程度：中等 结合函数性质证明不等式是比较麻烦的，最好采用特殊值法验证排除（9）【2016年全国，理9，5分】执行右面的程序图，如果输入的，则输出，的值满足（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】c【解析】时，框图运行如下： 1、；2、； 3、，故选c【点评】考察算法中的循环结构，必考题型，难易程度：易（10）【2016年全国，理10，5分】以抛物线的顶点为圆心的圆交于、两点，交的标准线于、两点已知，则的焦点到准线的距离为（ ） （a）2 （b

6、）4 （c）6 （d）8【答案】b【解析】解法1排除法：当时，不妨令抛物线方程为，当时，即点坐标为，所以圆的半径为，此时点坐标为，符合题意，故b选项正确解法2：不妨令抛物线方程为，d点坐标为，则圆的半径为，即点坐标为，所以，解得，故选b【点评】考察抛物线和圆的简单性质，必考题型，难易程度：中等（11）【2016年全国，理11，5分】平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则、所成角的正弦值为（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】令平面与平面重合，则，故直线、所成角为，正弦值，故选a 【点评】考察正方体中线面位置关系和两条直线夹角的计算，必考题型，难易程度：中等（12）【2016年

7、全国，理12，5分】已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ）（a）11 （b）9 （c）7 （d）5【答案】b【解析】解法1（特殊值验证法）令，则周期，区间刚为，且在上递减，恰好符合题意，故选b解法2：由题意知，所以，故选b【点评】综合考察三角函数图像的单调性、对称性、零点、周期等性质，属于必考题型，难易程度：偏难第ii卷本卷包括必考题和选考题两部分第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答第（22）题第（24）题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2016年全国，理13，5分】设向量，且，则 【答案】【解析】解法一（

8、几何法）由向量加法的几何意义知，故，所以；解法二（代数法），解得【点评】考察向量运算，必考题型，难易程度：易（14）【2016年全国，理14，5分】的展开式中，的系数是 （用数字填写答案）【答案】10【解析】，令，解得，【点评】考察二项式定理展开式中指定项问题，必考题型，难易程度：中等（15）【2016年全国，理15，5分】设等比数列满足，则的最大值为 【答案】64【解析】由，解得，所以当或4时，有最大值64【点评】考察等比数列的通项公式、等差数列求和及二次函数最值问题，必考题型，难易程度：中等（16）【2016年全国，理16，5分】某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料。生产一件产

9、品需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品的利润为2100元，生产一件产品的利润为900元 该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为 元 【答案】216000【解析】将题中数据分类整理如下表：产品甲（kg）乙（kg）工时利润（元）a（件）1.5152100b（件）0.50.33900限制条件15090600设生产类产品件，类产品件，两类产品利润和为元，则，的限制条件如下：，目标函数为，可行域的顶点坐标分别为，代入目标函数可得【点评】考察线性规

10、划的应用题，数据较为繁杂，加上平时本类题型训练不够充分，容易出错，由于数据较大本题的可行域较为难作，故采用方程联立求点代入法，注意点不适合第二个不等式，应舍去，很少考的题型，难易程度：偏难 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）【2016年全国，理17，12分】的内角的对边分别别为，已知（1）求，（2）若的面积为，求的周长解：（1）由得，即，又，（2）， ，所以的周长为【点评】解三角形主要考察三大定理：正弦定理、余弦定理、内角和定理，采用的策略是化统一：统一成纯边或纯角问题即可，可概括为一句话：“三大定理化一统”，与数列轮流放在第17题考察，难易程度：中等偏易（18）【20

11、16年全国，理18，12分】如图，在已为顶点的五面体中， 面为正方形，且二面角与二面角都是（1）证明平面（2）求二面角的余弦值解：（1），又，所以平面（2）解法一（向量法）：以为坐标原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系（如图），设，则，因为二面角与二面角都是，即，易得，设平面与平面的法向量分别为和，则令，则，令，则，所以二面角的余弦值为解法二（几何法）：将此五面体补成一个直三棱柱（如右图所示）， 过点作于点，则，过点作于点，则为二面角的平面角 设，则，因为二面角与二面角c-be-f都是，即，所以二面角的余弦值为【点评】本题的几何体为不规则几何体，补形构造成规则几何体运用传统几何法，做辅助线，按

12、照经典的求二面角或距离的步骤：一找二证三求完成或建系运用坐标法解决，整体运算不小，属于必考题，难度中等（19）【2016年全国，理19，12分】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数（

13、1）求的分布列（2）若要求，确定的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？解：（1）这100台机器更换的易损零件数为8，9，10，11时的频率为分别为，故1台机器更换的易损零件数为8，9，10，11时发生的概率分别为，每台机器更换与否相互独立，故两台机器更换易损零件个数及对应概率如下表：所以求的分布列为：16171819202122（2），所以的最小值为19（3）故至少购买19件，若买19件时费用期望为（元），若买20件时费用期望为（元），所以应选用【点评】本题以实际问题为背景，以频率作为概率，综合考察柱状图（初中内容），列举法求概率，离散型随机变量

14、的分布列，期望。审题较为费劲，特别是第三问带有创新性与平时训练题型不同，不冷静分析难以找到突破口。属于必考题，偏难（20）【2016年全国，理20，12分】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围解：（1）圆心为，圆的半径为，又，所以点的轨迹是以点和点为焦点，以4为长轴长的椭圆，即，所以点的轨迹方程为：（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时四边形面积为12；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆联立得：，设，则，直线方程为，

15、即，所以圆心到直线的距离为，综上可知四边形面积的取值范围为【点评】本题以圆为背景，综合考察椭圆定义，椭圆方程，直线与椭圆关系等知识点，题型常规，计算量偏大，最后求范围时需考虑极限知识，属于必考题型，偏难（21）【2016年全国，理21，12分】已知函数有两个零点（1）求的取值范围；（2）设是的两个零点，证明：解：（1）当时，此时函数只有一个零点，不符合题意舍去；当时，由，由，所以在上递减，在上递增，又，所以函数在上只有一个零点，当时，此时，所以函数在上只有一个零点，此时函数有两个零点当时，由，由所以在和上递增，在上递减，此时函数至多一个零点，不符合题意，舍去；当时，恒成立，此时函数至多一个零点

16、，不符合题意，舍去当时，由，由所以在和上递增，在上递减， 因为在上递减，所以，此时函数至多一个零点，不符合题意，舍去综上可知（2）由（1）若，是的两个零点，则，不妨令，则，要证，只要证，当时，在上递减，且，所以，只要证，又，令 ，在上递减，当时，即成立，成立【点评】本题以导数为背景，综合考察函数的零点、单调性、极值最值等知识点和分类讨论、数形结合等数学思想方法，是具有鲜明特色的全国卷压轴题，重点知识重点考察，不回避热点，第二问需要构造函数结合第一问结论加以解决，属于必考题型，难度较大请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，

17、做答时，请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（22）【2016年全国，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，是等腰三角形，以为圆心，为半径作圆（1）证明：直线与相切；（2）点，在上，且四点共圆，证明： 解：（1）设圆的半径为，作于，与相切（2）解法1：假设与不平行，与交于， 四点共圆，由可知矛盾解法2：因为四点共圆，不妨设圆心为，因为，所以为的中垂线上，同理所以的中垂线，所以（23）【2016年全国，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求解：（1）（均为参数）， 为以为圆心，为半径的圆方程为 ，即为的