2022年2022年导数公式证明大全

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载导数的定义： f'x=lim y/ xx0（下面就不再标明x0 了）用定义求导数公式（ 1） fx=xn证法一：（ n 为自然数）f'x=lim x+ xn-xn/ x=lim x+ x-xx+ xn-1+x*x+ xn-2+.+xn-2*x+x+xn-1/ x=lim x+ xn-1+x*x+ xn-2+.+xn-2*x+x+xn-1=xn-1+x*xn-2+x2*xn-3+ .xn-2*x+xn-1=nxn-1证法二：（ n 为任意实数）fx=xnlnfx=nlnxlnfx'=nlnx'精品学习资料精选学习资

2、料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载f'x/fx=n/xf'x=n/x*fxf'x=n/x*xnf'x=nxn-1（ 2） fx=sinxf'x=lim sinx+ x-sinx/ x=lim sinxcos x+cosxsin x-sinx/ x=lim sinx+cosxsin x-sinx/ x=lim cosxsin x/x=cosx（ 3） fx=cosxf'x=lim cosx+ x-cosx/ x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载=lim cosxcos x-sinxsin x-cosx/ x=lim

3、 cosx-sinxsinx-cos/ x=lim -sinxsin x/x=-sinx（ 4） fx=axf'x=lim ax+ x-ax/ x=lim ax*a x-1/ x（设 a x-1=m ,就 x=logam+1 ）=lim ax*m/logam+1=lim ax*m/lnm+1/lna=lim ax*lna*m/lnm+1=lim ax*lna/1/m*lnm+1=lim ax*lna/lnm+11/m=lim ax*lna/lne精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载=ax*lna如 a=e ,原函数 fx=ex就 f'x=ex*lne=

4、ex（ 5） fx=logaxf'x=lim logax+ x-logax/ x=lim logax+ x/x/ x=lim loga1+ x/x/ x=lim ln1+ x/x/lna* x=lim x*ln1+ x/x/x*lna* x=lim x/ x*ln1+ x/x/x*lna=lim ln1+ x/xx/ x/x*lna=lim lne/x*lna=1/x*lna精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载如 a=e ,原函数 fx=logex=lnx就 f'x=1/x*lne=1/x（ 6） fx=tanxf'x=lim tanx+ x-

5、tanx/ x=lim sinx+ x/cosx+ x-sinx/cosx/ x=lim sinx+ xcosx-sinxcosx+x/ xcosxcosx+ x=limsinxcos xcosx+sin xcosxcosx-sinxcosxcosx+sinxsinxsin x/ xcosxco sx+ x=lim sin x/ xcosxcosx+ x=1/cosx2=secx/cosx=secx2=1+tanx2（ 7） fx=cotxf'x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载=lim cotx+ x-cotx/ x=lim cosx+ x/sinx+ x

6、-cosx/sinx/ x=lim cosx+ xsinx-cosxsinx+x/ xsinxsinx+ x=limcosxcos xsinx-sinxsinxsin x-cosxsinxcos x-cosxsin xcosx/ xsinxsin x+x=lim -sin x/xsinxsinx+ x=-1/sinx2=-cscx/sinx=-secx2=-1-cotx2（ 8） fx=secxf'x=limsecx+ x-secx/ x=lim 1/cosx+ x-1/cosx/ x=lim cosx-cosx+ x/ xcosxcos x=lim cosx-cosxcos x+si

7、nxsin x/ xcosxcosx+ x=lim sinxsin x/ xcosxcosx+ x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载=sinx/cosx2=tanx*secx（ 9） fx=cscxf'x=limcscx+ x-cscx/ x=lim 1/sinx+ x-1/sinx/ x=lim sinx-sinx+ x/ xsinxsinx+ x=lim sinx-sinxcosx-sin xcosx/ xsinxsinx+ x=lim -sin xcosx/ xsinxsinx+ x=-cosx/sinx2=-cotx*cscx（ 10）fx=xxln

8、fx=xlnxlnfx'=xlnx'f'x/fx=lnx+1f'x=lnx+1*fx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载f'x=lnx+1*xx（ 12）hx=fxgxh'x=lim fx+ xgx+ x-fxgx/ x=lim fx+ x-fx+fx*gx+x+gx+ x-gx-gx+ x*fx/ x=limfx+ x-fx*gx+ x+gx+ x-gx*fx+fx*gx+ x-fx*gx+ x/ x=lim fx+ x-fx*gx+ x/ x+gx+ x-gx*fx/ x=f'xgx+fxg'x（ 1

9、3）hx=fx/gxh'x=lim fx+ x/gx+ x-fxgx/ x=lim fx+ xgx-fxgx+ x/ xgxgx+ x=lim fx+ x-fx+fx*gx-gx+x-gx+gx*fx/ xgxgx+ x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载=limfx+ x-fx*gx-gx+x-gx*fx+fxgx-fxgx/ xgxgx+ x=limfx+ x-fx*gx/ xgxgx+ x-gx+ x-gx*fx/ xgxgx+ x=f'xgx/gx*gx-fxg'x/gx*gx=f'xgx-fxg'x/gx*gxx（ 1

10、4）hx=fgxh'x=lim fgx+ x-fgx/ x=lim fgx+ x-gx+gx-fgx/x（另 gx=u ,gx+ x-gx= u ）=lim fu+ u-fu/ x=lim fu+ u-fu* u/ x*u=lim f'u* u/ x=lim f'u*gx+ x-gx/ x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载=f'u*g'x=f'gxg'x总结一下（ xn）'=nxn-1（ sinx ）'=cosx（ cosx ） '=-sinx（ ax）'=axlna（ ex）'=ex（ logax ） '=1/xlna（ lnx） '=1/xtanx'=secx2=1+tanx2cotx'=-cscx2=-1-cotx2secx'=tanx*sec