(word完整版)二项式定理知识点和各种题型归纳带答案,推荐文档

1、二项式定理1 1二项式定理：(a b)nC0anC：an1b L QarbrL C；bn(n N),2.2. 基本概念：1二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。2二项式系数：展开式中各项的系数cn(r 0,1,2,n). .3项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式4通项：展开式中的第r 1项Can rbr叫做二项式展开式的通项。用Tr 1C；an rbr表示。3.3. 注意关键点：项数：展开式中总共有(n 1)项。2顺序：注意正确选择a, ,b, ,其顺序不能更改。(a b)n与(b a)n是不同的。3指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。b的指数从0逐项减到n，

2、是升幕排列。各项的次数和等于n. .系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是数是a与b的系数(包括二项式系数)4.4.常用的结论：令a 1,b x, (1 x)nC0C：x C；x2L QxrL C；xn(n N )5 5.性质:二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等， 即C C, CnkCn1二项式系数和：令a b 1, ,则二项式系数的和为C0C：C L CnL C；2n,变形式C1C2L CnrL c：2n1。奇数项的二项式系数和= =偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a1,b1，则C0C：C2Cn3L(1)nc：(1 1)n0从而得到：Cn

3、CnCnC：rcnC；L2r 1Cn丄2n2n 12奇数项的系数和与偶数项的系数和:Cn, Cn,Cn, Cn, Cn-项的系令a 1,bx, (1 x)nC C1x C2x2L C：xrL(1)nC：xn(n N )(ax)nC0an 0 xcnan1xCnan2 2xLC：0 n1a xaoa1X2na2XLa；x(xa)nC0a0 nx1Cnaxn 1C；a2n 2xLc：n 0nia x anx L2 1a?x ax ao令 x1,则 aoa1a2asLan(a1)n令 x1,则 aoa1a2a3L an(a 1)n得,aoa2a4Lan(a1)n(a21)n-(奇数项的系数和)得,a

4、1a3a5Lan(a1)n(a21)n(偶数项的系数和)n5二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2取得最大值。n 1 n 1如果二项式的幕指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数C 仔,C仔同时取得最大值。6系数的最大项：求(a bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别题型一：二项式定理的逆用;例:cnC26C362L C：6n 1_ .题型二：利用通项公式求xn的系数;例：在二项式(413x2)n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？解：由条件知c；22 245,即Cn45,n n 90 0，解得n9(舍去)

5、或 n 10，由为A,A2, An i，设第r 1项系数最大，应有6 6二项式定理的十一种考题的解法：Ar 1Ar 1Ar，从而解出r来。Ar 2解:(16)nc0cnc1cn6Cn62c1c2cncn6c3cn62Lc：6cn6 c；62L练：c1 2n3Cn9C3nL3n1C：C；63L C；6n与已知的有一些差距，6n 1(cn6 Cn 62L Cn 6n)6C：6n1) 1(1 6)n1 1(7n1)6 69C；L 3n1Cn，则3SnC：32C；33L C：3nCn Cn3 c：32C；33L C；3；1(1 3)n1Sn(13)n13解:3C；C：设Sn解：设（.x7具）n展开式中

6、各项系数依次设为a,a1, an,&x2Tr 11210 rC；0(X4)10 r(X3)rC；0X F，由题意-r433,解得 r 6，则含有x3的项是第7项T6 1C-oX3210 x3,系数为210。1练：求（X2一）9展开式中X2x的系解：Tr 1C9（X2）9 r（丄）2x1故x9的系数为C9（ -）32题型三：利用通项公式求常数项;亠r 18 2r “C9X(212例:解:Tr1C；o(X2)1Or练:解:练:解:1、r r亠r “1、r 18 3r2)xC9(2)x，1求二项式（2x）6的展开式中的常数项?2xr6 rr, 1、rTr1C6(2x)(EL（畑冷严，令62r

7、令18 3r8， 所以T90，得r9,则r 33，所以33T4( 1) C620若（x2-）n的二项展开式中第x5项为常数项，则nT5c：(x2)n 4(-)4C：xx4 2n12，令2n 12题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项;例：求二项式3X）9展开式中的有理项?1 1解：Tr 1C；(X 勺9 r( X3)r27 r(1)rC；x丁，令27 r丁Z，(09)得r3 或 r 9，27r所以当r 3时，27-6当r 9时，27 r3,633444,T4( 1) C9X84x,3 9 3 30( 1)C9X X题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;n展开式中偶数项系数和为

8、256，求n.求二项式（x210的展开式中的常数项?r.5r1r20 rC10( ) x，令20 2例：若（、x2令 x 1,则有aoa1an0,，令 x1,则有a。a1a2a3( 1)an2n,将-得:2(a1a3a5n)2 ,a1a3a52n1,有题意得，2n125682，n 9。练：若（3匸52广的展开式中， 所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 x x解：Q CC；C4Ccnc；L2r 1Cn2n 1，2n 11024，解得n 11所以中间两个项分别为n 6,n 7,T5 1C；（?1）6（5! ）5462 x4,T6 1462 x花题型六：最大系数，最大项；1例：已知（2x

9、）n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二2项式系数最大项的系数是多少？解:QC：C；2C；, n221n 980,解出n 7 或 n 14，当n 7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和 T5T4的系数C3（42335,，T5的系数C；（丄）32470,当n 142 2 2时，展开式中二项式系数最大的项是T8，T8的系数C74（丄）7273432。2练：在（a b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幕指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大，即T2nTn 1，也就是第n 1项。-21解：只有第5项的二项式最大，则-15，即n 8,所以展开

10、式中常数项为第七项等于2C86（1）272例：写出在（a b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幕指数7是奇数，所以中间两项（第 4,5 项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4C?a b的系数最小，T5C7a b系数最大。1例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求（2x）n的展开式中系数最大的项？2解：由CCnC79,解出n 12,假设1项最大，Q （丄2x）12（丄）12（1 4x）122 2x练：在（23丁的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少?Ar 1A C124C12141，化简得到9.4 r 10.4，又Q0 r 12,r

11、 10,Ar 1Ar2C；24rC；%1展开式中系数最大的项为T11. .有T11(丄)12。；/02练：在(12x)10的展开式中系数最大的项是多少?题型七：含有三项变两项;25(x 3x 2)的展开式中x的一次项的系数?它的系数为C；C：243240o题型八：两个二项式相乘;例：求(1 2X)3(1 x)4展开式中 X2的系数.解:Q (1 2x)3的展开式的通项是 cm(2x)mcm2m(1 x)4的展开式的通项是C4(x)nC；1nxn,其中 m0,1,2,3, n1016896x解：假设Tr 1项最大,r r rQTr 1C102 xAr 1AAr 1Ar 2r 1 r 1C102r

12、 r.C102C102解得2(11C；2rC1r012r1,r 1r)丿，化简得到6.32(10 r)k 7.3，又Q0 r 10,r 7,展开式中系数最大的项为C7027x715360 x7.例：求当解法:(x23x 2)5(x22) 3x5,Tr 1C5(5 rr2)(3x)，当且仅当r1时,Tr 1的展开式中才有 x x 的一次项，此时Tr1T2c5(x241442) 3x，所以x得一次项为C5C42 3x解法:(x23x 2)5(x 1)5(X2)5(C?X5C5X4Cs)(c5)x5C；X42C；25)故展开式中含x的项为C4XC5254 4C5X2240 x，故展开式中x的系数为

13、240.240.练：求式子(x32)的常数项?解：(xx2)3C.x)6， 设第r 1项为常数项，则rrTr 1C6(1)6 r1r6 r(x)(1)C66 2r，得62r 0, ,r 3, ,T31(1)3C6320. .0,1,2,3,4,x)413令 m n 2,则 m 0 且 n 2, m 1 且 n 1,m 2 且 n 0,因此(1 2x) (1的展开式中X2的系数等于C3020C：( 1)2C321C4(1)1C；22C：(1)0练：求(13x)6(141)10展开式中的常数项Jxmn4m 3n解:(13x)6(14L)10展开式的通项为 cjx3C；0X4C(mC；0 x12Vx

14、其中 m 0,1,2, ,6,n0,1,2, ,10，当且仅当4m 3n,即卩m0,或m3,或m6,n 0,n4,n8,时得展开式中的常数项为C；C10C；C；0C；C04246.练：1已知(1 x x2)(x丄)n的展开式中没有常数项，n N 且 2 n 8,则 n.x解:(x )n展开式的通项为 Cnxn rx3rCnxn 4r,通项分别与前面的三项相乘可得xcnxn4r,cnxn4r1,cnxn4r2,Q 展开式中不含常数项,2 n 8n 4r 且 n 4r 1 且 n 4r 2,即 n 4,8 且 n 3,7 且 n 2,6, n 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在(x

15、 ,2)2006的二项展开式中,含 x 的奇次幕的项之和为 S,当 x 三时,S解：设(x2)2006=兔a1x1a2x2a3x3La2006x2006- 得 2(a1x 盼3a5X5La2oo5X2005)(x 2)2006(xx2)2006(x, 2 )2006展开式的奇次幕项之和为S(x) (x v 2 )2006(x门)200623 2006当 x &时,S(、2) (V V)2006(VJ)2006匚230082 2题型十：赋值法；例：设二项式(33匸 丄广的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若xp s 272,则n等于多少？解:若(33x)na0a1xa2x

16、2anxn，有Paaia*，S C：C：2n，x令x 1得P 4n，又p s 272,即4n2n272(2n17)(2：16) 0解得2n16 或 2n17(舍去)，n 4.3.a3XL2006a2006x2a2xn练：若3jX丄 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少?Vx项为C；(3X)3( -1二)3540. .Vxc 2009123例：若(1 2x)aax a?x a3X解:令 x 1,可得 ao01 |疑在令 x 0 可得 ao1,因而a1卑2 255432练：右(x 2) a5x a4x a3x a2xaa2a3a4a531.题型十一：整除性；例：证明：32n 28n 9(n N*)能被 6464 整除证：32n 28n 99n 18n 9(8 1)n 18n 9解：令x 1，则3：x