2022年2022年奥数题_专题训练之比和比例应用题

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载比和比例比和比例比和 比例 始终为学 数学 简洁弄混的几大问题之一,其实它们之间的问题完全可以用一句话概括：比,等同于算式中等号左边的式子,为式子的一种（如：a:b ）；比例,由至少两个称为比的式子由等号连接而成,且这两个比的比值 为相同（如：a:b=c:d ）；所以,比和比例的联系就可以说成为：比为比例的一部分；而比例为由至少两个比值相等的比组和而成的；比的意义为两个数的除又叫做两个数的比、 而比例的意义为表示两个比相等的为叫做比例；比为表示两个数相除,有两项；比例为一个等式,表示两个比相等,有四项；比和比例的意义也不同；比和比例应用题 例 1 .生产队饲养

2、的鸡与猪的只数比为26 5,羊与马的只数比为25 9,猪与马的只数比为10 3；求鸡.猪.马和羊的只数比； 分析 该题给出了三个单比,要求写出它们的连比；将几个单比写成连比,关键为利用比的基本性质将各个比中表示同一个量的值化为相同的值； 解由题设,鸡猪 =26 5,羊马 =25 9,猪马 =10 3,由比的基本性质可得： 猪马 =10 3=30 9, 羊：马 =25 9,鸡：猪 =26 5=156 30,从而鸡猪马羊=156： 30 9 25；答：鸡.猪.马.羊的只数比为156 30 9 25； 注将单比化为连比时,仍可先化为三个量的连比,再化为四个量的连比；如,鸡猪 =26 5,猪马 =10

3、 3,由此可得,鸡猪马=52 10 3；再留意到羊马=25 9 可得,鸡猪马羊=15630 925； 例 2 以下各题中的两个量为否成比例.如成比例,请说明成正比例仍为成反比例；(1) 路程肯定时,速度与时间；(2) 速度肯定时,路程与时间；(3) 播种面积肯定时,总产量与单位面积的产量；(4) 圆的面积与该圆的半径；(5) 两个相互啮合的大小齿轮,它们的转速与齿数； 分析 利用正比例.反比例的概念进行判定与说明； 解1由于速度与时间的乘积等于路程,所以,当路程肯定时,速度与时间成反比例；(2) 由于路程与时间的比值为速度,所以,当速度肯定时,路程与时间成正比例；(3) 由于总产量与单位面积的

4、产量的比值为播种面积,所以, 当播种面积肯定时,总产量与单位面积的产量成正比例；(4) 设圆的半径为r,就圆的面积为 r2,所以圆的面积与半径的积为r3,随半径的变化而变化,即圆的面积精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载与半径不成反比例；而圆的面积与半径的比值为r,也随半径的变化而变化,即圆的面积与半径不成正比例；综上,圆的面积与半径不成比例；(5) 由于齿轮的转速与齿数的积等于单位时间内齿轮转过的总齿数,而两个相互咬合的大小齿轮在单位时间内转过的总齿数相等,所以,它们的转速与齿数成反比例； 注如两个相关联的量成正比例,就一个量变大 小 时,另一个量也变大 小 ；如两个相关联的量成反

5、比例,就一个量变大 小 时,另一个量反而变小 大 ；因此,在上例的4 中,留意到半径愈大,圆的面积也愈大,故只需判定圆的面积与半径不成正比例,就可肯定圆的面积与半径不成比例； 例 3某学校共有同学697 人,已知低年级同学数的1/2 等于中年级同学数的2/5 ,低年级同学数的1/3 等于高年级同学数的2/7 ,求该校低.中.高年级各有多少名同学. 分析 由题设条件可得低.中.高各年级的同学数的比,从而可按比例安排求得各年级的同学数；解 设低年级的同学数为 “1”,就中年级的同学数为1/2 ÷2/5=5/4,高年级的同学数为1/3 ÷2/7=7/6手：舌,从而,低.中.高年级

6、的同学数的比为：低中高=15/4 7/6=12 15 14,按比例安排得,低年级同学数：697×12/12+15 +14=204 人 ,中年级同学数： 697×15/12+15 +14=255 人 ,高年级同学数： ：697×14/12+15 +14=238 人 ；答：该校低.中.高年级的同学数分别为204 人. 255 人. 238 人； 注按比例安排时, 可先出每份对应的量,再求出相应的量；如：697÷12+15+17=17 人 ；从而,低年级有17×12=204人 ,中年级有17×15=255人 ,高年级有17×14=

7、238人 ； 例 4雏鹰小分队为“期望学校”搞了一次募捐活动；她们用募捐所得的钱购买了甲.乙.丙三种商品, 这三种商品的单价分别为30 元.15 元和 10 元；已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5 6,乙商品与丙商品的数量之比为4 11,且购买丙商品比购买甲商品多花了210 元,求这次募捐所得的钱数； 分析 依据已知条件可先求出甲.乙.丙三种商品的数量比；即甲.乙.丙三种商品的份数比,再依据甲.丙商品的份数关系及单价,求出每份商品的实际数量,从而求出甲.乙.丙商品的数量,由此可得募 捐所得的钱数； 解已知：甲商品数乙商品数=5： 6,乙商品数丙商品数=4 11；于为,甲商品数乙商品数丙商品

8、数=1012 33,即甲.乙.丙商品分别有10 份. 12 份. 33 份；由于购买丙商品比购买甲商品多花210 元,所以,每份的商品数为210÷10 ×3330×10 =7 件 ；于为,甲商品数为： 7×10=70件 ,乙商品数为： 7×12=84件 ,丙商品数为： 7×33=231件 ；由此,募捐所得到的钱数为： 30×70+15×84+10×231=5670元 答：募捐所得到的钱为5670 元；“比和比例”应用题错解例析2021-05-07作者：佚名来源：网友投稿例 1 某车间要加工2220 个零件

9、, 单独做, 甲.乙.丙三人所需工作时间的比为4 56；现在由三人共同加工,问完成任务时,三人各加工了多少个？错解由甲.乙.丙三人单独做所需工作时间的比为4 5 6,推出甲.乙.丙三人工作效率的比为6 54,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载用按比例安排的思路解；评析上述解答错在把甲.乙.丙三人工作效率的比看成为6 5 4；诚然, 假如甲. 乙二人工作时间的比为4 5,那么, 甲.乙二人工作效率的比就为5 4,这为正确的； 但为, 把甲. 乙.丙三人工作时间的连比为4 56 转化成甲. 乙.丙三人工作效率的连比为6 54,那就大错了！ 不错, 工作效率的比等于工作时间比的反比； 从

10、已知条件看,甲.乙二人工作时间的比为4 5,所以,甲.乙二人工作效率的比为5 4；乙.丙二人工作时间的比为5 6,所以,乙.丙二人工作效率的比为6 5；这里的“ 54”表示甲5 份,乙 4 份,“ 65”表示乙 6 份,丙 5 分,两个比都为两重相比,其中同样表示“乙”有几份的数在前后两个比中并不相同,我们怎么能将这两个比直接变成甲.乙.丙三人工作效率的连比呢？明显,上述解答中把甲.乙.丙三人工作效率的连比看成为6 5 4,为错误的；正确的解答应当为：甲.乙.丙三人工作效率的比=简洁看出,由于5 4=15 12,6 5=1210,所以,由上述“甲.乙二人工作效率的比为54,乙.丙二人工作效率的

11、比为65”,也可以得到甲.乙.丙三人工作效率的比为为15 12 10；例 2 有两瓶同样重的盐水,甲瓶盐水盐与水重量的比为1 8,乙瓶盐水盐与水重量的比为1：5；现将两瓶盐水 并在一起,问在混合后的盐水中盐与水重量的比为多少？错解认为在甲瓶盐水中,盐的重量为“1”,水的重量为“ 8”,在乙瓶盐水中,盐的重量为“1”,水的重量 为“ 5”,于为,将两瓶盐水并在一起,便得到盐的重量为（1 1） 2,水的重量为（85） 13；（1+1）（ 8 5） =2 13答：在混合后的盐水中盐与水重量的比为2 13；评析上述解答的主要错误为把两种物质重量的最简比,看成了就为两种物质详细重量的比；甲瓶盐水盐与水重

12、量的比为1 8,不等于说在这瓶盐水中盐的重量为1 千克,水的重量为8 千克,乙瓶的情形也为一样；从已知条件可以看出,在甲瓶盐水中,盐有1 份,水有8 份,盐和水一共有（18） 9（份）,在乙瓶盐水中,盐有1 份,水有5 份,盐和水一共有（1 5） 6（份）；由于两瓶盐水为“同样重”,但甲瓶有9 份,乙瓶只有6份,所以,可见两瓶盐水中每“1份”的重量有多少为不相同的；上述解答简洁地将两瓶盐水中每份重量不同的盐和水的份数分别相加,然后再将两个“和”组成一个比,便造成明白答的错误；正确的解答为：1 8=2 16, 2 16=18； 1 5=3： 15, 3 15 10；（ 2 3）（ 16 15）

13、5： 31答：在混合后的盐水中盐与水重量的比为531；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学校六年级奥数题: 专题训练之比和比例应用题例.乘坐某路汽车成年人票价3 元,儿童票价2 元,残疾人票价1 元,某天乘车的成年人.儿童和残疾人的人数比为50:20:1 ,共收得票款26740 元,这天乘车中成年人.儿童和残疾人各有多少人？提示 :单价比 : 成年人 :儿童 :残疾人 =3:2:1人数比 :50:20:1 练习 甲乙两人走同一段路,甲要20 分钟,乙要15 分钟,现在甲.乙两人分别同时从相距840 米的两地相向而行,相遇时,甲.乙各走了多少米？例. “期望学校 ”搞了一次募捐活动,

14、她们用募捐所得的钱购买了甲.乙.丙三种商品,这三种商品的单价分别为 30 元. 15 元和 10 元；已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5:6,乙商品与丙商品的数量之比为4:11, 且购买丙商品比购买甲商品多花了210 元；提示 :依据已知条件可先求三种商品的数量比； 练习 一种什锦糖为由酥糖.奶糖和水果糖按5:4:3 的比例混合而成,酥糖.奶糖和水果糖的单价比为11:8:7、要合成这样的什锦糖120 千克,什锦糖每千克32.4 元,混合前的酥糖每千克为多少元？例. a .b.c 为三个顺次咬合的齿轮；当a 转 4 圈时, b 恰好转 3 圈；当 b 转 4 圈时, c 恰好转 5 圈,问这三个齿轮的齿数的最小数分别为多少？提示 :依据已知条件已知a .b.c 转速与齿数的积都相等,即它们的转速与齿数成反比例；习题：1.甲.乙.丙三个平行四边形的底之比为4:5:6 ,高之比为3:2:1,已知三个平行四边形的面